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文檔簡介
新人教A版高中數(shù)學(xué)必修1第一章單元檢測
(120分鐘150分)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.(2020?新高考全國I卷)設(shè)集合A={X|1WXW3),B={x|2<x<4},則AUB=()
A.{x|2<x^3|B.{x|2WxW3}
C.{X|1WX<4}D.(X|1<X<4)
【解析】選C.因為A=[1,3],B=(2,4),所以AUB=[1,4).
2.已知集合乂=僅£/|一34遼5},N={x|xW—5或x25},則MD&N)=()
A.[1,2,3,4,5}B.{x|-3<x<5}
C.{x|-5<xW5)D.{1,2,3,4)
【解析】選D.M=[x£N.|-3<x&5}=(1,2,3,4,5},N=(x|x&一5或x=5),C?N={x|
-5<x<5),則MD(CRN)={1,2,3,4).
3.(2020?天津高考)設(shè)全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3),集合A={-1,0,1,2},
B=1-3,0,2,3),則An[B)=()
A.{-3,3}B.{0,2)
C.{-1,1}D.{-3,—2,—1,1,3)
【解析】選C.由題意結(jié)合補集的定義可知:LB=(-2,-1,1),則An&B)={-1,1}.
4.下列四組函數(shù),表示相等函數(shù)的是()
A.f(x)=4?,g(x)=x
2
B.f(x)=x,g(x)=—
C.f(x)=^/X2-4,g(x)=7^+2
(x+1,X^—1,
D.f(x)=|x+11,g(x)=\
[-X-1,X<一1
【解析】選D.A選項兩者的定義域相同,但是f(x)=|x|,對應(yīng)法則不同;B選項兩個函數(shù)
的定義域不同,f(x)的定義域是R,g(x)的定義域是{x|x手0};C選項兩個函數(shù)的定義域不
同,f(x)的定義域是(一8,-2]U[2,4-oo),g(x)的定義域是[2,+8);D選項根據(jù)絕
對值的意義,把函數(shù)f(X)整理成g(x),兩個畫數(shù)的三?個要素都相同.
5.a,b為實數(shù),集合M=*1,N={a,0),f:x—2x表示把集合M中的元素x映射到
集合N中為2x,則a+b=()
1
A.-2B.0C.2D.±2
【解析】選C.由條件知M中元素P只能對應(yīng)0,1只能對應(yīng)a,所以*=0,a=2,所以b
aa
=0,a=2,因此a+b=2.
x+3,x>10,
6.設(shè)f(x)=一則f⑸的值是()
f(f(x+5))xW10,
A.24B.21C.18D.16
【解析】選A.f(5)=f(f(10))=f(f(f(15)))=f(f(18))=f(21)=24.
7.F(x)=(x'-2x)f(x)(x>0)是奇函數(shù),且f(x)不恒等于零,則下乂)為()
A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)
C.奇函數(shù)或偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)
【解析】選B.F(x)=(x3—2x)f(x:(x右0)是奇函數(shù),且千(x)不恒等于零,可得F(-x)=(一
X3+2X)f(―x)=—F(x)=—(x3—2x)f(x),可得f(—x)=f(x),即有f(x)為偶函數(shù).
8.若函數(shù)f(x)=x?+4x+6,則f(x)在[-3,0)上的值域為()
A.[2,6]B.[2,6)
C.[2,3]D.[3,6]
【解析】選B.因為函數(shù)f(x)=x?+4x+6,所以當(dāng)x£[-3,0)時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,
-2]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[一2,0]上單調(diào)遞增.因為f(—2)=2,f(-3)=3,f(0)=6,所
以2Wf(x)<6.
9.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+8)上單調(diào)遞增,若f(—i)=o,則不
等式f(2x—1)>0的解集為()
A.(—8,0)U(1,4-00)
B.(-6,0)U(1,3)
C.(-oo,1)U(3,+8)
D.(一8,-DU(3,4-00)
【解析】選A.因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(-1)=0且在[0,+8)上單調(diào)遞增,所
以f(1)=0且f(x)在(一8,0]上單調(diào)遞減,所以由f(2x-1)>0得2x-1>1或2x-1<-1,
即x>1或x<0,則不等式的解集為(一8,0)U(1,4-oo).
