2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列2.1第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練含解析北師大版必修5

PAGE第一章數(shù)列§2等差數(shù)列2.1等差數(shù)列第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．(2024·舒蘭市模擬)假如在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a7等于()A．4 B．6C．8 D．12解析：在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，可得a1＋a7＝a3＋a5＝2a4，即3a4＝12，可得a4＝4，所以a1＋a7＝8.故選C.答案：C2．設(shè)數(shù)列{an}、{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于()A．0 B．37C．100 D．－37解析：∵{an}與{bn}為等差數(shù)列，∴{an＋bn}為等差數(shù)列．又a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}的首項(xiàng)為a1＋b1，公差為100－100＝0，∴a37＋b37＝(a1＋b1)＋(37－1)d＝100.故選C.答案：C3．等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－aA．20 B．22C．24 D．－8解析：∵a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，而2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故選C.答案：C4．(2024·皇姑區(qū)模擬)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是等差數(shù)列，則a3等于()A.eq\f(1,3) B．3C．5 D．2007解析：因?yàn)閍1＝1，a2＝2，且數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是等差數(shù)列，所以eq\f(2,a2＋1)＝eq\f(1,a1＋1)＋eq\f(1,a3＋1)，即eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,a3＋1)，解得a3＝5，故選C.答案：C5．(2024·大理州模擬)《萊因德紙草書》(RhindPapyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有這樣一道題：把120個面包分成5份，使每份的面包數(shù)成等差數(shù)列，且較多的三份之和恰好是較少的兩份之和的7倍，則最少的那份有()個面包．()A．4 B．3C．2 D．1解析：設(shè)五個人所分得的面包為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，(其中d＞0)，則有(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝120，∴a＝24.由a＋a＋d＋a＋2d＝7(a－2d＋a－d)，得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝11.∴最少的一份為a－2d＝24－22＝2.故選C.答案：C6．已知等差數(shù)列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的兩根，則a5＋a6＋a7＋a8＝________．解析：由條件知，a3＋a10＝3，又因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，a3＋a10＝a5＋a8＝a6＋a7，所以a5＋a6＋a7＋a8＝2(a3＋a10)＝6.答案：67．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7解析：法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20.法二：a3＋a8＝2a3＋5d＝10，3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20.答案：208．若x≠y，兩個數(shù)列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b4－b3)＝________．解析：設(shè)兩個等差數(shù)列的公差分別為d1，d2.則y－x＝4d1＝5d2，又a2－a1＝d1，b4－b3＝d2，所以eq\f(a2－a1,b4－b3)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(\f(1,4)（y－x）,\f(1,5)（y－x）)＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)9．已知f(x)＝x2－2x－3，等差數(shù)列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－eq\f(3,2)，a3＝f(x)．求：(1)x的值；(2)通項(xiàng)公式an.解析：(1)由f(x)＝x2－2x－3，得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，a3＝x2－2x－3，又因?yàn)閍1，a2，a3成等差數(shù)列，所以2a2＝a1＋a3，即－3＝x2－4x＋x2－2x－3，解得x＝0，或x＝3.(2)當(dāng)x＝0時，a1＝0，d＝a2－a1＝－eq\f(3,2)，此時an＝a1＋(n－1)d＝－eq\f(3,2)(n－1)；當(dāng)x＝3時，a1＝－3，d＝a2－a1＝eq\f(3,2)，此時an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(3,2)(n－3)．10．三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個數(shù)．解析：設(shè)三個數(shù)分別為a，a＋d，a＋2d，由題意得：a＋a＋d＋a＋2d＝9，a(a＋d)＝6(a＋2d)，解得：a＝4，d＝－1，則這三個數(shù)分別為4，3，2.[B組實(shí)力提升]11．(2024·商丘市模擬)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＋a7＋a13＝4π，則sin(a2＋a12)的值()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．10 D．5解析：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＋a7＋a13＝4π，可得a7＝eq\f(4π,3)；a2＋a12＝eq\f(8π,3)，sin(a2＋a12)＝sin·eq\f(8π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故選B.答案：B12．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)，則a6的值是()A．8 B．4C．16 D．2eq\r(2)解析：∵2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)，a1＝1，a2＝2，∴aeq\o\al(2,1)＝1，aeq\o\al(2,2)＝4，aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1)＝3，∴數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是以1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得aeq\o\al(2,n)＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴aeq\o\al(2,6)＝16.∵an＞0，∴a6＝4，故選B.答案：B13．若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個數(shù)的積為________．解析：設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝59，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.))∴這三個數(shù)為－1，3，7或7，3，－1.∴這三個數(shù)的積為－21.答案：－2114．在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2…2解析：在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，則log2(2a1·2a2…2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20.答案：2015．首項(xiàng)為a1，公差d為正整數(shù)的等差數(shù)列{an}滿意下列兩個條件：(1)a3＋a5＋a7＝93；(2)滿意an＞100的n的最小值是15，試求公差d和首項(xiàng)a1的值．解析：因?yàn)閍3＋a5＋a7＝93，所以3a5＝93，所以a5＝31，所以an＝a5＋(n－5)d＞100，所以n＞eq\f(69,d)＋5.因?yàn)閚的最小值是15，所以14≤eq\f(69,d)＋5＜15，所以6eq\f(9,10)＜d≤7eq\f(2,3)，又d為正整數(shù)，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.16．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若從數(shù)列{an}中，依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第2n項(xiàng)，按原來依次組成一個新數(shù)列{bn}，試求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因?yàn)閍1＋a2＋a3＝12.所以a2＝4，因?yàn)閍8＝a2＋(8