高考數(shù)學(xué)考點測試60古典概型

高考數(shù)學(xué)考點測試60古典概型高考數(shù)學(xué)考點測試60古典概型高考數(shù)學(xué)考點測試60古典概型考點測試60古典概型高考概覽eq\a\vs4\al（高考在本考點的常考題型為選擇題、填空題，分值為5分,中等難度）考綱研讀1．理解古典概型及其概率計算公式2．會計算一些隨機事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率一、基礎(chǔ)小題1．某銀行儲蓄卡上的密碼是一個6位數(shù)號碼，每位上的數(shù)字可以在0～9這10個數(shù)字中選?。橙宋从涀∶艽a的最后一位數(shù)字,如果隨意按密碼的最后一位數(shù)字，則正好按對密碼的概率是（)A．eq\f(1，106)B．eq\f（1，105)C．eq\f(1，102)D．eq\f（1，10)答案D解析只考慮最后一位數(shù)字即可,從0到9這10個數(shù)字中隨機選一個的概率為eq\f(1，10)．2．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為(）A．eq\f（1，2）B．eq\f(1,3）C．eq\f（3，8）D．eq\f（5，8)答案B解析該樹枝的樹梢有6處，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率為eq\f（2，6）＝eq\f（1，3)．3．天氣預(yù)報說,在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40％，用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．可利用計算機產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，如果我們用1,2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，順次產(chǎn)生的隨機數(shù)如下：907966191925271932812458569683631257393027556488730113137989則這三天中恰有兩天下雨的概率約為（)A．eq\f（13,20）B．eq\f(7,20)C．eq\f（9，20）D．eq\f(11,20）答案B解析由題意知這20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191，271，932，812，631，393,137，共7組隨機數(shù)，∴所求概率為eq\f（7，20)．4．給甲、乙、丙三人打電話,若打電話的順序是任意的,則第一個給甲打電話的概率是（）A．eq\f（1，6)B．eq\f（1,3)C．eq\f（1，2）D．eq\f(2,3）答案B解析給三人打電話的不同順序有6種可能，其中第一個給甲打電話的可能有2種，故所求概率為P＝eq\f（2,6）＝eq\f(1,3）．5．一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球,如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是(）A．eq\f（1,5）B．eq\f（3，10）C．eq\f（2,5）D．eq\f(1，2）答案C解析基本事件有Ceq\o\al（2,5)＝10個，其中為同色球的有Ceq\o\al(2,3）＋Ceq\o\al(2，2)＝4個，故所求概率為eq\f（4,10）＝eq\f(2，5)．故選C．6．一部3卷文集隨機地排在書架上,卷號自左向右或自右向左恰為1,2，3的概率是(）A．eq\f（1，6)B．eq\f(1，3）C．eq\f（1,2）D．eq\f（2，3)答案B解析3卷文集隨機排列，共有Aeq\o\al(3，3）＝6種結(jié)果,卷號自左向右或自右向左恰為1，2，3的只有2種結(jié)果，所以卷號自左向右或自右向左恰為1，2,3的概率是eq\f(2，6）＝eq\f（1，3)．故選B．7．一個正方體，它的表面涂滿了紅色，切割為27個同樣大小的小正方體，從中任取一個,它恰有一個面涂有紅色的概率是________．答案eq\f(2，9）解析研究涂紅后的正方體的六個面，發(fā)現(xiàn)每個面中僅最中間那塊只有一個面涂有紅色,故所求概率為eq\f（6,27）＝eq\f（2，9）．8．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m,n）與向量b＝(1，－1）的夾角為θ，則θ∈eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f(π,2））)的概率是________．答案eq\f（7，12)解析∵a·b＝m－n,夾角θ∈eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2）))，∴a·b≥0，即m≥n．滿足θ∈eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)))的點A(m,n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個，列舉可知點A(m，n)的基本事件總數(shù)為36，故所求概率為eq\f（21,36)＝eq\f(7，12）．二、高考小題9．（2018·全國卷Ⅱ）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23．在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12）B．eq\f(1，14)C．