10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),x20時,f(X)=X2-2X,則函數(shù)f(x)在R上的
解析式是()
2
A.f(x)=—x(x—2)
B.f(x)=x(|x|-2)
C.f(x)=|x|(x-2)
D.f(x)=|x|(|x|-2)
【解析】選D.因為f(x)在R上是偶函數(shù),且x?0時,f(X)=X2-2X,所以當(dāng)xVO時,一x
>0,f(―x)=(—X)2+2X=X2+2X,
則f(x)=f(―x)=x2+2x=—x(—x—2).
又當(dāng)x20時,f(X)=X2-2X=X(X-2),
因此f(x)=|x|(|x|-2).
—x2—ax—5(XW1),
11.已知函數(shù)f(x)=(a,、是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是()
-(x>1)
X
A.-3Wa<0B.—3WaW—2
C.aW-2D.a<0
【解析】選B.由條件可知q〃
a<0,
l—a—6Wa,
解得一3WaW-2.
12.若集合A具有以下性質(zhì):
(DOSA,1GA:
(2)若x£A,yGA,則x-y£A,且x于。時,:GA,則稱集合A是“好集”,下列命題正確
的個數(shù)是()
①集合B={-1,0,1)是“好集”;②有理數(shù)集Q是“好集”;③設(shè)集合A是“好集”,若x
EA,yGA,則x+y£A.
A.0B.1C.2D.3
【解析】選C.①中,因為集合0,1),當(dāng)x=-1,y=1時,x-y住B,故B不是
“好集",即①錯誤;②中,因為OGQ,1EQ,對任意的x,yGQ,有x—y£Q,且x手。時,
:GQ,所以有理數(shù)集Q是“好集”,故②正確:③中,因為集合A是“好集",所以O(shè)WA.
若x£A,y£A,則O-y£A,即一y£A,所以x—(一y)SA,即x+y£A,故③正確.
二、康空題(每小題5分,共20分)
3
13.設(shè)集合A=[1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0),若A,B相等,則實數(shù)a=
a2—1=0,
【解析】由集合相等的概念得
a2-3a=-2,
解得a=1.
答案:1
11「11「1一
14.已知函數(shù)f(x)=------(a>0,x>0),若f(x)在2上的值域為2,則a=
axz2
【解析】易知f(x)在g,2上是懵函數(shù),又f(x)在2上的值域為;,2,所以雅
=--2=!,f(2)=---=2,解得a=£?
a/3zo
答案:I
15.已知函數(shù)f(x),則函數(shù)g(x)=f(x+g)+f(x—9的定義域是.
X乒x+*2,1
【解析】由?河解得。4<2,叫解得”,故函數(shù)的定義域為
[0Wx-]<2,
ri二
T2),
2—3,x>C,
X./'是奇函數(shù),則f(x)=_______.
{f(x),x<0
【解析】設(shè)x<0,則一x>0,g(—x)=—2x—3.因為g(x)為奇函數(shù),所以t(x)=g(x)=—g(—
x)=2x4-3.
答案:2x+3
三、解答題(共70分)
17.(10分)已知集合A={x|2—aWxW2+a},B={x|xW1或x24}.
(1)當(dāng)a=3時,求ACIB.
(2)若ADB=。,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】⑴當(dāng)a=3時,A={x|-1WxW5},B={x|xW1或x24],
所以ADB={x|-1WXW1或44xW5).
⑵①若A=。,此時2—a>2+a,
4
所以aVO,滿足ACIB=0.
②當(dāng)a'O時,A=(x|2—a《xS2+a)豐。,
[2—a>1,
因為ADB=。,所以(所以0《aV1.
[2+aV4,
綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是(一8,1).
