專題11.9 三角形（全章知識梳理與考點分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題11.9三角形（全章知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)1.三角形三邊的關(guān)系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．2.三角形按“邊”分類：3.三角形的重要線段：（1）三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內(nèi)；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.（2）三角形的中線三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線，一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.（3）三角形的角平分線三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心.【知識點二】三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．

【知識點三】三角形的內(nèi)角和與外角和1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：1.直角三角形的兩個銳角互余；2.有兩個角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【知識點四】多邊形及有關(guān)概念

1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

2.正多邊形：各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．3.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

(1)從n邊形一個頂點可以引（n－3）條對角線，將多邊形分成（n－2）個三角形；(2)n邊形共有條對角線．

【知識點五】多邊形的內(nèi)角和及外角和公式

1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))．

2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).

第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】利用三角形三邊關(guān)系求邊或證明【例1】（23-24七年級下·江蘇揚州·期中）已知的三邊長是．（1）若，且三角形的周長是小于22的偶數(shù)，求的值；（2）化簡．【變式1】（23-24九年級下·湖南長沙·開學(xué)考試）在周長為25的三角形中，最短邊是x，另一邊是，則x的取值范圍（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期中）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為．【題型2】利用三角形三條重要線段進行求值或證明【例2】（22-23七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖：中，點D在上，且，E是的中點，交于點F.

（1）寫出圖中哪條線段是哪個三角形的角平分線，哪條線段是哪個三角形的中線？（2）若，且的面積為3，求出的面積.【變式1】（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，為的中線，為的中線．若的面積為12，，則中邊上的高為（）A．1 B．4 C．3 D．2【變式2】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，則∠DAE=.【題型3】利用三角形內(nèi)角和定理進行求值或證明【例3】（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，中，是上一點，過作交于點，是上一點，連接．若．（1）求證：．（2）若，平分，求的度數(shù)．【變式1】（23-24七年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，將長方形紙片沿對角線折疊，點C的對應(yīng)點為點E，交于點O．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024七年級下·江蘇·專題練習(xí)）將一副三角尺按如圖所示放置，直角頂點重合于點，，，斜邊，垂足為，則．【題型4】利用三角形外角性質(zhì)進行求值或證明【例4】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知是的角平分線，是的外角的平分線，延長，分別交于點F，P．（1）求證：；（2）小軒同學(xué)探究后提出等式：，請通過推理論證判斷“小軒發(fā)現(xiàn)”是否正確；（3）若，求的度數(shù)．【變式1】（2024·河南·三模）如圖所示的是一輛自動變速自行車的實物圖，圖2是抽象出來的部分示意圖，已知直線EF與BD相交于點P，，，，則的大小為（

）A． B． C． D．85°【變式2】（2024·河北邯鄲·三模）如圖，從A觀察公路的走向是北偏東，在A的北偏東方向上有一點C，在點B處測得點C在北偏東的方向上．（1）點B位于點C的方向上；（2）°．【題型5】利用直角三角形兩銳角關(guān)系進行求值【例5】如圖，中，．（1）試說明是的高；（2）如果，求的長．【變式1】（22-23八年級上·山東德州·階段練習(xí)）在下列條件中不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級下·河南鄭州·期中）在直角三角形中，比的3倍還多，則的大小為．【題型6】利用多邊形內(nèi)角和與外角和求邊數(shù)或度數(shù)【例6】（23-24八年級下·河南平頂山·期中）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多．（1）求這個多邊形是幾邊形？并求出這個多邊形的內(nèi)角和．（2）求這個多邊形的對角線的條數(shù)．【變式1】（23-24七年級下·四川德陽·階段練習(xí)）如圖，平分交于點E，，，M，N分別是延長線上的點，和的平分線交于點F．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級下·浙江湖州·階段練習(xí)）若一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川德陽·中考真題）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（

）A． B． C． D．【例2】（2024·四川達州·中考真題）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則度．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級下·湖北武漢·期中）如圖，，N為上一點，直線交于M，交于F，且，若點P為射線上一點，平分，平分交于H，交于T，則的度數(shù)