《機器人技術(shù)-建模、仿真及應用》課件 第四章 機器人動力學

ROBOT機器人技術(shù)——建模、仿真及應用機器人動力學第四章

目錄剛體動力學基礎(chǔ)PART.1牛頓-歐拉迭代動力學方程PART.2歐拉-拉格朗日方程PART.3引言

動力學正問題是已知機械臂各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，即機器人的運動軌跡

，這可以用于對機械臂的仿真。

動力學逆問題是已知機械臂的運動軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動力或力矩

，這可以用于對機械臂的控制。

動力學主要研究產(chǎn)生運動所需要的力。對于機器人動力學分析，有兩種經(jīng)典的方法：一種是牛頓-歐拉法，另一種是拉格朗日法。與機器人運動學相似，機器人動力學也有兩個相反的問題：剛體動力學基礎(chǔ)PART.1質(zhì)量分布剛體的加速度剛體動力學基礎(chǔ)質(zhì)量分布如圖表示一個剛體，坐標系建立在剛體上，

表示單元體

的位置矢量。坐標系

中的慣性張量可用3×3矩陣表示如下：矩陣中的各元素為：式中剛體由單元體

組成，單元體的密度為

。每個單元體的位置由矢量

確定，如圖所示。慣性張量剛體動力學基礎(chǔ)質(zhì)量分布

,

和

為慣量矩，是單元體質(zhì)量

乘以單元體到相應轉(zhuǎn)軸垂直距離的平方在整個剛體上的積分。

交叉項稱為慣量積。對于一個剛體來說，上述六個相互獨立參量取決于所在坐標系的位姿。慣性張量剛體動力學基礎(chǔ)剛體的加速度有關(guān)剛體加速度問題：任一瞬時，對剛體的線速度和角速度求導。例如，加速度可以通過計算空間一點

