2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征作業(yè)含解析新人教A版必修3

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十三)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(建議用時(shí)：60分鐘)一、選擇題1．下列說法中正確的個(gè)數(shù)為()①數(shù)據(jù)的極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；②數(shù)據(jù)的平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；③數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；④數(shù)據(jù)的方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定．A．1 B．2C．3 D．4C[由數(shù)據(jù)的極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的定義可知，它們都可以影響樣本數(shù)據(jù)的分布和穩(wěn)定性，而數(shù)據(jù)的平均數(shù)則與之無關(guān)，故②不正確，①③④正確．]2．16位參與百米半決賽同學(xué)的成果各不相同，按成果取前8位進(jìn)入決賽．假如小劉知道了自己的成果后，要推斷能否進(jìn)入決賽，則其他15位同學(xué)成果的下列數(shù)據(jù)中，能使他得出結(jié)論的是()A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．方差C[推斷是不是能進(jìn)入決賽，只要推斷是不是前8位，所以只要知道其他15位同學(xué)的成果中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同學(xué)的成果排列后看第8位的成果即可，小劉的成果高于這個(gè)成果就能進(jìn)入決賽，低于這個(gè)成果就不能進(jìn)入決賽，第8位的成果就是這15位同學(xué)成果的中位數(shù)．]3．某單位組織“不忘初心，牢記使命”主題教化學(xué)問競賽，滿分100分，統(tǒng)計(jì)20人的得分狀況如圖所示，若該20人成果的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，眾數(shù)為c，則下列推斷錯(cuò)誤的是()A．a(chǎn)＝92B．b＝92C．c＝90D．b＋c<2B[由圖知：得分889092949698100人數(shù)4534211所以a＝92，c＝90，b＝eq\f(88×4＋90×5＋92×3＋94×4＋96×2＋98＋100,20)＝92.2.]4．為了保障廣闊人民群眾的身體健康，在新冠肺炎疫情防控期間，有關(guān)部門對(duì)轄區(qū)內(nèi)15家藥店所銷售的A、B兩種型號(hào)的口罩進(jìn)行了抽檢，每家藥店抽檢10包口罩(每包10只)，15家藥店中抽檢的A、B型號(hào)口罩不合格數(shù)(Ⅰ、Ⅱ)的莖葉圖如圖所示，則下列描述不正確的是()A.估計(jì)A型號(hào)口罩的合格率小于B型號(hào)口罩的合格率B．Ⅰ組數(shù)據(jù)的眾數(shù)大于Ⅱ組數(shù)據(jù)的眾數(shù)C．Ⅰ組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于Ⅱ組數(shù)據(jù)的中位數(shù)D．Ⅰ組數(shù)據(jù)的方差大于Ⅱ組數(shù)據(jù)的方差D[對(duì)于A選項(xiàng)，由莖葉圖可知，A型號(hào)口罩的不合格數(shù)為6＋5＋8×2＋10＋12×4＋13＋14＋16＋20＋21＋30＝199，B型口罩的不合格數(shù)為2＋4＋5＋6＋8×2＋10＋11×3＋14＋16＋21＋25＋28＝180，A型號(hào)口罩的合格率為1－eq\f(199,1500)＝eq\f(1301,1500)，B型口罩的合格率為1－eq\f(180,1500)＝eq\f(1320,1500)，所以，A型口罩的合格率小于B型口罩的合格率，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，Ⅰ組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為12，Ⅱ組數(shù)據(jù)的眾數(shù)11，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，Ⅰ組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為12，Ⅱ組數(shù)據(jù)的11，C選項(xiàng)正確；由解除法可知D選項(xiàng)不正確．]5．中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是反映中華民族對(duì)生命、健康和疾病的相識(shí)，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系，是中華民族的珍寶．某科研機(jī)構(gòu)探討發(fā)覺，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量x(單位：克)與藥物功效y(單位：藥物單位)之間具有關(guān)系y＝10x－x2.檢測這種藥品一個(gè)批次的5個(gè)樣本，得到成分甲的平均值為4克，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(2)克，則估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為()A．22藥物單位 B．20藥物單位C．12藥物單位 D．10藥物單位A[設(shè)5個(gè)樣本的成分甲的含量分別為x1、x2、x3、x4、x5，平均值為eq\x\to(x)，則eq\x\to(x)＝4，(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x5－eq\x\to(x))2＝(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,5))－5eq\x\to(x)2＝10，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,5)＝90，則對(duì)應(yīng)的y1＋y2＋…＋y5＝10(x1＋x2＋…x5)－(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,5))＝110，所以估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為22.]二、填空題6．2020年4月24日下午，隨著最終1例新冠肺炎重癥患者治愈，武漢重癥病例實(shí)現(xiàn)了清零，抗疫工作取得了階段性重大成功．某方艙醫(yī)院從出院的新冠肺炎患者中隨機(jī)抽取100人，將這些患者的治療時(shí)間(都在[5,30]天內(nèi))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作出頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)該院新冠肺炎患者治療時(shí)間的中位數(shù)是________．17[設(shè)這100名新冠肺炎患者治療時(shí)間的中位數(shù)是x，∵(0.01＋0.05)×5＝0.3<0.5，(0.01＋0.05＋0.1)×5＝0.8>0.5，∴x∈[15,20)，0.3＋(x－15)×0.1＝0.5，解得x＝17，則估計(jì)該院新冠肺炎患者治療時(shí)間的中位數(shù)是17.]7．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是4，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上20，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________，方差是________．484[設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn；則新數(shù)據(jù)為x1＋20，x2＋20，…，xn＋20.因?yàn)閑q\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝28，所以eq\x\to(x)′＝eq\f(x1＋20＋x2＋20＋…＋xn＋20,n)＝20＋28＝48.因?yàn)閟2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，所以s′2＝eq\f(1,n){[x1＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2＋[x2＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2＋…＋[xn＋20－(eq\x\to(x)＋20)]2}＝s2＝4.]8．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－1,0,4，x,6,15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，那么數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．