18.(12分)已知函數(shù)f(x)=2a+2x—1(a>0,x>0).
x
(1)求證:f(x)在(0,+8)上是增函數(shù);
⑵若f(x)在[1,3]上的最大值是最小值的2倍,求a的值.
【解析】⑴設(shè)0VXVX2,則:
11
f(xi)—f(x)=(2a+2xi---)—(2a+2X-----)
2Xi2X2
=2(XLX2)+?-£),
由于OVxiVxz,故Xi—Xz<0,----<0,
X2Xi
據(jù)此可得f(Xi)—f(x2)<0,f(xi)<f(x2),
即函數(shù)f(x)是區(qū)間(0,+8)上的增函數(shù).
⑵由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題意可得f(3)=2f(1),
111
即2a+6—3=2(2a+2-1),解得a=H.
19.(12分)已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(0,4),對任意x滿足f(2—x)=f(x),且有最
小值為1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[3a,a+1]上不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍.
2—x+x
【解析】(1)因為對任意x,f(x)滿足f(2—x)=f(x),則有:對稱軸x=---=1,
又因為最小值為1,所以設(shè)二次函數(shù)解析式為f(x)=a(x-1)2+1(a=#0).因為f(x)的圖象過
點(0,4),所以a(0-1)2+1=4,所以a=3,
所以f(x)的解析式為f(x)=3x2—6x+4.
(2)由(1)可知f(x)=3x?—6x+4,對稱軸x=1,開口向上.若f(x)在區(qū)間[3a,a+1]上不
單調(diào),
5
a+1>1,
則有:<3a<1,
3a<a+1,
解得0<ag
所以實數(shù)a的取值范圍為
20.(12分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x20時,f(x)=x2-4x.現(xiàn)已畫出函
數(shù)f(x)在y軸右側(cè)的圖象,如圖所示.
(1)畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)區(qū)間;
⑵求函數(shù)f(x)在R上的解析式;
⑶解不等式xf(x)V0.
【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱可得圖象如圖所示;
結(jié)合圖象可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間[-2,0],[2,4-co),減區(qū)間(-8,-2),(0,2).
(2)因為x20時,f(x)=x2-4x,
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,
當(dāng)xVO時,f(x)=X2+4X,
x2—4x,
故f(x)t+4x,x20
x<0
x>0fx<0
⑶由xf(x)VO可得,,、
f(x)<0[f(x)>0
結(jié)合圖象可得,0VxV4或xV-4,
6
故不等式的解集為{x|0<x<4或xV-4}.
21.(12分)(2020?義烏高一檢測)已知的數(shù)千(乂)=/一4乂一4
(1)若x£[0,5],求f(x)的值域.
(2)若xe[t,t+l](teR),求函數(shù)f(x)的最小值g(t)的解析式.
【解析】(1)f(x)=x?—4x—4=(x—2)2—8,
對稱軸x=2,開口向上,
所以f(x)在[0,2]上遞減,在[2,5]上遞增,
所以f(x)的最小值是f(2)=-8,f(x)的最大值是f(5)=1,故f(x)的值域為[-8,1].
(2)f(x)=x2—4x—4=(x—2)2-8,
即拋物線開口向上,對稱軸為x=2,最小值為一8,過點(0,-4),結(jié)合二次函數(shù)的圖象可
知:
當(dāng)t+l<2,即t<1時,f(x)=x2—4x—4,x£[t,14-1](t£R),在x=t+1處取最小值f(t
4-1)=t2-2t-7;
t+1>2,
當(dāng)即1WtW2時,即x)=x。-4x-4,x€[t,t+1](t£R)在x=2處取最小值
t/2,
-8:
當(dāng)t>2時,f(x)=x2—4x—4,x€[t,t+1](t£R)在x=t處取最小值f(t)=t?—4t—4.
t2-2t-7,t£(一8,1),
綜上可得,g(t)=1-8,te[i,2],
,t2—4t-4,tE(2,4-oo).