相對于坐標系

的速度的微分進行描述，即：同速度一樣，當微分的參考坐標系為世界坐標系時，可用下列符號表示剛體的速度，即：線速度剛體動力學基礎(chǔ)剛體的加速度把坐標系

固連在一剛體上，要求描述相對于坐標系

的速度矢量，如圖，這里假設(shè)坐標系

是固定的。坐標系

相對于坐標系

的位置矢量

和旋轉(zhuǎn)矩陣

來描述，假設(shè)方位

不隨時間變化，則

點相對于坐標

的運動是由于

或

隨時間的變化引起的。求解坐標系

中

的線速度只要寫出坐標系

中的兩個速度分量，求其和為：公式（4.7）只適用于坐標系

和坐標系

的相對方位保持不變的情況。坐標系

以速度

相對于坐標系

平移坐標系

相對于坐標系

的方位是隨時間變化的，

相對于

的旋轉(zhuǎn)速度用矢量

來表示。已知矢量

確定了坐標系

中一固定點的位置，則可得點

的角速度為：角速度剛體動力學基礎(chǔ)剛體的加速度固定坐標系

中的矢量

以角速度

相對于坐標系

旋轉(zhuǎn)首先討論兩坐標系的原點重合、相對相速度為零的情況，而且它們的原點始終保持重合，其中一個或兩個坐標系固連在剛體上，如圖所示。

線速度和角速度同時存在時，且兩坐標系原點不重合，把線速度帶入上式，可以得到從坐標系

觀測坐標系

中固定速度矢量的普遍公式：線加速度剛體動力學基礎(chǔ)剛體的加速度式

描述了當坐標系

的原點與坐標系

的原點重合時，坐標系

下的速度矢量

，方程左邊描述的是矢量

隨時間變化的情況，由于兩個坐標系的原點重合，因此可以把改寫成如下形式：對式

求導，當坐標系

的原點與坐標系

的原點重合時，可得到

的加速度在坐標系

的表達式：上式第一項和最后一項應用式（1），則式（2）變?yōu)椋海?）（2）線加速度剛體動力學基礎(chǔ)剛體的加速度將

同類項合并，整理得：為了將結(jié)論推廣到兩個坐標系原點不重合的一般情況，附加一個表示坐標系

原點線加速度的項，最終得到一般表達式：值得指出的是，當

是常量時，即：此時，上式簡化為：角加速度剛體動力學基礎(chǔ)剛體的加速度假設(shè)坐標系

以角速度

相對于坐標系

轉(zhuǎn)動，同時坐標系

以角速度

相對于坐標系

轉(zhuǎn)動。為求

在坐標系

中進行矢量相加，即：對上式求導，得：將式

代入上式右側(cè)最后一項中，得：上式用于計算操作臂連桿的角加速度。牛頓-歐拉迭代動力學方程PART.2歐拉方程牛頓-歐拉迭代動力學方程牛頓方程牛頓-歐拉法應用實例牛頓-歐拉迭代動力學方程牛頓方程作用于剛體質(zhì)心的力F引起剛體運動加速度如圖所示的剛體質(zhì)心正以加速度

做加速運動。此時，由牛頓方程可得作用在質(zhì)心上的力F引起剛體加速度為：式中，m代表剛體總質(zhì)量。牛頓-歐拉迭代動力學方程歐拉方程如圖所示為一個旋轉(zhuǎn)剛體，其角速度和角加速度分別為

、

。此時，由歐拉方程可得，作用在剛體上的力矩N引起剛體的轉(zhuǎn)動為：作用在剛體上的力矩N，剛體旋轉(zhuǎn)角速度

和角加速度式中

是剛體在坐標系{C}中的慣性張量。剛體的質(zhì)心在坐標系{C}的原點上。牛頓-歐拉迭代動力學方程牛頓-歐拉法迭代動力學方程有關(guān)操作臂給定運動軌跡的力矩計算的問題。（1）計算速度和加速度的向外迭代法：為了計算作用在連桿上的慣性力，需要計算操作臂每個連桿在某一時刻的角速度、線加速度和角加速度?？蓱玫椒ㄍ瓿蛇@些計算。首先對連桿1進行計算，接著計算下一個連桿，這樣一直向外迭代到連桿n。角速度在連桿之間的傳遞如圖所示，連桿

的角速度為：由角加速度的公式可得：牛頓-歐拉迭代動力學方程牛頓-歐拉法迭代動力學方程當?shù)趇+1個關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)時，上式可簡化為：由線速度公式可以得到每個連桿坐標系原點的線加速度：當?shù)趇+1個關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)時，上式可簡化為：牛頓-歐拉迭代動力學方程牛頓-歐拉法迭代動力學方程進而可以得到每個連桿質(zhì)心的線加速度：假定坐標系{C}連于連桿i上,坐標系原點位于連桿質(zhì)心，且各坐標軸方位與原連桿坐標系{i}方位相同。由于上式與關(guān)節(jié)的運動無關(guān)，因此無論是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)還是移動關(guān)節(jié)，上式對于第i+1個連桿來說都是有效的。計算每個連桿質(zhì)心的線加速度和角加速度后，運用牛頓-歐拉公式可以分別計算出作用在連桿質(zhì)心上的慣性力和力矩，即：式中，坐標系

的原點位于連桿質(zhì)心，各坐標軸方位與原連桿坐標系

方位相同。牛頓-歐拉迭代動力學方程牛頓-歐拉法迭代動力學方程（2）計算力和力矩的向內(nèi)迭代法：計算出作用在每個連桿上的力和力矩之后，需要計算關(guān)節(jié)力矩，它們是實際施加在連桿上的力和力矩。根據(jù)典型連桿在無重力狀態(tài)下的受力圖，如圖所示，列出力平衡方程和力矩平衡方程，每個連桿都受到相鄰連桿的作用力和作用力矩以及附加的。這里定義了一些專用符號用來表示相鄰的作用力和力矩：單個連桿的力平衡、力矩平衡=連桿

作用在連桿

上的力；②=連桿

作用在連桿

上的力矩。將所有作用在連桿

上的力相加，得到力平衡方程如下：牛頓-歐拉迭代動力學方程牛頓-歐拉法迭代動力學方程將所有作用在質(zhì)心上的力矩相加，并且令他們的和為零，得到力矩平衡方程如下：將式

