數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)-平面向量（矢量）

平面向量（矢量）

I教學(xué)要求

1.理解向量的相關(guān)概念.

2.掌握向量的加法、減法與數(shù)乘向量的運(yùn)算.

3.理解與一個(gè)非零向量共線的向量的條件.

4.理解平面向量的直角坐標(biāo)的概念.

5.掌握用坐標(biāo)進(jìn)行向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.掌握向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的

關(guān)系.

6.理解向量的內(nèi)積的概念及其基本性質(zhì).

7.掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算向量的內(nèi)積的公式.會(huì)利用向量的內(nèi)積判斷兩個(gè)向量是否垂直.

II教材分析

本章內(nèi)容介紹

向量是中學(xué)數(shù)學(xué)里新增加的內(nèi)容.為什么在中學(xué)數(shù)學(xué)里要學(xué)習(xí)向量？首先，客觀世界

中存在既有大小又有方向的量，例如，速度，加速度，力，位移等.因此需要有研究這種

量的統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型一一向量.其次，由于向量兼有直觀性強(qiáng)，又易于計(jì)算這兩方面的優(yōu)

點(diǎn)，因此在許多數(shù)學(xué)分支的研究中都可以利用向量這一模型，或者借助向量的語(yǔ)言.例如,

平移是平面上（或空間里）每一個(gè)點(diǎn)都按照同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離，這完全可以由一

個(gè)向量。來(lái)決定：。的方向表示移動(dòng)方向，。的大小表示移動(dòng)的距離.又如，一條直線可以

看成是由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向決定的，向量正好可以用來(lái)描述直線的方向，從而可以利用向

量的工具來(lái)研究解析幾何里有關(guān)直線和平面的問(wèn)題.再如，研究線性方程組的解的情況和

解的結(jié)構(gòu)時(shí)，借助向量的語(yǔ)言，把一個(gè)〃元有序數(shù)組3”出，…，%）稱為〃維向量，這樣

就可以把研究線性方程組的解的情況和解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，歸納為研究〃維向量空間的子空間

-12-

的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，使本來(lái)是代數(shù)的問(wèn)題“幾何化”，使之直觀、易懂.

本章主要講向量的概念，向量的運(yùn)算，向量的表示以及向量的內(nèi)積.

向量是既有大小又有方向的量.

向量有兩種表示方式：（1）幾何表示.用有向線段贏表示一個(gè)向量G，長(zhǎng)度相等并且

方向相同的有向線段表示相等的向量.（2）坐標(biāo)表示.在講了向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算后，

可以得到平面向量分解定理，進(jìn)而引進(jìn)向量的坐標(biāo)的概念.向量的這兩種表示使得向量兼

有直觀性強(qiáng)，又易于計(jì)算兩方面的優(yōu)點(diǎn)，從而使向量非常有用.例如，求線段的中點(diǎn)，求

直線的方程以及兩條直線平行的條件等方面發(fā)揮著很大的作用.

向量有加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算.它們統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.有兩種方式進(jìn)行向量

的線性運(yùn)算.（1）用有向線段進(jìn)行運(yùn)算.向量的加法有三角形法則，對(duì)于不共線的兩個(gè)向

量的加法還有平行四邊形法則.向量的減法通過(guò)加法來(lái)定義：。一。里。+（―b）.數(shù)乘向

量分別對(duì)其長(zhǎng)度，方向作出規(guī)定.（2）用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算.兩個(gè)向量的和（差）的坐標(biāo)等于

它們的坐標(biāo)的和（差）.實(shí)數(shù)Z與向量。的乘積的坐標(biāo)等于攵乘以。的坐標(biāo).向量的加法

與數(shù)乘運(yùn)算滿足8條運(yùn)算法則.這8條運(yùn)算法則使得在向量的線性運(yùn)算中可以使用實(shí)數(shù)運(yùn)

算的去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，移項(xiàng)等法則.

向量的內(nèi)積使得可以利用向量統(tǒng)一地研究有關(guān)長(zhǎng)度，角度，垂直等度量問(wèn)題.向量的

內(nèi)積的定義是

a9bdef\a\|^|cos<a,b>.