22.(12分)某種商品在30天內(nèi)等件的銷售價格P(元)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
該商品在30天內(nèi)日銷售量Q(件)與時間t(天)之間的關(guān)系如下表:
t/天5102030
Q/件45403020
(1)根據(jù)提供的圖象(如圖),寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數(shù)關(guān)系式;
⑵根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),寫出日銷售量Q與時間t的一次函數(shù)關(guān)系式;
⑶求該商品日銷售金額的最大值,并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天.(日
銷售金額=每件的銷售價格X日銷售量).
7
/'/元
【解析】(1)根據(jù)圖象,當(dāng)0<t<25時,P=t+20:當(dāng)25/t《30時,P=-t+100,
化+20,0<t<25,*
所以每件商品的銷售價格P與時間t的函數(shù)關(guān)系式為P=(teN)
l-t+100,25WtW30.
⑵可設(shè)日銷售量Q與時間t的一次函數(shù)關(guān)系式為Q=kt+b,#(10,40),(20,30)代入易
求得k=—1,b=50,
所以日銷售量。與時間t的一次函數(shù)關(guān)系式為Q=-t+50(0<tW30,tEN*).
(3)當(dāng)0<t<25,t£N?時,y=(t+20)(-t+50)=-t2+30t+1000=-(t-15)2+1225.
所以t=15(天)時,ygx=1225(元),
當(dāng)25WtW30,t£N*時,y=(-t+100)(-t+50)=t?-150t+5000=仕一75尸一625,當(dāng)
te[25,30]時,函數(shù)遞減,所以t=25(天)時,%=1875(元).
因為1875>1225,所以丫皿=1875(元).
故所求日銷售金額的最大值為1875元,且在30天中的第25天日銷售金額最大.
8
新人教A版高中數(shù)學(xué)必修1第二章單元檢測
(120分鐘150分)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.函數(shù)y=y/x—1?In(2—x)的定義域為()
A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]
fx—1NO,
【解析】選B.要使解析式有意義,則{
(2-x>0,
解得1Wx<2,所以所求函數(shù)的定義域為[1,2).
2.如圖所示,二次圖數(shù)y=ax?+ox與指數(shù)函數(shù)y=件)的圖象可能為()
【解析】選C.根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=(Jx可知,a,b同號且不相等,則二次函數(shù)y=ax?+bx
的對稱軸一*V0,可排除B與D,又因為二次函數(shù)y=ax2+bx過坐標(biāo)原點,所以C正確.
za
3.函數(shù)y=3「的值域是(:
A.[2,+8)B.(2,4-oo)
C.(0,1]D.[1,+8)
【解析】選D.由于小二720,所以函數(shù)y=3f23°=1,故函數(shù)的值域為[1,4-oo).
4.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2-4(x20),fl{x|f(x-2)>0}=()
9
A.{x|x<—2或x>4}
B.{x|x<0或x>4)
C.{x|x<0或x>6}
D.{x|x<—2或x>2)
【解析】選B.因為f(x)為偶函數(shù),
當(dāng)x<0時,f(x)=f(-x)=2-x~4.
2X—4,x,0,
所以f(x)=若f(x—2)>0,
2—4,x<0,
x-2^0,x-2<0,
則有,或J解得x>4或x<0.
2X-2-4>02-K+2-4>0,
5.下列四個數(shù)中最小的是()
A.log]2B.-0.3°7C.log13D.-1
32
【解析】選C.log13=-log23<-1,
2
7
—1<—0.3°<0,logi2=—log32G(—1,0),
3
所以四個數(shù)中,最小的是log]3.
2
6.下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)丫=3一的定義域和值域相同的是()
A.y=xB.y=lgxC.y=2*D.y=~U
【解析】選D.函數(shù)y=e"x的定義域和值域均為(0,+8),函數(shù)y=x的定義域和值域均為
R.不滿足要求:函數(shù)v=Ex的定義域為(0.4-oo),值域為R,不滿足要求:函數(shù)v=2,
的定義域為R,值域為(0,4-00),不滿足要求;函數(shù)y=a的定義域和值域均為(0,4-OO),
滿足要求.
