數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識-不等式

不等式

I教學(xué)要求

1.理解不等式的基本性質(zhì).

2.掌握區(qū)間的概念.

3.掌握一元二次不等式的解法.

4.了解含絕對值的不等式的解法.

5.通過解一元二次不等式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能.

II教材分析

本章內(nèi)容介紹

現(xiàn)實(shí)世界是豐富多彩的，反映在數(shù)量上除了等量關(guān)系外，還有不等量關(guān)系.這抽象出

實(shí)數(shù)集R的一條重要性質(zhì)：任何兩個實(shí)數(shù)都可以比較大小，由此產(chǎn)生了不等式.不等式在

研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系中起著重要的作用，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，在研究函數(shù)的定義

域、單調(diào)性、最大(小)值問題，在研究數(shù)列和函數(shù)的極限問題，在描述平面上的區(qū)域問

題，以及線性規(guī)劃和優(yōu)化問題中都要運(yùn)用不等式的知識.

本章內(nèi)容分成四部分：第一部分是比較實(shí)數(shù)大小的方法和介紹不等式的基本性質(zhì)；第

二部分介紹區(qū)間的概念，包括閉區(qū)間、開區(qū)間和半開半閉區(qū)間等；第三部分講解一元二次

不等式的解法；第四部分介紹含絕對值的不等式的解法.

學(xué)好本章的關(guān)鍵是：理解不等式的三個基本性質(zhì)；復(fù)習(xí)一元二次函數(shù)的圖像特征，掌

握一元二次不等式的圖像解法；應(yīng)用“變量替換”方法，了解含絕對值的不等式+

和|方+.>c(c>0)的解法.

-14-

本章教學(xué)重點(diǎn)

1.區(qū)間的概念.

2.一元二次不等式的圖像解法.

本章教學(xué)難點(diǎn)

1.不等式基本性質(zhì)的證明.

2.解一元二次不等式的圖像解法.

3.含絕對值的不等式的解法.

本章學(xué)時安排如下（僅供參考）

2.1不等式的基本性質(zhì)約1學(xué)時

2.2區(qū)間的概念約1學(xué)時

2.3一元二次不等式約3學(xué)時

2.4含絕對值的不等式約2學(xué)時

本章小結(jié)與復(fù)習(xí)約1學(xué)時

III教學(xué)建議和習(xí)題答案

2.1不等式的基本性質(zhì)

1.本節(jié)內(nèi)容包括兩部分，包括比較實(shí)數(shù)大小的方法和不等式的基本性質(zhì).

2.實(shí)數(shù)集R有一條重要性質(zhì)：任意兩個實(shí)數(shù)都可以比較大小.

如何比較實(shí)數(shù)的大?。恳环N講法是：規(guī)定數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的

數(shù)大.這種講法的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，不足之處是：數(shù)的大小是實(shí)數(shù)集本身的性質(zhì)，用比較

數(shù)軸上點(diǎn)的位置（右邊還是左邊）作為比較實(shí)數(shù)的大小的定義顯得不漂亮；而且具體比較

兩個實(shí)數(shù)（例如2與工）時，很難在數(shù)軸上準(zhǔn)確畫出表示這兩個數(shù)的點(diǎn)，需要計(jì)算它們的

56

差值.由此抽象出下述定義：

對于實(shí)數(shù)。力，如果那么稱4大于“或者稱6小于。），記作或6V

a）.這表明，對任意實(shí)數(shù)6,有

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）上冊數(shù)學(xué)參考書

a—b>0<=>a>b

從而有a-Z?<0<=>a<.b

又顯然有a—b=D=a=b

于是為了比較實(shí)數(shù)。涉的大小，只要考察它們的差是天于零，還是小于零或等

于零.

注意：（1）比較兩個分?jǐn)?shù)的大小，除了例1中應(yīng)用它們的差是大于0還是小于0來判

斷，還可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（分母相同，分子越大，這個分?jǐn)?shù)越大）.

