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文檔簡介

琴生不等式簡介綜述1.1基本內(nèi)容Jensen在1905年給出了一個(gè)定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，，都有,則稱為上的凸函數(shù)。如果不等號(hào)方向反向，則稱為上的凹函數(shù)。凸函數(shù)的幾何意義是：如果通過曲線上的任意兩點(diǎn)作弦，弦的中點(diǎn)必須在曲線上或在曲線上方。其推廣形式是——若函數(shù)的是上的凸函數(shù)，則對(duì)于內(nèi)的任意數(shù),都有:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,則稱該不等式為琴生（Jensen）不等式[6]。1.2推廣形式1.2.1加權(quán)形式若是上的凸函數(shù)，任意的，且,為正數(shù)，則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立[7]。 1.2.2積分形式設(shè)是定義在上的可積函數(shù)，，,是 上的可微凸函數(shù)，則有積分形式的琴生不等式還有更一般的形式：設(shè)f(x)與p(x)均為定義在[a,b]上的可積函數(shù)，且m≤f(x)≤φ1.2.3高維形式設(shè)f(x)的定義域?yàn)镸(M為[a,b],或(a,b),或無窮區(qū)間),φ(x)是M上的連續(xù)函數(shù),且存在反函數(shù)φ?1(x),則對(duì)于任意的x下面給出它的一個(gè)高維推廣，為了方便，引入下列記號(hào)：設(shè)M=M1×M2×……對(duì)于Xi=x表示m維向量：設(shè)f(X)的定義域?yàn)镸,φix是定義在Mi上的連續(xù)函數(shù),且存在反函數(shù)。若對(duì)于任意的X1，φ?1pp1fX1+p等式成立的條件是X則對(duì)于?Xi∈M(i=1,2,,都有(2)當(dāng)且僅當(dāng)

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