利用直角坐標(biāo)可以很容易計(jì)算兩個(gè)向量“（4,生），b回打）的內(nèi)積：

a?b=ayb}+a2b2.

利用向量的內(nèi)積可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度、兩點(diǎn)間的距離、兩個(gè)非零向量的夾角，判斷兩

個(gè)向量是否垂直，從而可以利用向量的內(nèi)積研究?jī)蓷l直線垂直的條件、兩條直線的夾角、

點(diǎn)到直線的距離等.

本章教學(xué)重點(diǎn)

1.向量的幾何表示（用有向線段表示向量）.

2.向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算.

3.平面向量的直角坐標(biāo)：用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算；平面向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系.

4.向量的內(nèi)積的概念；用直角坐標(biāo)計(jì)算向量的內(nèi)積；兩個(gè)向量是否垂直的判定.

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊(cè)教學(xué)參考書

本章教學(xué)難點(diǎn)

1.向量的減法運(yùn)算.

2.與一個(gè)非零向量共線的向量的條件.

3.向量的內(nèi)積的概念.

本章學(xué)時(shí)安排如下（僅供參考）

7.1平面向量的概念約1學(xué)時(shí)

7.2平面向量的運(yùn)算約3學(xué)時(shí)

7.3平面向量的坐標(biāo)表示約3學(xué)時(shí)

7.4平面向量的內(nèi)積約2學(xué)時(shí)

本章小結(jié)與復(fù)習(xí)約1學(xué)時(shí)

III教學(xué)建議和習(xí)題答案

7.1平面向量的概念

1.教材中通過(guò)貓追老鼠的例子，讓學(xué)生體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中存在既有大小又有方向的量，

由比引出向量的概念.這使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)向量的必要性.

2.我們用帶有一個(gè)箭頭的線段（稱為有向線段）來(lái)直觀地表示向量，其中線段的長(zhǎng)度

表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向.這是向量的幾何表示.我們把有向線段AB

記作贏，其中端點(diǎn)A叫做起點(diǎn)，端點(diǎn)3叫做終點(diǎn)，起點(diǎn)A往終點(diǎn)3的方向就是贏的方

向.我們把有向線段標(biāo)就叫做向量而.

由于向量只有大小和方向兩個(gè)要素，因此很自然地把大小相等且方向相同的向量叫做相

等的向量.從而長(zhǎng)度相等并且方向相同的有向線段表示的向量是相等的向量.例如，把有向

線段而平行移動(dòng)得到而，由于它們的長(zhǎng)度相等且方向相同，因此向量標(biāo)與向量而相等.

注意，作為向量，Q=詼.但是作為有向線段，布與麗顯然是不同的有向線段.因此本

書是注意區(qū)分向量與有向線段這兩個(gè)不同概念的，不要混為一談.每一條有向線段是一個(gè)向

量（因?yàn)橛邢蚓€段也是既有大小又有方向的量）.一個(gè)向量〃可以用一條有向線段而來(lái)表

示，并且與Q長(zhǎng)度相等并且方向相同的有向線段都可以表示向量。因此一個(gè)向量。在幾

-14-

何上對(duì)應(yīng)于由長(zhǎng)度相等(都等于。的大小)且方向相同(都表示。的方向)的所有有向線段

組成的一個(gè)集合.這個(gè)集合里的任何一條有向線段都可以作為向量Q的一個(gè)代表.

3.一組向量如果用同一起點(diǎn)的有向線段表示后，這些有向線段在同一條直線上.則稱

這組向量是共線的，也稱這組向量是平行的.

4.教材中“回憶時(shí)刻”答案：只有大小沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量.

5.教材中例2,向量方與無(wú)不相等，向量五與赤也不相等.

課堂練習(xí)答案

1.圓.

2.與向量而相等的非零向量為瓦、FC;

與向量而相反的非零向量為由、CF.~FB\

與向量而共線的非零向量為前、正、ED.CF.而和W.