（2）比較幾個實(shí)數(shù)的大小，還可以利用數(shù)軸表示這些實(shí)數(shù)點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.

3.在證明不等式的三條基本性質(zhì)時，基本思路是根據(jù)力=a-b>0"，同時用到

“兩個正數(shù)的和仍為正數(shù)”、“兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)等實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)律.

4.實(shí)數(shù)集中定義了“大于”（或“小于”）關(guān)系后，就有了“序”.

不等式的性質(zhì)1說的是，實(shí)數(shù)集的序具有傳遞性.

不等式的性質(zhì)2說的是，實(shí)數(shù)集的序與加法運(yùn)算的關(guān)系，即加法運(yùn)算是保序的.

不等式的性質(zhì)3說的是，實(shí)數(shù)集的序與乘法運(yùn)算的關(guān)系.這里特別要注意：用正數(shù)去

乘的時候是保序的，用負(fù)數(shù)去乘的時候是反序的.

5.類似于不等式的二條基本性質(zhì)，有

(1)a?b,b>c=>a>c；

a>btb^c=>a>c.

(2)c￡R=a+c，〃+c.

(3)a^b,c>0=oc2bc；

心b,c<0=>cicbe.

課堂練習(xí)2.1.1答案

［、57

Lil)-<—；

88

2

(2)-<0.8.

3

2.-7<—4<—3<0<3<4<7.

3.(1)(x+3)23>2x+4；

-16-

(2)(X2-2)2>X4-4X2+1.

課堂練習(xí)2.L2答案

(1)＞；(2)＞；(3)＞；(4)＞.

習(xí)題2.1答案

(3)-3<2；

12

(4)—<3.

7

2.(1)(x2)(x4)>(x1)(%5)；

(2)(X-1)2>X(X-2)；

(3)(x+3)(x+7)V(X+5)2；

(4)(X+5)2>(X+2)(X+8).

3.(1)>；(2)<；(3)>；(4)>.

4.證明：因?yàn)椤?gt;b,2>0,根據(jù)不等式性質(zhì)3,

有2a>2b；又根據(jù)不等式性質(zhì)2,

可得：c+2a>c+2b.

2.2區(qū)間的概念

1.區(qū)間是集合的一種表示方法，應(yīng)熟練掌握各區(qū)間的表示方法及涵義，它是學(xué)習(xí)函數(shù)

的基礎(chǔ).

2.教材通過空中小姐身高范圍的表示，進(jìn)而引入?yún)^(qū)間的學(xué)習(xí).利用集合在數(shù)軸上的圖

形表示，介紹閉區(qū)間，開區(qū)間和半開半閉區(qū)間的概念.

數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)上冊數(shù)學(xué)參考書

3.要著重介紹8這個符號，任何確定的實(shí)數(shù)都小于內(nèi)，且大于-co.因?yàn)樵趨^(qū)間中左

邊的數(shù)要小于右邊的數(shù)，所以(-00,+8)順序不能顛倒，并且因?yàn)椤罢裏o窮大”和“負(fù)無窮

大”都不代表一個具體的數(shù)，這個區(qū)間無法包含端點(diǎn)，所以不能將其寫成閉區(qū)間的形式.

4.在介紹用區(qū)間表示集合時，應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)使用小括號和中括號表示的區(qū)別.使用小括

號表示不包含端點(diǎn)，使用中括號表示包含端點(diǎn).

課堂練習(xí)答案

(1)[-3,51；(2)(-5,5)：(3)[-3,7)；

(4)(-oo,9]；(5)[2,+oo)；(6)[0,1).

習(xí)題2.2答案

1.(1)[-5,8]；

(2)(2,7]；

(3)(-00,7]；

(4)(3,+oo)；

(5)(-3,52)；

(6)(—oo,-3].

2.(1){x|-4<x<9}；

(2){x|-8<x<0}；

(3){x|x<4}；

(4){x|x>-7}.

3.(1)[-3,+oo)；

⑵[2￡,3)：

3

(3)(12,+oo)；

(4)(-oo,-2).