的結(jié)果以及附加旋轉(zhuǎn)矩陣的方法帶入上式，可得：最后，重新排列力和力矩方程，形成相鄰連桿從高序號向低序號排列的迭代關(guān)系分別為：牛頓-歐拉迭代動力學方程牛頓-歐拉法迭代動力學方程應用這些方程對連桿依次求解，從連桿n開始向內(nèi)迭代一直到機器人基座。在靜力學中，可通過下式計算一個連桿施加于相鄰連桿的力矩在

方向的分量求得關(guān)節(jié)力矩：式中，

表示線性驅(qū)動力。注意：對一個在自由空間中運動的機器人來說，

和

等于零，因此應用這些方程首先計算連桿n時是很簡單的；如果機器人與環(huán)境接觸，

和

不為零，力平衡方程中就包含了接觸力和力矩。牛頓-歐拉迭代動力學方程牛頓-歐拉法迭代動力學方程（3）牛頓-歐拉迭代動力學算法:由關(guān)節(jié)運動計算關(guān)節(jié)力矩的完整算法由兩部分組成:第一部分是對每個連桿應用牛頓-歐拉方程，從連桿1到連桿n向外迭代計算連桿的速度和加速度；第二部分是對每個連桿n到連桿1向內(nèi)迭代計算連桿間的相互作用力和力矩以及關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)來說，這個算法歸納如下：1）外推，

向外迭代。2）內(nèi)推，

向內(nèi)迭代。已知關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，應用外推和內(nèi)推公式可以計算出所需的關(guān)節(jié)力矩。假設(shè)機械臂每個連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應用實例牛頓-歐拉迭代動力學方程首先，確定牛頓-歐拉迭代公式中各參量的值。每個連桿質(zhì)心的位置矢量分別為:由于假設(shè)為集中質(zhì)量，因此每個連桿質(zhì)心的慣性張量為零矩陣，即:末端執(zhí)行器上沒有作用力，因而有:機器人基座不旋轉(zhuǎn)，因此有:包括重力因素，有:相鄰連桿坐標系之間的相對轉(zhuǎn)動由下式給出:牛頓-歐拉法應用實例應用方程式外推和內(nèi)推公式，對連桿1用向外迭代法求解如下:牛頓-歐拉迭代動力學方程假設(shè)機械臂每個連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應用實例牛頓-歐拉迭代動力學方程假設(shè)機械臂每個連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應用實例對連桿2用向外迭代法求解如下:牛頓-歐拉迭代動力學方程假設(shè)機械臂每個連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應用實例牛頓-歐拉迭代動力學方程假設(shè)機械臂每個連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應用實例對連桿2用向內(nèi)迭代法求解如下:（48）牛頓-歐拉迭代動力學方程假設(shè)機械臂每個連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應用實例對連桿1用向內(nèi)迭代法求解如下:牛頓-歐拉迭代動力學方程假設(shè)機械臂每個連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應用實例取中的方向分量，得關(guān)節(jié)力矩:上式將驅(qū)動力矩表示為關(guān)于關(guān)節(jié)位置、速度和加速度的函數(shù)。牛頓-歐拉迭代動力學方程假設(shè)機械臂每個連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例歐拉-拉格朗日方程PART.3歐拉-拉格朗日方程歐拉-拉格朗日方程是用廣義坐標表示完整工業(yè)機器人系統(tǒng)的動力學方程，拉格朗日函數(shù)