習(xí)題7.1答案

1.與向量贏相等的向量為反；

向量AB的負(fù)向量為成，CD.

2.與向量而共線的非零向量為前和方.

3.(1)不正確，向量有大小和方向，大小相等，方向不同，向量也不同.

(2)正確，向量［與％的大小方向都相同.

(3)不正確，向量。與％的大小相同，但是方向相反，向量也不同.

(4)正確，|AB|=|DC|且方向相同.

4.相同

5.與向量而相等的向量為瓦，DC：

與向量55共線的非零向量為而，DC,而，04,CD；

向量為的負(fù)向量為CD,B0.

7.2平面向量的運(yùn)算

1.從飛機(jī)在天空中飛行的位移的實(shí)際例子，自然地引出向量的加法運(yùn)算.這使學(xué)生感

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊(cè)數(shù)學(xué)參考書

到向量的加法運(yùn)算不是生硬規(guī)定的，而是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，從而使學(xué)生受到數(shù)學(xué)

的思維方式的熏陶.

2.向量的加法運(yùn)算的定義要點(diǎn)是：以第二條有向線段的孥點(diǎn)作為第三條有向線段的舉

點(diǎn)?，則從第?一??條有向線段的起?點(diǎn)到?第??二?條有向線段的終?點(diǎn)?的有向線段就表示和?向?量?.

3.不難證明，向量。與b的卻，與初始起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).如圖7-1所示，如果任選

點(diǎn)、P,作有向線段而表示向量心接著作有向線段而表示向量"則有向線段而必

然與教材中圖7-10的有向線段恁表示同一個(gè)向量，把這個(gè)向量稱為〃和b的和.

證明的思路是：由于有向線段而與Q都表示向量因此可以把有向線段而平行

移動(dòng)到這時(shí)點(diǎn)P移到了點(diǎn)4處，點(diǎn)。移到了點(diǎn)8處，由于西與麗表示同一個(gè)向

量人因此，點(diǎn)M移到了點(diǎn)。處.從而有向線段而移到了尼，因此向量麗二技.

4.從向量加法的三角形法則得出的向量等式

AC=AB+BC

很有用.從右到左地使用，可以求出和向量；從左到右地使用，可以把一個(gè)向量分解成兩

個(gè)向量的和.在使用此公式時(shí)，要注意第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn),

才能用這個(gè)公式.

5.向量的加法滿足4條運(yùn)算法則，其證明如下：

1°情形1。與力不共線.

從同一起點(diǎn)。作3、麗分別表示。、從然后以O(shè)A、OB為邊作平行四邊形OACB,

如圖7?2所示.據(jù)平行四邊形法則，得

a+b=OC.

由于正二海二m因此據(jù)三角形法則，得

b+a=OB+BC=OC.

從而得出a+b=b+a.

-16-

BC

OaA

圖7-2

情形2。與b共線.這時(shí)分為三種情況：。與力中有一個(gè)是0;〃與〃的方向相同;

與b的方向相反.對(duì)于每一種情況都容易證明。+萬(wàn)訝+。

2°作有向線段3、OB.就分別表示a、b、c,如圖7?3所示.則

(a+b)+c=OB+BC=OC,

〃+(b+c)=OA+AC=OC.

圖7-3

因此(a+b)+c=a+(b+c).

3°作有向線段48表示m

a+O=AB+BB=AB=a.

據(jù)交換律，得

0+。=。+0=a.

4。作有向線段48表示用則一°二一AB=BA.

從而

a+(―。)=AB+8A=AA=0.

據(jù)交換律，得

(-。)+a=a+(-a)=0.

6.向量的減法運(yùn)算的定義是

a-bdeffl+(—b).

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊(cè)數(shù)學(xué)參考書

特別要注意：起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量的差等于減向量的終點(diǎn)到被減向量的終點(diǎn)形成的向量.

在畫圖時(shí)不要畫錯(cuò).

