作業(yè)10 中位線與多邊形內(nèi)（外）角和-2021年八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（北師大版）（解析版）

作業(yè)10中位線與多邊形的內(nèi)（外）角和

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分120分，完成時(shí)間90分鐘，試題共25題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

基礎(chǔ)過關(guān)（70分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2021?廣西河池市?八年級(jí)期末）已知一個(gè)〃邊形的每一個(gè)外角都相等，一個(gè)內(nèi)角與其相鄰的一個(gè)外角

的度數(shù)之比是7:2,則”的值是（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)題意利用內(nèi)角與外角的比值可以求出這個(gè)外角，再利用外角和公式即可計(jì)算出”的值.

【詳解】設(shè)這個(gè)〃邊形的一個(gè)內(nèi)角為7x,則與這個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的度數(shù)為2%,

根據(jù)題意可知7x+2%=180°,解得：X=2O°.

則與這個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的度數(shù)為2x=2x20°=40°.

40°xn=360°,.解得：n=9.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角與其相鄰?fù)饨堑年P(guān)系，多邊形外角和公式.掌握多邊形外角和為360。是解答

本題的關(guān)鍵.

2.（2021?江蘇蘇州市?九年級(jí)零模）一個(gè)n邊形的每個(gè)外角都是45。，則這個(gè)n邊形的內(nèi)角和是（）

A.1080°B.540°C.2700°D.2160°

【答案】A

【分析】根據(jù)多邊形外角和及內(nèi)角和可直接進(jìn)行求解.

360°

【詳解】解：由個(gè)n邊形的每個(gè)外角都是45。，可得：n=--=8,

45°

.?.這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：（8-2）x1800=1080°,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和及外角和，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和及外角和是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?山東濰坊市?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，。是上一點(diǎn)，A￡>=AC,AE，CD于點(diǎn)七，

點(diǎn)廠是8c的中點(diǎn)，若比>=10,則石五的長(zhǎng)為（）

A.8B.6C.5D.4

【分析】首先根據(jù)AD=AC可得AACD為等腰三角形，再由AE，CD結(jié)合“三線合一”性質(zhì)可得E為CD

的中點(diǎn)，從而得到EF為ACBD的中位線，最終根據(jù)中位線定理求解即可.

【詳解】???AO=AC，.??△ACD為等腰三角形，

?..AE_LCD,.IE為CD的中點(diǎn)，（三線合一）

又?.?點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，，EF為ACBD的中位線，.?.故選：C.

2

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，準(zhǔn)確判斷出中位線是解題關(guān)鍵.

4.（2021?邢臺(tái)市第六中學(xué)九年級(jí)零模）嘉淇用一些完全相同的AABC紙片，己知六個(gè)AA6c紙片按照

圖1所示的方法拼接可得外輪廓是正六邊形圖案，若用〃個(gè)AABC紙片按圖2所示的方法拼接，那么可以

得到外輪廓的圖案是（）

圖1圖2

A.正十二邊形B.正十邊形C.正九邊形D.正八邊形

【答案】C

【分析】由題意可得N4CB=40。，由此可求解問題.

【詳解】解：由圖1可得：圖案是一個(gè)正六邊形，由正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為720。+6=120。,

；.NACB=40。,AZBAC=60°,.?.圖2中每個(gè)內(nèi)角為80。+60。=140。，

...用“個(gè)△MC紙片按圖2所示的方法拼接，可得這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角為40。，

，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為360。+40。=9；故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形，熟練掌握正多邊形的概念是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?河北滄州市?八年級(jí)期末）一個(gè)凸多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140°,則這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條

數(shù)是（）

A.9條B.54條C.27條D.6條

【答案】C

【分析】先求出多邊形的邊數(shù)，再求從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)即可.

【詳解】解：；多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140。，.,.每個(gè)外角是180。-140。=40。,

,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是360。+40。=9,

,這個(gè)多邊形所有對(duì)角線的條數(shù)是：n（n-3）+2=9x（9-3）+2=27.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和，外角和，以及對(duì)角線的知識(shí)點(diǎn)，找出它們之間的關(guān)系是本題解題關(guān)鍵.