定義為系統(tǒng)的全部動能

和全部勢能

之差，即：式中，動能

取決于機器人系統(tǒng)中連桿的位姿和速度；而勢能

取決于連桿的位形。系統(tǒng)動力學方程式，即歐拉-拉格朗日方程如下：式中，

表示與廣義坐標

相關(guān)的廣義力；

為相應的廣義速度。勢能計算運動方程動能計算拉格朗日法仿真實例歐拉-拉格朗日方程動能計算在機械臂中，連桿是運動部件，連桿

的動能

連桿質(zhì)心線速度產(chǎn)生的動能和連桿角速度產(chǎn)生的動能之和。因此，對于有

個連桿的機器人系統(tǒng)，其總動能是每一連桿相關(guān)運動產(chǎn)生的動能之和，表達如下：式中，

為連桿

的質(zhì)心

的三維線速度矢量；

為連桿

的三維角速度矢量；

為連桿

的質(zhì)量，是標量；

為連桿

的慣性張量。由于

和

分別為關(guān)節(jié)變量

和關(guān)節(jié)速度

的函數(shù)，由

可知機器人的動能是關(guān)節(jié)變量

和關(guān)節(jié)速度

的函數(shù)。歐拉-拉格朗日方程勢能計算與動能計算類似，機器人的總勢能也是各連桿的勢能之和。假設(shè)連桿是剛性體，勢能的表達如下：式中，矢量

為關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，且該函數(shù)是非線性的。由此可知，總勢能

只關(guān)于關(guān)節(jié)變量

的函數(shù)，與關(guān)節(jié)速度

無關(guān)。歐拉-拉格朗日方程運動方程按照式

和式

計算系統(tǒng)總動能和總勢能，牛頓歐拉章節(jié)的例題中機器人的拉格朗日函數(shù)可寫為：拉格朗日函數(shù)對關(guān)節(jié)變量

、關(guān)節(jié)速度

和時間

求導可得動力學運動方程，其中勢能與關(guān)節(jié)速度

無關(guān)，即有：式中，

表示與廣義坐標

相關(guān)的廣義力；

為相應的廣義速度。實際計算機械臂動力學時，

和

對應連桿轉(zhuǎn)矩

；而

和

對應連桿推力

。歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實例機器人是結(jié)構(gòu)復雜的連桿系統(tǒng)，一般采用齊次變換的方法，用拉格朗日方程建立其系統(tǒng)動力學方程，對其位姿和運動狀態(tài)進行描述。機器人動力學方程的具體推導過程如下：1.選取坐標系，選定完全而且獨立的廣義關(guān)節(jié)變量

。2.選定相應關(guān)節(jié)上的廣義力

：當

位移變量時，

為力；當

是角度變量時，

為力矩。3.求出機器人各構(gòu)件的動能和勢能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。4.代入拉格朗日方程求得機器人系統(tǒng)動力學方程。例歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實例說明下圖機器人動力學方程的推導過程。選取笛卡兒標系。連桿1和連桿2的關(guān)節(jié)變量分別是轉(zhuǎn)角

和

，連桿1和連桿2的質(zhì)量分別是

和

，桿長分別為

和

，質(zhì)心分別在

和

處，離關(guān)節(jié)中心的距離分別為

和

，其中底座與大地固定。因此，連桿1質(zhì)心

的位置坐標為：連桿1質(zhì)心

速度的平方為：連桿2質(zhì)心

的位置坐標為：連桿2質(zhì)心

速度的平方為：歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實例系統(tǒng)動能為：系統(tǒng)勢能為：拉格朗日函數(shù)為：選取笛卡兒標系，設(shè)定連桿1的關(guān)節(jié)變量

，則其角速度連桿2的關(guān)節(jié)變量

，則其角速度

，連桿1的桿長

，其質(zhì)量

。連桿2的桿長

，其質(zhì)量

。根據(jù)上述動力學方程的推導過程對機械臂10s內(nèi)的動能和勢能變化進行仿真求解，仿真代碼及結(jié)果如下。歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實例例已知條件：

歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實例t=0:2:10;theta1=2*pi/180*(t.^2);theta2=pi/180*(t.^2);a=4*pi/180*t;b=2*pi/180*t;m1=20;m2=15;l1=4;l2=3;g=9.8;p1=1/2*l1;p2=1/2*l2;X1=p1*sin(theta1);Y1=-p1*cos(theta1);V12=(p1*a).^2;X2=l1*sin(theta1)+p2*sin(theta1+theta2);Y2=-l1*cos(theta1)-p2*cos(theta1+theta2);V22=(l1^2)*(a.^2)+(p2^2)*((a+b).^2)+2*l1*p2*((a.^2)+a.*b).*cos(theta2);Ek1=1/2*m1*V12;Ek2=1/2*m2*V22;Ek=Ek1+Ek2;subplot(2,1,1);plot(t