7.例4是用不共線的兩個(gè)向量表示圖形中的其他向量，這是重要的基本功.這為平面

向量分解定理（平面上每一個(gè)向量都可表示成給定的不共線的兩個(gè)向量的線性組合，并且

表示方法惟一）作了鋪墊.

8,數(shù)乘向量的定義分別從長(zhǎng)度、方向來(lái)規(guī)定.注意，在規(guī)定方向時(shí)，有一個(gè)前提條件:

|2d|^0.至于|施|=0時(shí)，從/U的長(zhǎng)度的定義中知道，此時(shí)必有人二0或匹0.對(duì)于這兩種

特殊情形.從長(zhǎng)度的定義和零向量的定義立即得出

0a=0,20=0.

9.數(shù)乘向量滿足的4條運(yùn)算法則，其證明思路是：先證等號(hào)兩邊的向量的長(zhǎng)度相等，

然后當(dāng)它們的長(zhǎng)度不為0時(shí)，去證它們的方向相同.現(xiàn)在寫出證明過(guò)程，但是不用給學(xué)生

講，僅供教師參考.

5°\a=a.

證明若aWO.因?yàn)閨1。|二|1||。|二|。|,且與?同向,所以la=a.若。=0,則10=0.

6°力（〃。尸（4〃）a

證明|乂〃。）|二|4||1=11II〃||。|二|4〃11。1=1（4〃）a|.

當(dāng)A>0且〃>0時(shí)，A〃>0,容易看出，久（與（4〃）4都與a同向，從而它們

的方向相同.

其余三種情況也可證明4（與（H。的方向相同.

綜上所述，得幾（〃。）二（幺〃）a.

7°（4+〃）。=入。+"a

證明若。二0或者心〃中有一個(gè)為零時(shí)，結(jié)論顯然成立.下面設(shè)心〃都不為零，

且aWO.

情形1若4，〃同號(hào)，則入。與〃。方向相同.且九。+〃。與（4+〃）。方向相同，

此時(shí)有

|人。+Pa\=\久a|+|Pa|=|川⑷+|P\\a\

=（14+1〃1）⑷，

又有

|(4+〃)a\=\A+u\\a\=(|川+|〃|)⑷,

-18-

所以

（4+〃）a-^a+

情形2若大,〃異號(hào)，由于人和〃的地位對(duì)稱，因此不妨設(shè)4>0,〃<0.又分以下

三種情形：

2.1）若4+〃=0,則（A+ju）a=0a=0,

^a+Pa=^a+（-4）a-（-1）（4。）

二（―4。）=0.

從而（4+〃）Q=

2.2）若4+〃>0,則4+〃與一〃同號(hào)，從而由情形1得

［（4+〃）+（——〃）］a=（久+〃）a+（―〃）。，

即40=（久+〃）。+（一〃。）.

從而（H+〃）。=

2.3）若4+"<0,此時(shí)4+〃與一4同號(hào)，由情形1得

［（4+〃）+（-4）］a=（4+〃）。+（一4）a.

從而（4+〃）。=

8°4（。+方）=4。+^b.

證明若a二0,或者。、》中有一個(gè)為0,則結(jié)論顯然成立.下面設(shè)；IW0且。、方都

不為0.

若。與b平行，則容易看出，有實(shí)數(shù)〃，使公〃a.從而

4（。+方）=4（1。+〃〃）=4［（1+〃）。］

=（4+4〃）a-^a+（4〃）a

=Aa+（Pa）=Aa+^b.

若〃與b不平行，那么當(dāng)H>0時(shí)，作OA、45分別表示a、b.于是08表示〃+b.再

作反、而分別表示40、Ab.則△0A8S/\0CD從而。必在直線。8上，于是而表

示4（a+A）.又0。表示久a+4力，所以有

久（。+））=1。+月）.

4<0時(shí)可以作類似討論.