6.（2021?全國(guó)九年級(jí)）如圖，已知四邊形A3CD中，R、P分別是8C、CO上的點(diǎn)，E、F分別是AP、

降的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在C￡＞上從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）

A.線段所的長(zhǎng)逐漸增大B.線段族的長(zhǎng)逐漸減小

C.線段EF的長(zhǎng)不變D.以上說法都不對(duì)

【答案】C

【分析】連接AR,E、F分別是從尸、RP的中點(diǎn)，AR不變，根據(jù)中位線定理可得EF//AR,Eb='AR,

2

據(jù)此解題.

【詳解】連接AR,如圖，

因?yàn)锳R不變，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)得，EF//AR,EF=-AR

2

，當(dāng)點(diǎn)P在。。上從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)不變故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）

7.（2021?陜西西安市?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)一模）從正多邊形一個(gè)頂點(diǎn)最多可以作7條對(duì)角線，

這個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角的大小是.

【答案】144°

【分析】先由〃邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對(duì)角線，可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)正多邊形的

內(nèi)角和定理可得答案.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，?，貝I：3=7解得：〃=10

這個(gè)多邊形有10條邊，此正多邊形的內(nèi)角和為：（10-2）x1800=1440。，

1440

,這個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角的大小是：-=144°.故答案為：144。.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.熟記”

邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（〃-3）條對(duì)角線是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?廣東汕尾市?九年級(jí)期末）如圖，N1+N2+N3+N4的度數(shù)為.

【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理即可求解.

【詳解】解：由多邊形的外角和定理知，Zl+Z2+Z3+Z4=360°,故答案是：360。.

【點(diǎn)睛】本題考查/多邊形的外角和定理，理解定理是關(guān)鍵.

9.（2021?山東泰安市?九年級(jí)期末）如圖：在AA3C中，A3=13,8。=12,點(diǎn)。、E分別是的中

ADB

【答案】30

【分析】根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)，求出AC的長(zhǎng)，再求出AABC的周長(zhǎng).

【詳解】：點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，；.DE是AABC的中位線，DE=-AC,

2

DE=2.5,：.AC=5,*.*AB=13,BC=12,，CAABC=AB+BC+AC=13+12+5=30.故答案為：30.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是掌握，三角形的中位線平行于第三邊，并且

等于第三邊的一半.

10.（2020?山西晉中市?八年級(jí)期末）如圖所示，OE為AA8C的中位線，點(diǎn)尸在。E上，且/ABB=90。，

若AB=4,8c=10,則EF的長(zhǎng)為.

【分析】先根據(jù)三角形中位線定理求得DE,然后再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF,最后運(yùn)用線段的和差

計(jì)算即可.

【詳解】解：為△ABC的中位線，.??O￡=，BC=5,

2

VZAFB=90°,。是AB的中點(diǎn)，：.DF=-AB^2,：.EF=DE-DF=3.故答案為3.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等

于第三邊的一半是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共5小題，共40分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

11.（2020?浙江八年級(jí)期末）已知：如圖，是△ABC的中位線，Ab是8C邊上的中線，。石和從產(chǎn)

交于點(diǎn)O.求證：DE與4b互相平分.

【答案】見解析

【分析】連接DF、EF,根據(jù)DE是中位線、AF是中線證DF、EF是AABC的中位線，據(jù)此知DF〃AC,

EF〃AB,從而得出四邊形ADFE是平行四邊形，即可得證.

【詳解】解：證明：如圖所示，連接DF、EF,

???DE是AABC的中位線，.?.點(diǎn)D是AB中點(diǎn)、點(diǎn)E是AC中點(diǎn),

又：AF是BC邊上的中線，，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，.?.DF、EF是AABC的中位線，

，DF〃AC,EF〃AB,四邊形ADFE是平行四邊形，DE與AF互相平分.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)及三角形中

位線定理的運(yùn)用.

12.（2021?山東煙臺(tái)市?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，8是A3邊的中線，E是CO的中點(diǎn)，連接AE

【答案】見解析

【分析】取AE的中點(diǎn)M，連接則DM是AABF的中位線，利用中位線定理結(jié)合全等三角形的判

定即可證得.

【詳解】證明：取Ab的中點(diǎn)M，連接

：C￡＞是AB邊的中線，是A3邊的中點(diǎn)，=DM//BC.

:./MDE=NFCE,/DME=NCFE.,:E是CD的中點(diǎn)、，；.DE=CE,

NMDE=NFCE

在AMDE和AFCE中，＜NDME=NCFE：.^MDEmAFCE.DM=CF,:.BF=2CF.