65[∵中位數(shù)為5，∴eq\f(4＋x,2)＝5，即x＝6.∴該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，平均數(shù)為eq\f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6)＝5.]三、解答題9．某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)月工資(元)22000250022002000100029700人數(shù)16510123合計(jì)22000150001100020000100069000(1)指出這個(gè)表格中月工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；(2)這個(gè)表格中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？[解](1)由表格可知，眾數(shù)為2000元．把23個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的依次排列，排在中間的數(shù)應(yīng)是第12個(gè)數(shù)，其值為2200，故中位數(shù)為2200元．平均數(shù)為69000÷23＝3000(元)．(2)雖然平均數(shù)為3000元，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理的工資在平均數(shù)以上，其余人的工資都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平．10．對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836(1)畫出莖葉圖，由莖葉圖你能獲得哪些信息？(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、方差，并推斷選誰參與競賽比較合適？[解](1)畫莖葉圖如下：中間數(shù)為數(shù)據(jù)的十位數(shù)．從莖葉圖上看，甲、乙的得分狀況都是分布勻稱的，只是乙更好一些．乙發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體狀況比甲好．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33.eq\x\to(x)乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的極差為11，乙的極差為10.綜合比較以上數(shù)據(jù)可知，選乙參與競賽較合適．1．甲、乙兩人在相同的條件下投籃5輪，每輪甲、乙各投籃10次，投籃命中次數(shù)的狀況如圖所示(實(shí)線為甲的折線圖，虛線為乙的折線圖)，則以下說法錯(cuò)誤的是()A．甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)比乙的小B．甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比乙的小C．甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)比乙的大D．甲投籃命中的成果比乙的穩(wěn)定B[由折線圖可知，甲投籃5輪，命中的次數(shù)分別為5,8,6,8,8，乙投籃5輪，命中的次數(shù)分別為3,7,9,5,9，則甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)為8，乙投籃命中次數(shù)的眾數(shù)為9，所以A正確；甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為7，乙投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為6.6，所以B不正確；甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)為8，乙投籃命中次數(shù)的中位數(shù)為7，所以C正確；甲投籃命中次數(shù)的數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)的左右，方差較小，乙投籃命中次數(shù)的數(shù)據(jù)比較分散，方差較大，所以甲的成果更穩(wěn)定一些，所以D正確．故選B.]2.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事務(wù)期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事務(wù)在一段時(shí)間內(nèi)沒有引起大規(guī)模群體感染的標(biāo)記為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．依據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，肯定符合該標(biāo)記的是()A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D．丁地：總體均值為2，總體方差為3D[依據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天新增的疑似病例不能超過7人，選項(xiàng)A中，中位數(shù)為4，可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項(xiàng)C中也有可能；選項(xiàng)B中的總體方差大于0，敘述不明確，假如方差太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項(xiàng)D中，依據(jù)方差公式，假如有大于7的數(shù)存在，那么方差不行能為3.故選D.]3．某市有15個(gè)旅游景點(diǎn)，經(jīng)計(jì)算，2024國慶黃金周期間各個(gè)景點(diǎn)的旅游人數(shù)平均為20萬，標(biāo)準(zhǔn)差為s，后來經(jīng)核實(shí)，發(fā)覺甲、乙兩處景點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的人數(shù)有誤，甲景點(diǎn)實(shí)際為20萬，被誤統(tǒng)計(jì)為15萬，乙景點(diǎn)實(shí)際為18萬，被誤統(tǒng)計(jì)成23萬；更正后重新計(jì)算，得到標(biāo)準(zhǔn)差為s1，則s與s1的大小關(guān)系為()A．s＝s1 B．s＜s1C．s＞s1 D．不能確定C[由已知，兩次統(tǒng)計(jì)所得的旅游人數(shù)總數(shù)沒有變，即兩次統(tǒng)計(jì)的各景點(diǎn)旅游人數(shù)的平均數(shù)是相同的，設(shè)為eq\x\to(x)，則s＝eq\r(\f(1,15)[15－\x\to(x)2＋23－\x\to(x)2＋x3－\x\to(x)2＋…＋x15－\x\to(x)2])，s1＝eq\r(\f(1,15)[20－\x\to(x)2＋18－\x\to(x)2＋x3－\x\to(x)2＋…＋x15－\x\to(x)2]).若比較s與s1的大小，只需比較(15－eq\x\to(x))2＋(23－eq\x\to(x))2與(20－eq\x\to(x))2＋(18－eq\x\to(x))2的大小即可．而(15－eq\x\to(x))2＋(23－eq\x\to(x))2＝754－76eq\x\to(x)＋2eq\x\to(x)2，(20－eq\x\to(x))2＋(18－eq\x\to(x))2＝724－76eq\x\to(x)＋2eq\x\to(x)2，所以(15－eq\x\to(x))2＋(23－eq\x\to(x))2＞(20－eq\x\to(x))2＋(18－eq\x\to(x))2.從而s＞s1.]4．若40個(gè)數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是eq\f(\r(2),2)，則這組數(shù)據(jù)的方差是________，標(biāo)準(zhǔn)差是________．0.9eq\f(3\r(10),10)[設(shè)這40個(gè)數(shù)據(jù)為xi(i＝1,2，…，40)，平均數(shù)為eq\x\to(x).則s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x40－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40eq\x\to(x)2－2eq\x\to(x)(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56－40×\f(1,2)))＝0.9.∴s＝eq\r(0.9)＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).]5．某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下：[0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2，2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5]，2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖，并依據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出