10.向量的加法與數(shù)乘向量滿足8條運(yùn)算法則，它們?cè)谛问缴虾芟駥?shí)數(shù)加法與乘法滿

足的運(yùn)算法則（但是數(shù)乘向量與實(shí)數(shù)乘法在本質(zhì)上不同），于是自然可以猜想實(shí)數(shù)運(yùn)算中

數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)下冊(cè)數(shù)學(xué)參考書

的去括號(hào)、合并同類項(xiàng)、移項(xiàng)等法則，在形式上可以搬到向量的加法與數(shù)乘向量中來(lái).這

是可以證明的.例如，去括號(hào)法則，以下述為例：

一(3a-b)=-3a+b.

理由如下：從數(shù)乘向量的定義容易得出，(-1)a=—a.于是

一(3°—6)=(-1)[3。+(-b)]=(-1)(3a)+(—1)(―b)

=[(-1)X3]a+(-1)[(-1)b]

=(-3)a+[(-1)(—1)]b

=-3a+16

=-3a+b.

今后我們可以在向量運(yùn)算中直接使用去括號(hào)、合并同類項(xiàng)、移項(xiàng)等法則，不必像剛才

那樣寫出詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程.

課堂練習(xí)7.2.1答案

\.a+b=-2,方向水平向左.

2.AC.

3.略

4.(1)AD；(2)AB.

5.60°

課堂練習(xí)7.2.2答案

1.(1)CB,圖略；(2)MP,圖略.

2.C4=-ZB-AD;

課堂練習(xí)723答案

1.

-20-

2.(1)5(a+b)—7(?-3b)=5a+5h—la+21b=—2a+26Z＞；

(2)12(a—2b+c)~2(6a+b~3c)=\2a~24b+\2c~\2a~2b+6c

=—26〃+18c.

3.Ad=-(AB^BC),OD=-(BC-AB).

22

■，?I，，?'???:9I，”???

4.AB=-(AC+DB\AD=-{AC^BD).

22

習(xí)題7.2答案

1.MN+NL=MLPM+MQ=PQ,

AO+OB=AB,AC+CB=AB.

2.略

3.~OP-~OM=~MP,~AB-'AC=CB.~EF-~FD=~DE.

4.~BC=~AC-~AB,CB=7B-7C.

5.⑴6a+4/?+2;(2)6t-7b-l1c.

~1~~

6.DE=-(AC-AB)

2

7.AD=-(AC+AB),~BE=-AC-ABCF=-AB-AC,而+而+而=0

2292

8.略

7.3平面向量的坐標(biāo)表示

1.用有向線段表示向量（稱為向量的幾何表示）具有直觀性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，但是用有向線

段進(jìn)行向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算比較麻煩.為了簡(jiǎn)化運(yùn)算需要引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示，

利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算要簡(jiǎn)便得多.

2.平面上取定一個(gè)直角坐標(biāo)系［。；勺、021后，兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相

等.于是平面上所有向量組成的集合與所有有序?qū)崝?shù)對(duì)組成的集合之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)：

每個(gè)向量對(duì)應(yīng)于它的坐標(biāo).用坐標(biāo)來(lái)表示向量，是向量的代數(shù)表示.用有向線段表示向量

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是向量的幾何表示.

3.向量的坐標(biāo)表示使得向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算歸結(jié)為數(shù)的運(yùn)算，從而容易進(jìn)行.

4.在講兩個(gè)向量的和(差)的坐標(biāo)，數(shù)乘向量的坐標(biāo)之前，應(yīng)當(dāng)先在所有有序?qū)崝?shù)對(duì)

組成的集合中規(guī)定加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算.這樣就可以得出：

(1)兩個(gè)向量的和(差)的坐標(biāo)等于它們的坐標(biāo)的和(差)；

(2)數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于這個(gè)數(shù)乘以該向量的坐標(biāo).

向量的坐標(biāo)求出后，這個(gè)向量就確定了.因此上述結(jié)論使我們可以利用向量的坐標(biāo)進(jìn)

行向量的運(yùn)算.

5.同一個(gè)向量在不同的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是不相等的，向量的坐標(biāo)依賴于坐標(biāo)系的選取.