DE=CE

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

13.(2021?山東德州市?八年級(jí)期中)如圖，在五邊形48CDE中，AP平分NE46，BP平分NA3C.

(1)五邊形ABCDE的內(nèi)角和為度；

(2)若NC=100°,ZD=75°,NE=135°,求NP的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式計(jì)算即可；(2)用內(nèi)角和減去NC=100°,NO=75。，ZE=135°

得到NE46，NCBA的和，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和即可計(jì)算.

【詳解】解：(I)五邊形ABCOE的內(nèi)角和為(5—2)xl8(r=540。，

(2)???在五邊形A8CQE中，ZEAB+ZABC+ZC+ZD+ZE=540°.

ZC=1(X)°,ZD=75°,ZE=135°AZEAB+ZABC=230°,

平分/EAR,8P平分ZA8C，；.=ZPBA=-ZABC,

22

/.ZPAB+/PBA=115。，；."=180°-(ZPAB+NPBA)=65°.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和計(jì)算，根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算角的度數(shù)；掌握相

關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)是本題的關(guān)鍵.

14.(2020?濟(jì)南模擬)我們常用各種多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某些多邊形，

能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留一絲空白，又不互相重疊，這在幾何里叫做平面密鋪(鑲嵌).我們知道，

當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角的和為360°時(shí)，就能夠拼成一個(gè)平面圖形.某校研究性學(xué)習(xí)小組

研究平面密鋪的問題，其中在探究用兩種邊長(zhǎng)相等的正多邊形做平面密鋪的情形時(shí)用了以下方法：

如果用x個(gè)正三角形、y個(gè)正六邊形進(jìn)行平面密鋪，可得60°?x+120°DUBGO。，化簡(jiǎn)得x+2y=6.因?yàn)閤、

y都是正整數(shù)，所以只有當(dāng)x=2,y=2或x=4,y=l時(shí)上式才成立，即2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形或4

個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形可以拼成一個(gè)無(wú)縫隙、不重疊的平面圖形，如圖（1）、（2）、（3）.

（1）請(qǐng)你仿照上面的方法研究用邊長(zhǎng)相等的x個(gè)正三角形和y個(gè)正方形進(jìn)行平面密鋪的情形，并按圖（4）

中給出的正方形和正三角形的大小大致畫出密鋪后圖形的示意圖（只要畫出一種圖形即可）；

（2）如果用形狀、大小相同的如圖（5）方格紙中的三角形，能進(jìn)行平面密鋪嗎？若能，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟?/p>

出密鋪的設(shè)計(jì)圖.

【解析】解：（1）據(jù)題意，可有60°”+90°?y=360°化簡(jiǎn)得2x+3y=12,.,.當(dāng)x=3,y=2時(shí),有圖:

15.（2020?黑龍江大慶市?八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABC。四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、“，順

次連接麻、FG、GH、HE,得到四邊形EEGH.求證：四邊形EFG"是平行四邊形.

【答案】見解析

【分析【連接AC,根據(jù)三角形的中位線定理得到HG//AC,HG=\AC,同理推出跖〃AC,

EF=-AC,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形

2

【詳解】證明：連接AC.

?」G是DC的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，且”G=《AC,

2

同理可知印〃AC,且EF」AC,:.EF//HG，且所="G,二四邊形ERSH是平行四邊形.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形病正

確的運(yùn)用中位線定理，難度不大.

能力培優(yōu)（50分）

一、選擇題（本大題共2小題，每小題3分，共6分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2021?云南昆明市?九年級(jí)月考）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個(gè)全等的直角三角形拼成的，則NABC

等于（）

35°C.45°D.60°

【答案】A

【分析】利用全等三角形的性質(zhì)和正六邊形的定義可判斷六邊形花環(huán)為正六邊形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定

理可計(jì)算出/ABD=120。，然后把/ABD減去90。得到NABC的度數(shù).

?..六邊形花環(huán)是用六個(gè)全等的直角三角形拼成的，六邊形花環(huán)為正六邊形,

(6-2)x180°v

AZABD------------------=120°,而/CBD=NBAC=90°,AZABC-I2O°-9O°=3O°.故選：A.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）780。（nN3且n為整數(shù)）；多邊形的

外角和等于360。.

