2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則課后作業(yè)含解析北師大版選修2-2

PAGE其次章改變率與導(dǎo)數(shù)[A組基礎(chǔ)鞏固]1．設(shè)y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，－π<x<π，當(dāng)y′＝2時(shí)，x等于()A．±eq\f(1,3)π B．±eq\f(1,6)πC．±eq\f(1,4)π D．±eq\f(2,3)π解析：∵y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，∴y′＝eq\f(cosx1＋cosx－－sinxsinx,1＋cosx2)＝eq\f(1＋cosx,1＋cosx2)＝eq\f(1,1＋cosx).∵y′＝2，∴eq\f(1,1＋cosx)＝2.∴cosx＝－eq\f(1,2).又－π<x<π，∴x＝±eq\f(2,3)π.答案：D2．在下列四個(gè)命題中(每個(gè)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù))，真命題為()①若y＝f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)，則y′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；②若y＝f1(x)·f2(x)，則y′＝f1′(x)f2(x)＋f1(x)·f2′(x)＋f1′(x)f2′(x)；③若y＝k1f1(x)±k2f2(x)(k1，k2是實(shí)常數(shù))，則y′＝k1f1′(x)±k2f2′(x)；④若y＝eq\f(f1x,f2x)，則y′＝eq\f(f1x,f2′x)＋eq\f(f1′x,f2x)＋eq\f(f1′x,f2′x).A．①② B．②③C．①③ D．③④解析：對(duì)②，由求導(dǎo)法則易知：y′＝[f1(x)f2(x)]′＝f1′(x)f2(x)＋f1(x)f2′(x)．對(duì)④，y′＝[eq\f(f1x,f2x)]′＝eq\f(f1′xf2x－f1xf2′x,f\o\al(2,2)x).答案：C3．若函數(shù)f(x)＝exsinx，則此函數(shù)圖像在點(diǎn)(3，f(3))處的切線的傾斜角為()A.eq\f(π,2) B．0C．鈍角 D．銳角解析：f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝eq\r(2)exsin(x＋eq\f(π,4))，f′(3)＝eq\r(2)e3sin(3＋eq\f(π,4))<0，則此函數(shù)圖像在點(diǎn)(3，f(3))處的切線的傾斜角為鈍角．答案：C4．若過(guò)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax上的點(diǎn)P的切線與直線2x－y＝0平行，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)解析：設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線與直線2x－y＝0平行，因?yàn)閒′(x)＝eq\f(1,x)＋a，故f′(x0)＝eq\f(1,x0)＋a＝2，得a＝2－eq\f(1,x0)，由題意知x0＞0，所以a＝2－eq\f(1,x0)＜2.答案：B5．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋3)的導(dǎo)數(shù)是()A.eq\f(x2＋6x,x＋32) B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,x＋32) D.eq\f(3x2＋6x,x＋32)解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x＋3)))′＝eq\f(x2′x＋3－x2·x＋3′,x＋32)＝eq\f(2xx＋3－x2,x＋32)＝eq\f(x2＋6x,x＋32).答案：A6．函數(shù)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______．解析：y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，y′＝3x2－eq\f(2,x3).答案：3x2－eq\f(2,x3)7．若曲線f(x)＝x4－x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：∵f′(x)＝4x3－1，由題意得4x3－1＝3，∴x＝1.故切點(diǎn)為P(1,0)．答案：(1,0)8．已知曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：∵y′＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(3,x)＝\f(1,2)，,x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6＝0，,x>0，))解得x＝3，故切點(diǎn)坐標(biāo)為(3，eq\f(9,4)－3ln3)．答案：(3，eq\f(9,4)－3ln3)9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝eq\f(x2,sinx).解析：(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.(2)y′＝eq\f(x2′sinx－x2sinx′,sin2x)＝eq\f(2xsinx－x2cosx,sin2x).10．已知曲線C1：y1＝x2與C2：y2＝－(x－2)2，若直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程．解析：法一：設(shè)直線l與曲線C1、C2分別相切于A(a，a2)，B(b，－(b－2)2)．因?yàn)閮汕€對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)，當(dāng)x＝a時(shí)，y1′＝2a，當(dāng)x＝b時(shí)，y2′＝－2(b－2)，易知2a＝－2(b－2)，由題意，可得eq\f(a2＋b－22,a－b)＝2a＝－2(b－2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2－b，,a2－b2－2ab＋4b＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝2.))所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)或(0,0)，切線的斜率k＝4或0，從而得到切線l的方程為4x－y－4＝0或y＝0.法二：設(shè)l與C1、C2相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b，直線l的斜率為k，依據(jù)題意，得y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)．則k＝2a＝－2(b－2)，可得a＝eq\f(k,2)，b＝eq\f(4－k,2)，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(eq\f(k,2)，eq\f(k2,4))，(eq\f(4－k,2)，－eq\f(k2,4))，則k＝eq\f(\f(k2,4)－－\f(k2,4),\f(k,2)－\f(4－k,2))＝eq\f(k2,2k－4)，解得k＝0或4.故所求的切線方程為4x－y－4＝0或y＝0.[B組實(shí)力提升]1．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)等于()A．212 B．29C．28 D．26解析：因?yàn)閒′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.答案：A2．設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q＝100－5P，其中Q、P分別表示需求量和價(jià)格，假如商品需求彈性eq\f(EQ,EP)大于1，其中eq\f(EQ,EP)＝－eq\f(Q′,Q)P，Q′是Q的導(dǎo)數(shù)，則商品價(jià)格P的取值范圍是()A．(0,10) B．(10,20)C．(20,30) D．(20，＋∞)解析：eq\f(EQ,EP)＝－eq\f(Q′,Q)P＝－eq\f(－5,100－5P)·P＝eq\f(P,20－P)，由eq\f(EQ,EP)＞1得eq\f(P,20－P)－1＞0，即eq\f(2P－20,20－P)＞0，解得10＜P＜20.故選B.答案：B3．已知f(x)＝x2＋2f′(－eq\f(1,3))x，則f′(－eq\f(1,3))＝________.解析：因?yàn)閒(x)＝x2＋2f′(－eq\f(1,3))x，所以f′(x)＝2x＋2f′(－eq\f(1,3))，所以f′(－eq\f(1,3))＝2×(－eq\f(1,3))＋2f′(－eq\f(1,3))，所以f′(－eq\f(1,3))＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)4．設(shè)f(x)＝aex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝eq\f(1,e)，則a＋b＝________.解析：因?yàn)閒′(x)＝aex＋eq\f(b,x)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝ae＋b＝e，,f′－1＝\f(a,e)－b＝\f(1,e)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))所以a＋b＝1.答案：15．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c通過(guò)點(diǎn)P(1,1)，且在點(diǎn)Q(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求實(shí)數(shù)a、b、c的值．解析：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)P(1,1)，∴a＋b＋c＝1.…………①∵y′＝2ax＋b，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y′＝4a＋b，∴4a＋b＝1.…………②又拋物線過(guò)Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1，…………………③聯(lián)立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.6．曲線C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在點(diǎn)(0,1)處的切線為l1：y＝x＋1，在點(diǎn)(3,4)處的切線為l2：y＝－2x＋10，求曲線C的方程．解析：