即使取定一個(gè)坐標(biāo)系，雖然平面向量的集合與有序?qū)崝?shù)對(duì)的集合之間存在一一對(duì)應(yīng)，并且

這個(gè)對(duì)應(yīng)保持加法和數(shù)乘運(yùn)算，從而這兩個(gè)集合作為向量空間是同構(gòu)的，但由于這個(gè)同構(gòu)

對(duì)應(yīng)依賴于坐標(biāo)系的選擇，因此不是自然同構(gòu)，從而向量。與它的坐標(biāo)(x,y)不能等同.

6.利用向量的坐標(biāo)判斷兩向量是否平行，是教學(xué)重點(diǎn)，應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握.

教材由平行向量基本定理，將其用直角坐標(biāo)表示得到兩個(gè)向量平行的充要條件是，相

應(yīng)坐標(biāo)成比例.從而將向量平行的條件數(shù)量化.有了用坐標(biāo)表示的兩個(gè)向量平行的充要條

件，可以使相應(yīng)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運(yùn)算；判斷向量平行(共線)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成看數(shù)

量關(guān)系.對(duì)于學(xué)生普遍感到比較大的難題一一幾何證明題，又有了一種新的證題工具.

7.用向量平行的充要條件可以證明幾何中的三點(diǎn)共線和兩直線平行的問(wèn)題.教學(xué)時(shí)，

要注意到向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括重合的情況，向量平行包括共線.

8.本小節(jié)應(yīng)用向量平行的充要條件的習(xí)題有以下幾個(gè)類型：

(1)已知兩向量的坐標(biāo)(或向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo))，證明(或判斷)它們平行(或不

平行)，如7.3.3課堂練習(xí)第2題.

(2)證明三點(diǎn)共線，如7.3.3節(jié)中例6.

(3)已知兩向量平行，求其中一個(gè)向量的某一個(gè)坐標(biāo).如7.3.3節(jié)中例5和7.3.3課堂

練習(xí)第1題.

課堂練習(xí)7.3.1答案

1.(1)(-1,3)；(2)(2,-4)；(3)(3,0)；(4)(0,-2).

2.(1)(5,1)；(2)(-1,-7)；(3)(3,-13)；(4)(5,18).

-22-

課堂練習(xí)7.3.2答案

1.AB=(-5,7),^4=(5,-7)

2.(5,-6)

3.AB=(-5,2),=C4=(6,-1).

課堂練習(xí)733答案

1.-12

2.證明:因?yàn)辄c(diǎn)A(O,1),B(1,O),C(1,2),0(2,1)

所以而=(1,-1),CD=(1,-1)

又因?yàn)?x(-1)-(-l)xl=0

所以而與而平行

所以AB〃CD

習(xí)題7.3答案

1.m=5，n=0

2.*(4,-6)+(-7,g)=(-3,-3，

a~b=(4—6)—(-7,!)=(11,-二)，

22

2a—3b=2(4,—6)—3(—7,f1=(29,-?97)，

22

11L1i/、1/r1、/525、

-a--^=-(4,-6)--(-7,—)=(—,一--).

2424248

3.〃+》+c=(2,3)+(—1,0)+(—7,8)=(-6,11),

a~b+c-(2,3)一(—1,0)+(—7,8)=(-4,11),

2a+5b—6c=2(2,3)+5(-1,0)-6(-7,8)=(41,-42).

4.因?yàn)閮?cè);(5a),所以。的坐標(biāo)為4(20,—5)=(4,-1).

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊(cè)數(shù)學(xué)參考書

5.(1)AB=(-4,7)—(—1,2)=(—3,5)；

BA=-AB=(3,-5).

—?11

⑵AB=(19-)-(6,^)=(1,0);

~BA=-AB=(-1,0).

■1111

(3)AB=(--,0)-(0,-)；

2222

BA=-AB=(—,--).

22

(4)AB=(-1,-1)-(1,1)=(-2,-2)；

BA=-AB=(2,2).

6.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),則由

AB=(x,y)—(—1,3)=(2,-5).

得「+1=)

y-3=-5.

解得x=l,y=-2.即8點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2).