2.（2021?河北邢臺(tái)市?八年級(jí)期末）如圖，在正八邊形汨中，AC是對(duì)角線，則NC45的大小

是（）

C.23.5°D.24.5°

【答案】A

【分析】求出正八邊形的內(nèi)角和，算出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)△ABC為等腰三角形以及內(nèi)角和為180。,

可求出NC48的大小

【詳解】解：?.?正八邊形的內(nèi)角和為：(&2)xl80°=1080°,每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為10800+8=135°

又是等腰三角形NC4B=g(180°-135°)=225°故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和與等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分.不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上)

3.(2021?長(zhǎng)春市格致中學(xué)九年級(jí)期末)如圖，有一塊形狀為放△ABC的斜板余料，ZA=90°,AB=

6cm,AC=8c加，要把它加工成一個(gè)形狀為口DEFG的工件，使GF在邊BC上,。、E兩點(diǎn)分別在邊AB、

AC上，若點(diǎn)。是邊AB的中點(diǎn)，則口OEFG的面積為cm2.

【答案】12

【分析】作交BC于H點(diǎn)，交DE于I點(diǎn)，根據(jù)？490?,AB6a%AC=8加可得3c=/Oan,

根據(jù)￡＞是邊A」B的中點(diǎn)可知0E是AABC的中位線，得A/=///=[AH,利用三角形面積

2

I124110

S、甌=^ACgAB=；BC部H,可得A"=彳，IH=獷=￡,則根據(jù)5丫詆°=DE^H，計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】如圖示，作交BC于H點(diǎn)，交DE于I點(diǎn)，

?A90?,AB6cm,AC=8cm/.BC=10cm

?。是邊AS的中點(diǎn)，￡>E〃BC，.、OE是△ABC的中位線，DE=5cm：.AI=IH=^AH,

ii24

又yS\SBC=,BCgA"，即有6?8\0AH,Z.AH=-f

ii24121?

1H=_AH=—?—,SYDEFG~DEg/H=5?12cw,故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的應(yīng)用，勾股定理，三角形的面積和平行四邊形的面積，熟悉相關(guān)性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

4.（2020?四川遂寧市?射洪中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，AABC中，AD是中線，AE是角平分線，CELAE于

F,AB=13,AC=8,則OF的長(zhǎng)為.

【答案】2.5

【分析】延長(zhǎng)CF交AB于H,證明AAFH四△AFC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=AC=7,CF=FH,求

出HB,根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)CF交AB于H,

,.?AE平分NBAC,；.NHAF=NCAF,

NHAF=ZCAF

在AAFH和AAFC中，（A/7=AE,

ZAFH=ZAFC=90°

AAAFH^AAFC（ASA）,，AH=AC,CF=FH,

VAB=13,AC=8,；.AH=AC=8,AHB=AB-AH=13-8=5,

VCF=FH,CD=DB,ADF=—HB=2.5,故答案為:2.5.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，

且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?山東東營(yíng)市?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，已知AB=8,BC=6,AC=7,依次連接AABC■的

三邊中點(diǎn)，得到△A4G，再依次連接"46的三邊中點(diǎn)，得到△&約C?,???,按這樣的規(guī)律下去，

△AO2O^202（）^2020的周長(zhǎng)為----

c

【分析】由JABC=AB+BC+AC=21,再利用中位線的性質(zhì)可得：

12112121

=不，總結(jié)規(guī)律可得：二上,從而運(yùn)用規(guī)律可得答案.

cABC=-c^ABC=—,CAAB^=-C,BCCAABC

【詳解】解：探究規(guī)律：：A8=8,BC=6,AC=7,C^ABC=AB+BC+AC=21,

???A，4，G分別為BC,AC,AB的中點(diǎn)，A4=；AB,4G=；3cA￡=；4C,

,rlr211￡2121

'瓦C[2AABC2，「'’"?A282c22A4AGr^'222，

212121

總結(jié)規(guī)律：6卡￡=萬(wàn)7,運(yùn)用規(guī)律：當(dāng)〃=202()時(shí)，Q&g。/20cmn=方針故答案為：^2020-

【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形周長(zhǎng)的規(guī)律探究，三角形中位線的性質(zhì)，掌握探究規(guī)律的方法與三角形中位線

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(2020?浙江杭州市?八年級(jí)其他模擬)在QABCD中，E是A￡＞邊上的中點(diǎn)，連接5E,并延長(zhǎng)BE交CO

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.已知48=3，NA=120°,BF=5：則ED=,SaAliCD=.

