人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：§8 2 第1課時(shí)　一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1§8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用第1課時(shí)一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.2.了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.3.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．導(dǎo)語(yǔ)通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等，那么當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，我們?nèi)绾卫贸蓪?duì)樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)？一、一元線性回歸模型與函數(shù)模型生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高具有正相關(guān)的關(guān)系，為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示：編號(hào)1234567父親身高174170173169182172180兒子身高176176170170185176178編號(hào)891011121314父親身高172168166182173164180兒子身高174170168178172165182我們畫(huà)出散點(diǎn)圖(課本105頁(yè)圖8.2－1)并通過(guò)計(jì)算得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.886.問(wèn)題1由樣本相關(guān)系數(shù)可以得到什么結(jié)論？〖提示〗由散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì)表明兒子的身高與父親的身高線性相關(guān)，通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)可知兒子的身高與父親的身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高．問(wèn)題2這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)嗎？〖提示〗不能．因?yàn)檫@兩個(gè)變量之間不是函數(shù)關(guān)系．可以用新的模型——一元線性回歸模型表示．知識(shí)梳理一元線性回歸模型：我們稱(chēng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型，其中，Y稱(chēng)為因變量或響應(yīng)變量，x稱(chēng)為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱(chēng)為截距參數(shù)，b稱(chēng)為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差．例1判斷下列變量間哪些能用函數(shù)模型刻畫(huà)，哪些能用回歸模型刻畫(huà)？(1)某公司的銷(xiāo)售收入和廣告支出；(2)某城市寫(xiě)字樓的出租率和每平米月租金；(3)航空公司的顧客投訴次數(shù)和航班正點(diǎn)率；(4)某地區(qū)的人均消費(fèi)水平和人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)；(5)學(xué)生期末考試成績(jī)和考前用于復(fù)習(xí)的時(shí)間；(6)一輛汽車(chē)在某段路程中的行駛速度和行駛時(shí)間；(7)正方形的面積與周長(zhǎng)．解(1)(2)(3)(4)(5)回歸模型，(6)(7)函數(shù)模型．反思感悟在函數(shù)關(guān)系中，變量X對(duì)應(yīng)的是變量Y的確定值，而在相關(guān)關(guān)系中，變量X對(duì)應(yīng)的變量Y的概率分布．換句話說(shuō)，相關(guān)關(guān)系是隨機(jī)變量之間或隨機(jī)變量與非隨機(jī)變量之間的一種數(shù)量依存關(guān)系，對(duì)于這種關(guān)系，通常運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行研究．通過(guò)對(duì)相關(guān)關(guān)系的研究又可以總結(jié)規(guī)律，從而指導(dǎo)人們的生活與生活實(shí)踐．跟蹤訓(xùn)練1若某地財(cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e(單位：億元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)()A．9億元 B．9.5億元C．10億元 D．10.5億元〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樨?cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以y＝0.7x＋3＋e.當(dāng)x＝10時(shí)，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，所以年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)10.5億元，故選D.二、最小二乘法和經(jīng)驗(yàn)回歸方程問(wèn)題3在一元線性回歸模型中，表達(dá)式Y(jié)＝bx＋a＋e刻畫(huà)了變量Y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系，其中參數(shù)a和b未知，確定參數(shù)a和b的原則是什么？〖提示〗使表示成對(duì)樣本數(shù)的各散點(diǎn)在整體上與一條適當(dāng)?shù)闹本€盡可能地接近．問(wèn)題4下列確定直線的四種方法中最具有可行性的是哪一個(gè)？方法(1)：先畫(huà)出一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)到直線的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)是距離和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距，就得到一條直線．方法(2)：可以在散點(diǎn)圖中選兩點(diǎn)畫(huà)一條直線，使得直線兩側(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線．方法(3)：在散點(diǎn)圖中多取幾對(duì)點(diǎn)，確定出幾條直線，再分別求出這些直線的斜率截距的平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距．方法(4)：我們可以考慮使各組數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差e的和最小來(lái)確定直線的斜率和截距．〖提示〗方法(1)，(2)，(3)雖然有一定道理，但是比較難操作，方法(4)可以利用點(diǎn)到直線的距離來(lái)刻畫(huà)散點(diǎn)與該直線的接近程度，然后利用所有距離之和刻畫(huà)所有樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與該直線的接近程度(具體推導(dǎo)過(guò)程參考課本108～109頁(yè))．知識(shí)梳理最小二乘法：我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱(chēng)為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱(chēng)經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估計(jì)，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).注意點(diǎn)：(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過(guò)點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．(2)eq\o(b,\s\up6(^))的常用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).例2某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070求經(jīng)驗(yàn)回歸方程．解列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560xeq\o\al(2,i)416253664eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5.故所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.反思感悟求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟(1)列：列表表示xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.(2)算：計(jì)算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(3)代：代入公式計(jì)算eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))的值．(4)寫(xiě)：寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．跟蹤訓(xùn)練2某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)绫恚簩W(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)(x)8876736663物理成績(jī)(y)7865716461求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．解eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(25054－5×73.2×67.8,27174－5×73.22)≈0.625，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.625x＋22.05.三、利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)例3某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得如表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)解(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f(14,20)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4－0.7×9＝－2.3，故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x－2.3.(3)由(2)中經(jīng)驗(yàn)回歸方程可知，當(dāng)x＝9時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×9－2.3＝4，即預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力為4.反思感悟(1)判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)：可以利用經(jīng)驗(yàn)，也可以畫(huà)散點(diǎn)圖．(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，注意運(yùn)算的正確性．(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)：估計(jì)值不是實(shí)際值，兩者會(huì)有一定的誤差．跟蹤訓(xùn)練3從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝184，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，其中eq\x\to(x)，eq\x\to(y)為樣本平均值．解(1)由題意知n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2＝720－10×82＝80，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y)＝184－10×8×2＝24，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(24,80)＝0.3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝2－0.3×8＝－0.4，故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，故x與y之間是正相關(guān)．(3)將x＝7代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．1．知識(shí)清單：(1)一元線性回歸模型．(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸．3．常見(jiàn)誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤．1．工人工資y(元)與勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)的相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝50＋80x，下列判斷正確的是()A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工人工資為130元B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高130元D．當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元．2．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可判定其體重必為58.79kg〖答案〗D〖解析〗當(dāng)x＝170時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，體重的估計(jì)值