7,設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(石,乃)、(巧，為)，則由

而二1而，(X,,必)一(一9,3)=1[(3,12)-(-9,3)]=(4,3),

*=><

—?2—?2

AN=-AB.(%,%)—(一9,3)=-[(3,12)-(-9,3)]=(8,6).

u‘I0

所以(和兇)=<4,3)+(-9,3)=(-5,6),

(巧，為)二(8，6)+(-9,3)=(-1,9).

即M、N的坐標(biāo)分別為(-5,6)、(-1,9).

8.設(shè)8的坐標(biāo)為(x,y),依題設(shè)有

OB=OA+^B=OA+OC=(4y-2)+(2,5)=(6,3).

即(x,y)=(6,3).

9.當(dāng)2x(-6)-3x=0W,。與方共線，即x=-4時(shí)，。與b共線.

10.(1)由于荏=(-3-1,-4-2)=(-4,-6),

AC=(2-1,3.5-2)=(1,1.5).

-24-

乂(-4)xl.5-(-6)xl=0,

所以AB//AC.

又直線A3、直線AC有公共點(diǎn)A.

所以A、B、C三點(diǎn)共線.

(2)由于而=(0.5-(一1),0—2)=(1.5,—2),

方=(5-(-1),-6-2)=(6,-8).

又(-8)xl.5-6x(-2)=0,

所以PQ//PR.

又直線PQ、直線PR有公共點(diǎn)P.

所以P、Q、R三點(diǎn)共線.

7.4平面向量的內(nèi)積

1.向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算不能解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等度量問(wèn)題，為此需

要引進(jìn)向量的內(nèi)積的概念.

2.我們從一個(gè)人拉小車做的功出發(fā)，自然地引出了向量的內(nèi)積的定義：

abdef|a||51cosva,b>,

其中<4b>表示向量。與〃的夾角.當(dāng)。#0,時(shí)，作有向線段次，加分別表示

a,b，射線QA與08組成的不大于兀的那個(gè)角叫做。與力的夾隹.0與每一個(gè)向量。的夾

角可以是任意一個(gè)角.

3.由于向量的內(nèi)積的概念中涉及長(zhǎng)度、角度的概念，因此可以利用向量的內(nèi)積來(lái)計(jì)算

向量的長(zhǎng)度、兩個(gè)非零向量的夾角，以及判定兩個(gè)向量是否垂直：

\a|=a,

ab

cos(?,b)=

HIMI

a±b<^>ab=0.

向量的內(nèi)積的概念可以統(tǒng)一處理長(zhǎng)度、角度、垂直等問(wèn)題，這表明向量的內(nèi)積是非常有用

的概念.

4.計(jì)算向量。在方向占上的分量，可以取。的起點(diǎn)O,方向白上的單位向量勺，建立

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊(cè)數(shù)學(xué)參考書

一個(gè)直角坐標(biāo)系[O；q,e2],。在方向力上的分量就是。在勺方向上的分量，而這等于a

的橫坐標(biāo)，這又等于|a|cos〈a,〃〉.因此，。與非零向量〃的內(nèi)積等于a在方向b上的分量

與b的長(zhǎng)度的乘積.利用這個(gè)結(jié)論可以證明內(nèi)積的線性性質(zhì).

5.向量的內(nèi)積有4條基本性質(zhì)：

（1）對(duì)稱性ah=ba

（2）線性性之一（a0/=4（,?。?/p>

（3）線性性之二（a+c）?力=G?+C小

（4）正定性aa20,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。二0

性質(zhì)（1）和（4）的證明都是容易的；而性質(zhì)（2）和（3）的證明需要利用向量的內(nèi)積等于

Q在方向〃上的分量與|臼的乘積，而。在方向6上的分量實(shí)質(zhì)上是。的橫坐標(biāo)，再利用坐

標(biāo)作向量的運(yùn)算，便可證出性質(zhì)（2）和（3）.

由于向量的內(nèi)積不是向量的代數(shù)運(yùn)算，因此我們?cè)诮滩闹袥](méi)有把向量的內(nèi)積的對(duì)稱性

說(shuō)成交換律，等等.