7.三個數(shù)5°6,0.65,log。0的大小順序正確的是()
506506
A.0.6<log065<5B.0.6<5<logo.65
C.log065V506Vo.65D.log。65Vo.65V506
5
【解析】選D.由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知0<0.6<1,log。65V0,
所以logo65Vo.65V5°
8.已知Iog32=a,3b=5,則log標(biāo)用a,b表示為()
10
11
A.-(a+b+1)B.~(a+b)+1
C.;(a+b+1)D.;a+b+1
【解析】選A.因為3b=5,所以b=log35,log345b=;log330=^(Iog334-1og324-log35)
=3(1+a+b).
9.已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,a羊1)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論
成立的是()
A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1
【解析】選D.因為函數(shù)單調(diào)遞減,所以0VaV1,
當(dāng)x=1時,Ioga(x+c)=Ioga(14-c)<0,
即1+C>1,即c>0,當(dāng)x=0時,loga(x+c)=logac>0,即cV1,即0VcV1.
10.已知函數(shù)f(x)=2log1x的值域為[-1,1],則函數(shù)f(x)的定義域是()
2
A.乎,y/2B.[—1,1]
C.2]D.1-8,陰U[啦,4-oo)
【解析】選A.因為已知函數(shù)f(x)=2log1x的值域為[-1,1],所以一1W2logj_xW1,
22
即log]⑥W210g工xWlo町出,
222V
化簡可得|Wx?W2.再由x>0可得乎這x<啦,
故函數(shù)f(x)的定義域為平,啦].
11.如果一個點是一個指數(shù)函數(shù)與一個對數(shù)函數(shù)的圖象的公共點,那么稱這個點為''好點在
下面的五個點M(1,1),N(1,2),P(2,1),0(2,2),G(2,中,可以是“好點”的有()
A.0個B.1個C.2個D.3個
11
【解析】選C.設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=a<(a>0,a#=1),
顯然不過點M,P,若設(shè)對數(shù)函數(shù)為y=logbx(b>0,b=#1),顯然不過N點,所以“好點”有
2個.
12.某種放射性元素的原子數(shù)N隨時間t的變化規(guī)律是N=Noef;其中N。,入是正的常數(shù),
No
則當(dāng)N=—時,t=()
1111
A.入In3B.入InwC.bIn不D.-In3
3AJA
N
【解析】選D.N=Noef所以丁=e-u,
No
N1N
所以一入t=lnrr,所以t=一~~In—,
NoANo
,No,1
當(dāng)N=—時,t=-In3.
OA.
二、填空題(每小題5分,共20分)
13.(2^/P?)(-6^/a?^/b)-r(-3^/a?)=
[解析](2^/P?y{b)(—6\[a?航):(-3^/a?甑5)
=(2a;?bfj卜6a;?b;)4-^-3a;?b。
21_22'_5
+
=4a32-6.b2T6=4a?.b°=4a.
答案:4a
2ex-,,x<2,
14.設(shè)f(x)=]則f(f(2))=
Iog3(2—1),x22,
【解析】因為十(2)=log3(22-1)=1,
所以千(f(2))=f(1)=2e,-,=2.
答案:2
15.若f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=log2(2-x),則f(0)+f(2)=.
【解析】f(x)為R上的奇函數(shù),則f(0)=0,
f(2)=-f(-2),所以f(-2)=log2(2+2)=2,所以f(2)=—2,所以f(0)+f(2)=0—2
=-2.
答案:一2
16.設(shè)平行于y軸的直線分別與函數(shù)yi=logzx及函數(shù)y2=log2x+2的圖象交于B,C兩點,
點A(m,n)位于函數(shù)y2=log2x+2的圖象上,如圖,若AABC為正三角形,則m-2n=________.