eq\f（1,15）D．eq\f（1,18）答案C解析不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19,23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有Ceq\o\al(2，10）＝45種方法,因為7＋23＝11＋19＝13＋17＝30,所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法,故概率為eq\f（3,45）＝eq\f(1，15)．故選C．10．(2017·天津高考）有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（）A．eq\f(4，5)B．eq\f（3,5）C．eq\f(2,5）D．eq\f(1,5)答案C解析從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有Ceq\o\al(2,5)＝10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫，共4種,所以所求概率P＝eq\f（4，10)＝eq\f(2，5)．故選C．11．（2017·全國卷Ⅱ）從分別寫有1，2,3,4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(）A．eq\f(1,10)B．eq\f（1,5）C．eq\f(3，10）D．eq\f（2,5)答案D解析從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的基本事件總數(shù)為5×5＝25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10，25)＝eq\f（2，5）．故選D．12．（2016·江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1，2，3，4，5,6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________．答案eq\f（5,6）解析先后拋擲2次骰子，所有可能出現(xiàn)的情況共36個，其中點數(shù)之和不小于10的有（4，6)，(5，5),（5，6)，（6，4），（6，5)，（6，6），共6個，從而點數(shù)之和小于10的有30個，故所求概率P＝eq\f（30，36）＝eq\f(5，6)．三、模擬小題13．(2018·湖南省湘潭市四模)食物相克是指事物之間存在著相互拮抗、制約的關(guān)系，若搭配不當(dāng)，會引起中毒反應(yīng)．已知蜂蜜與生蔥相克，鯉魚與南瓜相克，螃蟹與南瓜相克．現(xiàn)從蜂蜜、生蔥、南瓜、鯉魚、螃蟹五種食物中任意選取兩種，則它們相克的概率為（)A．eq\f(1,3）B．eq\f(2，3）C．eq\f（3，10）D．eq\f(7，10)答案C解析已知蜂蜜與生蔥相克，鯉魚與南瓜相克,螃蟹與南瓜相克．現(xiàn)從蜂蜜、生蔥、南瓜、鯉魚、螃蟹五種食物中任意選取兩種，基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al（2,5）＝10,∴它們相克的概率為P＝eq\f（3，10)．故選C．14．(2018·江西南昌二模)在《周易》中，長橫“"表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻．有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有23＝8種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象,四象生八卦"．有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況．所謂的“算卦”,就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析．在一次所謂“算卦”中得到六爻,這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（）A．eq\f（1,7)B．eq\f（5,16）C．eq\f(9，16）D．eq\f（5，8)答案B解析在一次所謂“算卦"中得到六爻,基本事件的總數(shù)為n＝26＝64，這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數(shù)為m＝Ceq\o\al(3,6)＝20，所以這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是P＝eq\f（m，n)＝eq\f（20，64）＝eq\f(5,16）．故選B．15．（2019·福建漳州質(zhì)檢)某公園舉辦水仙花展,有甲、乙、丙、丁4名志愿者，隨機安排2人到A展區(qū)，另2人到B展區(qū)維持秩序，則甲、乙兩人同時被安排到A展區(qū)的概率為（）A．eq\f（1，12)B．eq\f(1,6)C．eq\f（1，3）D．eq\f(1，2）答案B解析隨機安排2人到A展區(qū)，另2人到B展區(qū)維持秩序,有Ceq\o\al（2，4)種不同的方法，其中甲、乙兩人同時被安排到A展區(qū)，有Ceq\o\al(2,2)種方法，則由古典概型的概率公式，得甲、乙兩人同時被安排到A展區(qū)的概率為P＝eq\f(C\o\al（2，2）,C\o\al（2,4）)＝eq\f(1，6)．16．（2018·湖北調(diào)研）黨的十九大報告指出，建設(shè)教育強國是中華民族偉大復(fù)興的基礎(chǔ)工程，必須把教育事業(yè)放在優(yōu)先位置,深化教育資源的均衡發(fā)展．