【分析】結(jié)合題意，通過證明△AEBgAPEE，得到A5=￡D，即可得到FD；過點(diǎn)F作EH_LBC于

點(diǎn)H,延長(zhǎng)AD交FH于點(diǎn)G,結(jié)合題意，根據(jù)平行四邊形、對(duì)頂角、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，計(jì)算

得N￡>RG=30°，從而得CH的值；再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得FH和BC的值，結(jié)合平行四邊形ABCD性

質(zhì)以及FD=CD,DG是△CFH中位線，從而得到DG,通過計(jì)算即可得到答案.

【詳解】；E是AD邊上的中點(diǎn)；.AE=ED

?.?平行四邊形ABCDAAB//CD：.ZBAE=ZEDF

ZAEB=ZDEF二^AEB^ADEF二AB=FD

■:AB=?。?FD=AB=6過點(diǎn)F作FH_L3C于點(diǎn)H,延長(zhǎng)AD交FH于點(diǎn)G

aABCD：.AD//BC:.AG上FH，即N￡）GR=90

'：ZA=l20°，且口ABCD二ZADC=180-ZA=60°

???ZFDG=ZADC=60ANDFG=900-NFDG=30°CH=-CF

2

?.?平行四邊形ABCD；.CD=AB=6,CF=CD+DF=26

2

CH=gcF=gpH=^CF-CH-=V12-3=3

:*BH=\lBF2-FH2=V25-9=4BC=BH-CH=4-6

i3

■:AD//BC,FD=CD</.DG是自CFH中位線；.FG=GH=—FH=—

22

?^?5。"a，=BCxG”=（4一石）x|=6-隹故答案為：66-亭.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、勾股定理、直角三角形、三角形中位線、全等三角形的知識(shí)：解題的關(guān)

鍵是熟練掌握平行四邊形、勾股定理、直角三角形、三角形中位線、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

7.(2021?江蘇鹽城市?八年級(jí)期末)如圖，在AABC中，AB=AC,3c=1().

A

（1）尺規(guī)作圖：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）

①作/a4c的平分線交8C于點(diǎn)D；

②作邊AC的中點(diǎn)E,連接。E；

（2）在（1）所作的圖中，若4）=12,則OE的長(zhǎng)為.

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）6.5

【分析】（1）①以A為圓心，小于AB的長(zhǎng)度為半徑畫圓，交AB、AC于兩個(gè)點(diǎn)，再分別以這兩個(gè)點(diǎn)為圓

心，一樣的半徑畫弧，交于一點(diǎn)，連接這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A,即可得到44c的平分線，再畫出它與BC的交點(diǎn)D；

②作線段AC的垂直平分線，即可找到線段AC的中點(diǎn)E,連接DE；

（2）由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得8。=5,AD1BC,用勾股定理求H1AB的長(zhǎng)，再根據(jù)中

2

位線的性質(zhì)得到DE的長(zhǎng).

【詳解】解：（1）①如圖所示：

②如圖所示:

(2)：AB=AC，AD平分N8AC,ABD=-BC=5,ADIBC,

2

在RtZXABD中，AB=y/AD2+BD2=13,

：E、D分別是AC和BC的中點(diǎn)，，OE=—AB=6.5,故答案是：6.5.

2

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，中位線的定理，以及角平分線和垂直平分線的作法，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握這些幾何的性質(zhì)定理以及作圖方法.

三、解答題（本大題共3小題，共29分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

8.（2021?溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)三模）如圖，在ATWC和△DBC中，AB^AC,DB=DC,點(diǎn)E，

E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，連結(jié)。尸，OE.（1）求證：ABDE當(dāng)KDF（2）若NEDF=60°,ED=5,

求的長(zhǎng).

【答案】（1）見詳解；（2）BC=10

【分析】（1）由題意易得BE=b,NABC=ZACB,NDBC=NDCB,則有N4BD=4CD,然后問

題可求證；（2）連接EF,由題意易得尸是等邊三角形，則EF=EQ=5,然后根據(jù)三角形中位線可進(jìn)行

求解.