12
【解析】由題意知,n=log?m+2,所以m=2k2.又BC=y?—w=2,且AABC為正三角形,
所以可知B(m+45,n—1)在yi=logzx的圖象上,所以n—1=log2(m+[5),即111=2"一'
一水,所以2"=4,5,所以,所以m?2"=,5X4木=12.
答案:12
三、解答題(共70分)
11
17.(10分)已知x£[—3,2],求f(x)=不一,+1的最小值與最大值.
【解析】f(x)一/+1=4=2一+1=2-2,-2一+1=(2—一12,
113
因為xe[-3,2],所以zW2-*W8,則當(dāng)2一*=,,即x=1時,f(x)有最小值z,當(dāng)2f
=8即x=-3時,f(x)有最大值57.
18.(12分)(1)已知log?(16-2x)=x,求x的值.
⑵計算:,0752
7%)°+81-^/(-3)X83+log57-log725.
x
【解析】(1)因為log2(16-2)=x,
所以2*=16—2*,化簡得2*=8,所以x=3.
3
_237?|ff5
⑵原式=1+a)4-3X(23)—+上-—^―
31g51g7
=1+27-12+2=18.
19.(12分)已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點P(3,8),且函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)
于y軸對稱.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式.
⑵若g(2x2—3x+1)>g(x2+2x—5),求x的取值范圍.
【解析】(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)為:f(x)=a\
因為指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(3,8),
所以8=a1所以a=2,
所求指數(shù)畫數(shù)為f(x)=2x;
13
因為函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以g(x)=2t
⑵由⑴得g(x)為減函數(shù),
因為g(2x2—3x+1)>g(x2+2x—5),
所以2x?—3X+1VX?+2X—5,解得x£(2,3),
所以x的取值范圍為(2,3).
20.(12分)若點(啦,2)在寐函數(shù)千(x)的圖象上,點(2,習(xí)在簌函數(shù)g(x)的圖象上.
(1)求f(x)和g(x)的解析式.
[f(x),f(x)Wg(x),
⑵定義h(x)=/、/、,、求函數(shù)h(x)的最大值及單調(diào)區(qū)間.
lg(x),f(x)>g(x),
【解析】(1)設(shè)f(x)=xa,因為點(也,2)在賽函數(shù)f(x)的圖象上,所以(啦)a=2,解
得a=2,即f(x)=x2.
設(shè)g(x)=x=因為點(2,3在寐函數(shù)g(x)的圖象上,所以20=3,解得0=—1,即g(x)
=x",.
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)=x?和g(x)=xf的圖象,可得函數(shù)h(x)的圖象
如圖所示.
x-1x〈O或x>1
由題意及圖象可知h(x)={2''根據(jù)函數(shù)h(x)的解析式及圖象可知,函數(shù)h(x)
的最大值為1,單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1],單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0)和(1,4-oo).
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=log41+x),g(x)=loga(3—x)(a>0,a=#1).
⑴當(dāng)a>1時,若h(x)=f(x)+g[x)的最大值為2,求a的值.
⑵求使f(x)—g(x)>0的x的取值范圍.
[1+X>0,
【解析】(1)因為彳所以一1<x<3,因為h(x)=f(x)+g(x)=log」(1+x)(3—x)],
[3-x>0,
所以當(dāng)x=1時,(1+x)(3—x)取最大值4.因為a>1,所以當(dāng)x=1時,h(x)取最大值loga4,
因此Ioga4=2,a=2.
14
⑵因為f(x)—g(x)>0,所以log,(1+x)>loga(3—x),當(dāng)a>1時,1+x>3-x>0,1<x<3;
當(dāng)0<a<1時,0<1+x<3-x,—1<x<1;因此當(dāng)0<a<1時,解集為(一1,1):當(dāng)a>1時,解集
為(1,3).
22.(12分)已知定義域為R的單調(diào)函數(shù)f(x)是寄函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=:一2:
(1)求f(x)的解析式;
(2)若對任意的t£R,不等式千代?一2七十千(212一4<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
【解析】(1)因為定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
所以f(0)=0.當(dāng)x<0時,-x>0,所以f(-x)=9一2f.