現(xiàn)有4名男生和2名女生主動申請畢業(yè)后到兩所偏遠山區(qū)小學(xué)任教．將這6名畢業(yè)生全部進行安排，每所學(xué)校至少安排2名畢業(yè)生，則每所學(xué)校男女畢業(yè)生至少安排一名的概率為（）A．eq\f（4，25）B．eq\f(2,5)C．eq\f(14,25）D．eq\f(4，5)答案C解析由題意，將這六名畢業(yè)生全部進行安排,每所學(xué)校至少安排2名畢業(yè)生,基本事件的總數(shù)為N＝Ceq\o\al(2，6）＋eq\f（C\o\al（3，6)C\o\al(3，3）,A\o\al（2,2））×Aeq\o\al(2，2)＝50種,每所學(xué)校女畢業(yè)生至少安排一名共有：一是其中一個學(xué)校安排一女一男，另一個學(xué)校安排一女三男，有Ceq\o\al（1，2)Ceq\o\al(1，4）Aeq\o\al（2,2)＝16種;二是其中一個學(xué)校安排一女二男，另一個學(xué)校安排一女二男，有Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al（2,4）＝12種,共有16＋12＝28種,所以所求概率為P＝eq\f(28,50）＝eq\f（14,25）．故選C．17．（2018·東北三省三校一模)從標有1，2，3，4,5的五張卡中，依次抽出2張，則在第一次抽到奇數(shù)的情況下,第二次抽到偶數(shù)的概率為(）A．eq\f（1，4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1，3）D．eq\f(2，3）答案B解析由題意，記“第一次抽到奇數(shù)”為事件A,記“第二次抽到偶數(shù)”為事件B，則P(A)＝eq\f(C\o\al（1,3），C\o\al(1，5))＝eq\f（3,5），P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,3）,C\o\al（1，5))×eq\f(C\o\al（1，2），C\o\al（1，4))＝eq\f(3，10)，所以P（A｜B）＝eq\f（PAB,PA）＝eq\f(1，2）．故選B．18．(2018·廣東中山一中第五次統(tǒng)測)小球A在右圖所示的通道由上到下隨機地滑動，最后在下面某個出口落出，則投放一個小球,從“出口3”落出的概率為()A．eq\f（1,5)B．eq\f（1，4)C．eq\f（3，8）D．eq\f（3,16)答案C解析我們把從A到3的路線圖單獨畫出來,從A到3需兩橫兩豎四段路徑，從四段路徑中選出兩段,共有Ceq\o\al(2，4）＝6種走法,每一種走法的概率都是eq\f(1，2)，∴珠子從出口3出來是Ceq\o\al（2,4)eq\f(1,2）4＝eq\f(3，8)．故選C．一、高考大題1．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻愛心活動．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B,C，D，E,F,G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．解(1）由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人，2人．(2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為｛A，B｝，{A,C}，｛A,D｝，｛A,E}，{A，F(xiàn)}，{A,G}，｛B，C｝，｛B，D｝，{B,E｝，｛B，F(xiàn)}，｛B,G}，{C，D},｛C，E}，{C,F｝，｛C，G｝，｛D,E}，{D,F}，｛D，G},｛E，F(xiàn)}，{E，G}，｛F，G｝,共21種．②由（1)，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A,B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為{A,B｝，｛A,C}，｛B，C},{D，E｝，{F,G｝,共5種．所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5，21)．2．(2017·山東高考）某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游．(1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2）若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率．解（1）由題意知,從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有Ceq\o\al（2,6）＝15個．所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有:｛A1,A2}，{A1，A3｝，{A2，A3｝,共3個,則所求事件的概率為P＝eq\f（3，15)＝eq\f（1,5)．（2）從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:3×3＝9個．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：｛A1,B2}，{A1，B3}，共2個，則所求事件的概率為P＝eq\f（2,9）．3．(2016·天津高考）某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3,3,4．