45口8=(2,4)；=

-18-

2.3一元二次不等式

1.一元二次不等式主要是利用一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解，建議教師在講解本節(jié)

時，讓學(xué)生重點(diǎn)復(fù)習(xí)一下一元二次函數(shù)的相關(guān)知識.

2.關(guān)于一元二次不等式的解法，本節(jié)重點(diǎn)介紹圖像解法.難點(diǎn)是理解并能夠熟練應(yīng)用

教材中給出的二次函數(shù)圖像與一元二次不等式解集的關(guān)系表.

3.求一元二次不等式的解集步驟：

(1)將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

①ax2+Z?x+c>0(。>0)或②ax2+bx+c<0(。>0).

(2)解方程tu?+加+。=0.

(3)畫出相應(yīng)的二次函數(shù)y=法+。的草圖

(4)根據(jù)圖像，寫出解集.

課堂練習(xí)答案

(1){][x>2或x<—2}；

⑵{x|—3<x<6}；

7

(3){x|x<0或)；

3

(4){x|2-V2<x<2+>/2).

習(xí)題2.3答案

1.(1)0;

(2)R；

(3)0：

(4){x\x>i或xv—l}.

2.(1){x|-4<r<0}；

(2){x\x<0^x>2}.

3.(1)0；

(2){x\-l<x<3}；

(3)0；

數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)上冊數(shù)學(xué)參考書

3

(4){x|x<l或x>|}.

4.(1)0；

(2){x|x<-l或Q1}；

3

(3){x\--<x<-)；

32

(4)R；

(5){x\x<—l或x>3)；

(6){x|2<x<3}.

2.4含絕對值的不等式

1.本節(jié)介紹如何求解含絕對值的不等式.主要講解如何求解形如|ox+M<c(c>0)與

\ax+b\>c(c>0)的不等式.

2.教材中一開始引出絕對值的概念，再讓學(xué)生觀察數(shù)軸，理解|-5|和|5|的幾何意義之

后，求同<5與同>5的解集.

同<5=數(shù)軸上表示的點(diǎn)與原點(diǎn)。的距離小于5<=>-5<^<5；

同>5o數(shù)軸上表示的點(diǎn)與原點(diǎn)0的距離大于5u>。>5或。<-5.

由比抽象出，一般地，對于正實(shí)數(shù)小有

\x\<a^>-a<x<a；

\x\>a<^>x<一〃或c>a.

3.在講課時注意講每一步等價(jià)的道理，譬如例2和例3.

例2解|3r-2|<5

o-5<3x-2<5［根據(jù)

o-3<3x<7(不等式三邊都加上2)

o-}<x<-(不等式三邊都乘!)

33

因比原不等式的解集是-1彳.

-20-

例3解|5x+7|>9

。5x+7v—9郎x+7>9(根據(jù)“|不|>。。尤<一。垢>a")

16T2

x<——^cx>—

因比原不等式的解集是(-8,-日)U(g,+8).

課堂練習(xí)答案

(1)[-3,3]；(2)-]

33

44

(3)[—2,--(4)(—co,—2)U(—§,+oo);

I..313

(5)(―oo,+°°)；(6)(-,-)；

55

(7)(—8,——]U[—2,+oo)；(8),-2).

33

習(xí)題2.4答案

1.(1)(—C01)U(1,4-00);

(2)(—oo)U(—,+00)；

33

(3)(—oo,1)U(5,+8);

(4)(一8,l]U[3,+oo).

2.(1)(—oo,—1)U(0,+oo)?

(2)(-5,2)；

(3)(-4,2)；

(4)[-4,12].

3.[-3,1]

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IV復(fù)習(xí)題2答案

A組

1.(1)<；(2)<；(3)>；(4)<；(5)>；(6)>.

2.(1)[7,+oo)；

(2)(-7,+00)；

⑶(0,1)；

(4)(^o,-l)U(--,+°o)?

3.(1)<；(2)>.

4.(1){x|x<5}；

(2){x\x<4}；

(3)0；

⑷