又因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
所以f(―X)=—f(X),
X
所以f(x)=1+2
fX
§-2”,x>0,
綜上所述,f(x)=<0,x=0,
:+2:x<0.
vJ
5
(2)因為>f(0)=0,且f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.
由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得
f(t2-2t)<-f(2t2-k).
因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(t2-2t)<f(k-2t2).
又因為函數(shù)f(x)是減函數(shù),所以t2-2t>k—2t;
即3t2-2t-k>0對任意teR恒成立,
1
所以△=4+12k<0,解得k<-q.
故實數(shù)k的取值范圍是(-8,一J.
15
新人教A版高中數(shù)學(xué)必修1第三章單元檢測
(120分鐘150分)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.在用二分法求方程3*+3x—8=0在(1,2)內(nèi)近似根的過程中,已經(jīng)得到f(1)<0,f(1.5)>0,
f(1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間()
A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)D.不能確定
【解析】選B.因為f(1.5)>0,所以在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)函數(shù)f(x)=3,+3x-8存在
一個零點,又因為f(1.25)<0,所以在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi)函數(shù)f(x)=3'+3x-8
存在一個零點,由此可得方程3,+3x—8=0的根落在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi).
2.下列給出的四個函數(shù)f(x)的圖象中能使函數(shù)y=f(x)-1沒有零點的是()
【解析】選C.把y=f(x)的圖象向下平移1個單位后,只有C圖中圖象與x軸無交點.
3.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),且f(a)?f(b)<0,則
方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]±()
A.至少有一個根B.至多有一個根
C.無實根D必有唯一的實根
【解析】選D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),且圖象是連續(xù)不斷的,若干(a)?f(b)<0,
則方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上必有唯一的實根.
4.方程2—+x=5的解所在的區(qū)間是()
16
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
【解析】選C.令f(x)=2—+x-5,則f(2)=2+2—5=—1<0,f(3)=22+3-5=2>0,從
而方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)有解.
5.如圖所示,陰影部分的面積S是h的函數(shù)(OWhWH),則該函數(shù)的圖象是下面四個圖形中
的()
H
【解析】選C.當(dāng)h=-時,對應(yīng)陰影部分的面積小于整個圖形面積的一半,且隨著h的增大,
S隨之減小,減少的幅度不斷變小,故排除A,B,D.
Iog2(x+2),x>0,
6.已知函數(shù)f(x)=(x2f(a)=2,則a=()
亦,xWO,
A.-2或2或6B.-2或2
C.2或6D.-2或6
log2(x+2),x>0,
【解析】選B.因為f(x)=4x2
亦,xWO,
f(a)=2,所以當(dāng)a>0時,f(a)=log2(a+2)=2,解得a=2;
2
當(dāng)aWO時,f(a)~?,=2,解得a=—2或a=6(舍去),綜上,a=-2.
za-ro
7.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:萬元)對年銷
售量y(單位:t)的影響,對近6年的年宣傳費Xi和年銷售量y,(i=1,2,…,6)進行整理,
得數(shù)據(jù)如表所示:
X1.002.003.004.005.006.00
y1.652.202.602.762.903.10
根據(jù)表格的數(shù)據(jù),下列函數(shù)中,適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的擬合函數(shù)的是()
17
A.y=0.5(x+1)B.y=Iog3>:+1.5
C.y=2x—1D.y=2
【解析】選B.根據(jù)表格的數(shù)據(jù)可得年銷售量y隨著年宣傳費x的增長在增長,且增長速度
越來越平緩,
例如:當(dāng)x=1時,y=Iog3l+1.5=1.5,y=2幣=2,當(dāng)x=3時,y=Iog33+1.5=2.5,
y=2y/3七3.5,故適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的擬合函數(shù)的是對數(shù)函數(shù).