現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．（1）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2）設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解(1）由已知，有P(A）＝eq\f(C\o\al(1,3）C\o\al（1，4）＋C\o\al（2，3）,C\o\al（2,10））＝eq\f（1,3）．所以,事件A發(fā)生的概率為eq\f(1，3)．（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2．P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al（2,3)＋C\o\al（2,4），C\o\al（2，10)）＝eq\f(4，15），P(X＝1）＝eq\f（C\o\al(1，3)C\o\al（1,3）＋C\o\al（1,3）C\o\al(1，4)，C\o\al(2，10）)＝eq\f（7，15)，P（X＝2)＝eq\f(C\o\al(1，3）C\o\al(1,4）,C\o\al（2，10)）＝eq\f（4,15)．所以，隨機變量X的分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7，15)eq\f（4,15)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(4，15）＋1×eq\f（7，15)＋2×eq\f（4，15)＝1．二、模擬大題4．(2018·江西聯(lián)考一）最近，“百萬英雄”“沖頂大會"等一些闖關(guān)答題類游戲風(fēng)靡全國，既能答題,又能學(xué)知識,還能掙獎金．若某闖關(guān)答題一輪共有4類題型,選手從前往后逐類回答，若中途回答錯誤，立馬淘汰只能觀戰(zhàn)；若能堅持到4類題型全部回答正確，就能分得現(xiàn)金并獲得一枚復(fù)活幣．每一輪闖關(guān)答題順序：①文史常識類；②數(shù)理常識類；③生活常識類；④影視藝術(shù)常識類．現(xiàn)從全省高中生中隨機調(diào)查了100位同學(xué)的答題情況統(tǒng)計如下表：題型及序號①文史常識類②數(shù)理常識類③生活常識類④影視藝術(shù)常識類通過人數(shù)90806020淘汰人數(shù)10102040(1）現(xiàn)用樣本的數(shù)據(jù)特征估算整體的數(shù)據(jù)特征，從全省高中生中挑選4位同學(xué)，記ξ為這4位同學(xué)獲得獎金的總?cè)藬?shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若王同學(xué)某輪闖關(guān)獲得的復(fù)活幣,系統(tǒng)會在下一輪游戲中自動使用，即下一輪重新進行闖關(guān)答題時，若王同學(xué)在某一類題型中回答錯誤，自動復(fù)活一次,視為答對該類題型．請問:仍用樣本的數(shù)據(jù)特征估算王同學(xué)的數(shù)據(jù)特征，那么王同學(xué)在獲得復(fù)活幣的下一輪答題游戲中能夠最終獲得獎金的概率是多少？解(1)由題易得ξ～B4,eq\f（1，5)，則ξ的分布列為ξ01234Peq\f(256,625)eq\f(256,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)eq\f(1，625)所以數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝4×eq\f（1，5）＝eq\f(4,5）．(2）由題易知所求概率P＝eq\f(1,10）×eq\f（2,9）＋eq\f（9，10)×eq\f(1,9)×eq\f(2,8）＋eq\f（9，10)×eq\f(8，9)×eq\f(2,8)×eq\f（2，6)＋eq\f（6,10）＝eq\f(257,360）．5．(2018·廣州綜合測試二)某工廠生產(chǎn)的A產(chǎn)品按每盒10件包裝，每盒產(chǎn)品需檢驗合格后方可出廠，檢驗方案是從每盒10件產(chǎn)品中任取4件，4件都做檢驗，若4件都為合格品，則認為該盒產(chǎn)品合格且其余產(chǎn)品不再檢驗；若4件中次品數(shù)多于1件，則認為該盒產(chǎn)品不合格且其余產(chǎn)品不再檢驗；若4件中只有1件次品，則把剩余的6件采用一件一件抽取出來檢驗，沒有檢驗出次品則認為該盒產(chǎn)品合格，檢驗出次品則認為該盒產(chǎn)品不合格且停止檢驗．假設(shè)某盒A產(chǎn)品中有8件合格品,2件次品．(1)求該盒A產(chǎn)品可出廠的概率；（2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為10元，且抽取的每件都需要檢驗，設(shè)該盒A產(chǎn)品的檢驗費用為X(單位：元)．①求P(X＝40）；②求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X）．解(1）依題意,該盒A產(chǎn)品可出廠即任取的4件產(chǎn)品都為合格品,從10件中任取4件的基本事件數(shù)為Ceq\o\al(4，10），4件都為合格品的事件數(shù)為Ceq\o\al(4,8），故該盒A產(chǎn)品可出廠的概率為P＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(4，10)）＝eq\f(1，3）．(2)①該盒A產(chǎn)品的檢驗費用X＝40元表示只檢驗4件產(chǎn)品就停止檢驗，記“從該盒