【詳解】（1）證明：：AB=AC,DB=DC,/ABC=ZACB,ZDBC=ZDCB,

：.ZABD^ZACD,BP?EBD?FCD,點(diǎn)、E，口分別為邊A3，AC的中點(diǎn)，，BE=CF,

BD=CD

在△E8O和△〃（;￡）中，，NEBD=NFCD,：.△BDEmACDF（SAS）；

BE=CF

（2）解：連接EF,如圖所示:

A

山（1）可得ABDEACDF,：.DE=DF，

VZEDF=60°,尸是等邊三角形，?:ED=5,：.EF=ED=5,

;點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，.?.3C=2￡F=10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線、全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中

位線、全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?北京九年級(jí)二模）已知等邊AAbC,。為邊BC中點(diǎn)，M為邊AC上一點(diǎn)（不與A,C重合），

連接DM.

圖1圖2

（1）如圖1,點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，當(dāng)M在線段AE上（不與A,E重合）時(shí)，將ZW繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)120。得到線段。/，連接BE.①依題意補(bǔ)全圖1；

②此時(shí)與BE的數(shù)量關(guān)系為：,ZDBF=°.

（2）如圖2,若DM=2MC,在邊A3上有一點(diǎn)N,使得NAOW=120。.直接用等式表示線段BN,ND,

CO之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）①見解析；②EM=BF，120：（2）CD=BN+、ND,證明見解析

2

【分析】（1）①根據(jù)提示畫出圖形即可；②連接OE,證明△DME絲△QF8即可得到結(jié)論；

（3）取線段4。中點(diǎn)E，連接￡￡）.由三角形中位線定理得。七=,區(qū)4,CE=-CA,

22

BD=CD=-BC.根據(jù)△A6C是等邊三角形可證明DE=BD=CD=CE，

2

NCED=NEDC=NB=6（）0,再證明△EDM三△3DN得助V=EM,ND=MD=2MC,進(jìn)一步可

得結(jié)論.

【詳解】解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖1.

圖1

②線段與BE的數(shù)量關(guān)系為=5尸；ZDfiF=120°.

連接DE,???￡）為BC的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，

.?.DE為△ABC的中骯線，：.DE=—AB,DE//AB

2

AABC是等邊三角形，...AB=3C=AC，ZA=Zfi=ZC=60°.

?.?力為BC的中點(diǎn)，BO=LBC=OE

2

VDEIIAB:.NCDE=ZABC=60。，NCE￡>=ZA=60°

ZBDE=120°=ZBDM+NEDM

VZBDM+ZBDF=nO°,DM=DF,/RDF=/FDM

：.ADME2DFB：.EM=BF；ZDBF=ZDEM.

ZCED=60°...ADEM=120°，/DBF=120°.

故答案為：EM=BF；/DBF=120。.

（2）證明：取線段AC中點(diǎn)E，連接EZ）.如圖2.

???點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊4c的中點(diǎn)，

DE=-BA,CE^-CA,BD=CD=>BC.

222

；△AfiC是等邊三角形，A8=BC=4C，ZB=NC=60°.

/.DE=BD=CD=CE,4CED=NEDC=ZB=60°./.ZBDE=120°.

ZNDM=120°,A/EDM=/BDN.：.4EDM=ABDN.

:.BN=EM,ND=MD=2MC，EC=EM+MC，：.CD=BN+-ND.

2

B

圖2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，正確作出

輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

10.（2021?陜西西安市?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)月考）問題提出

（1）如圖①，在AABC中，。、E分別是A3和AC的中點(diǎn)，連接DE，則DE與BC的數(shù)量關(guān)系是,

位置關(guān)系是；

問題探究：（2）如圖②，在四邊形ABC。中，ZBAC=9Q°,AB=4C=4jL8=4,E為AO中

點(diǎn)，連接5E,求BE的最大值；

問題解決：（3）如圖③，某小區(qū)計(jì)劃在一片足夠大的空地上修建四邊形的花園A8CO,其中3c=20米,

AD=CD，ADVCD,AB"CD,由于受地理位置的影響，ZABC<90°.根據(jù)要求，現(xiàn)計(jì)劃給該花園

修建條筆直的綠色長(zhǎng)廊，且綠色長(zhǎng)廊的入口。定為BC的中點(diǎn)，出口定為點(diǎn)。，為了盡可能地提高觀賞體

驗(yàn)，要求綠色長(zhǎng)廊0。最長(zhǎng)，試求綠色長(zhǎng)廊00最長(zhǎng)為多少米？

A

A

【答案】（1）DE=3BC,DEIIBCy（2）2如