8.(2020?全國卷lll)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者
根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新疑肺炎累計確診病例數(shù)I(t)仕的單位:天)的Logistic模型:
K
I(t)=.,-0.23(t-53),其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I仕")=0.95K時,標(biāo)志著已初步遏制
1十e
疫情,則t"約為(In19^3)()
A.60B.63C.66D.69
K
【解析】選C.因為I(t)=737
1十e-0.23(t-53),
K
所以?⑹=i+e,.23(t-53〕?
則e0.23(t*-53)=19,所以0.23代"-53)=In19^3,
*3
解得t七=+53^66.
9.生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本,它可以表示為商品數(shù)量的函數(shù),現(xiàn)知一企
業(yè)生產(chǎn)某種商品的數(shù)量為x件時的成本函數(shù)為c(x)=20+2x+;x?(萬元),若售出一件商品
收入是20萬元,那么該企業(yè)為獲取最大利泗,應(yīng)生產(chǎn)這種商品的藪量為()
A.18件B.20件C.24件D.30件
【解析】選A.設(shè)獲取的利泗為y,則y=20x-c(x)=20x-20-2x-1x2=-^X2+18X-20.
所以當(dāng)x=18時,y有最大值.
10.若函數(shù)f(x)=/-x-1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個零點附近函數(shù)值用二分法逐次計算列
表如表
X11.51.251.3751.3125
f(x)-10.375-0.29690.2246-0.05151
那么方程x3-x-1=0的一個近似根(精確度0.1)為()
A.1.2B.1.3125C.1.4375D.1.25
18
【解析】選B.由于f(1.375)>0,f(1.3125)<0,
且|1.375-1.3125|VO.1,故選B.
1+Ig(X1),x>1,
11.設(shè)函數(shù)f(x)=\ixiV】''若f(x)—b=0有三個不等實數(shù)根,則b的取
J,X0I,
值范圍是()
A.(1,4-oo)B.(1,10]
C.(1,3]D.(0,3]
1+lg(x—1),x>1,
【解析】選C.作出函數(shù)f(x)=,3bdxW1的圖象如圖所示:
f(x)-b=0有三個不等實數(shù)根,
即函數(shù)y=f(x)的圖象與y=b有3個不同交點,由圖可知,b的取值范圍是(1,3].
12.設(shè)函數(shù)f(x)=1+[x]—x,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),若函數(shù)y=10gsix的圖象
與函數(shù)f(x)的圖象恰有2個交點,則實數(shù)a的取值范圍是()
A.[2,3)B.(2,3]C.(3,4]D.[3,4)
1-X,0Mx<1,
2—x,1Wx<2,
【解析】選A.由題意f(x)=<3-x,2Wx<3,
作出f(x)的圖象如圖,
4-x,3Wx<4,
a>1,
因為y=logaX的圖象與y=f(x)的圖象恰有2個交點,故Toga2Wl,故2Wa<3.
,Ioga3>1,
19
教師
專用【不卜償訓(xùn)練】
若關(guān)于x的方程x2—4|x|+5=m有四個不同的實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是()
A.(2,3)B.[2,3]
C.(1,5)D.[1,5]
【解析】選C.因為關(guān)于x的方程x?—4k|+5=01有四個不同的實數(shù)解,所以令f(x)=|x「
-4|x|+5=(lxI—2)2+1,h(x)=m,畫出函數(shù)f(x)的圖象,
如圖所示,要使f(x)的圖象與h(x)的圖象有四個交點,直線h(x)=m應(yīng)該在直線I和直線
n之間,所以1VmV5.
二、填空題(每小題5分,共20分)
13.若函數(shù)f(x)=ax?-x-1僅有一個零點,則@=.
【解析】a=0時,f(x)只有一個零點一1,
aWO時,由A=1+4a=0,得@=一
1
4-
14.用二分法求方程x?-2x-1=。的一個近似解,現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi),則
下一步可以斷定該根所在區(qū)間為.
【解析】設(shè)f(x)=/—2x—1,
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