6.已知向量。二（4，出），6二色，為），利用向量的內(nèi)積的性質(zhì)，可以很容易推導(dǎo)出用向

量的直角坐標(biāo)計(jì)算它們的內(nèi)積的公式：

ab=6rlZ?1+a2b2.

7.有了用向量的直角坐標(biāo)計(jì)篁內(nèi)積的公式，就可以很容易解決有關(guān)長(zhǎng)度，距離，角度,

垂直等度量問(wèn)題.教材中分別講了用向量的直角坐標(biāo)計(jì)算向量的長(zhǎng)度公式，兩點(diǎn)間距離公

式，兩個(gè)非零向量的夾角的余弦公式，判斷兩個(gè)向量垂直的充分必要條件.這些在以后學(xué)

習(xí)平面解析幾何的內(nèi)容時(shí)都要用上，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生掌握.

課堂練習(xí)7.4.1答案

1.(1)a?b=\a\\ZF|COS<a,b>=3X2Xcos60°=3;

2兀

⑵a?b=\a\\b|cos<a,/,>=4X7Xcos—=-14;

3

(3)a?b=\a\\Z>|cos<a,b>=1X10Xcos7c=-10.

所以；

2.（1）因?yàn)椤?a二|a|lal=:

-26-

(2)由二|。||例cos<a,b>,得⑷=---------==2.

網(wǎng)8s<4〃>3xcos-

4

課堂練習(xí)742答案

1.(1)a-Z>=2x(-4)+3xl=-5;

(2)c-J=(-5)x21+-1x8=2.

2.(1)|0|=病=J32+42=5;

(2)例=后=J(@2+(_痂2=7.

3.(1)|AB|=7(V2-2V2)2+(-l-5)2=738;

(2)|CD|=J(-l-1)2+(7-5)2=2A/5.

力」人、abJ3x(-3)+(-l)xJ3

4.cos<a,b>=-----=i——/=-l1,

㈤例7(V3)2+(-1)2X7(-3)2+(V3)2

又由于OW<a,b>Wit,因此v%b>=n.

習(xí)題7.4答案

\.a*b=\a\\ZF|COS<a,b>=3X1Xcos—=-^^;

(2a+b)b=2ab+bb=2ab+\b^=2x—^l2=3y/3+\\

2

\a+b^=(a-\-by(a+b)=aa+ab-\-ba+bb

=|a|2+2ab+\b^

T+2x至+12

2

=10+3百

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊(cè)數(shù)學(xué)參考書

所以|a+〃|=J10+道

2.b?a=\b\\a|cos<b,a>=2X6Xcos—=-6>/2;

4

(3b-2a)a=3ba-2aa=3ba-21M?

=3x(-6>/2)-2x62

=-18行-72;

\a-b\2=(a-b)(a-b)=aa-ab-ba+bb

=\af-2ab+\bf

=62-2X(-6A/2)+22

=40+1272

所以|.一川二)40+12亞=24/+3VL

3.(1)cos<a,b>=0"=-2?=一^^_因此<0,,3n

b>=——;

|a||b|2x224

(2)cos<a,h>=—..=—~~7==—,因止匕<a,b>=—.

"ISI5xV323

4.(1)Q]=(—1)X(—3)+3X(_1)=0,因此。與b垂直；

(2)cJ=0x(-28)+7x2=14^0,因此c與d不垂直；

(3)e/=(2+V2)x(-l)+lx(2+V2)=0,因此e與曲直.

5.|AB|=丁(1-6)2+(4-6)2=阿.

解得tn=-5或zn=13.

6.因?yàn)閨施|二|a|>0,\AC\=\b\>0.

(l)cos<a,b>=-^-<0y所以<4b?-f此時(shí)△ABC為鈍角三角形.

l?\\b\2

(2)cos<a,力>=/心=0,所以<a,b>=-,此時(shí)△ABC是以26AC為直角的直角三角

I。II加2

形.

-2