專題三：函數(shù) 高考考點總結(jié)講義（解析）2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

專題三函數(shù)

考向(一)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)

規(guī)律小結(jié)

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線，對整個高中數(shù)學(xué)有著重要的意義，每

年高考卷都將其作為必考題，題目分布在選擇題和填空題.本專題常以基本函數(shù)、

基本函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體，對函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進行考查，

考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示方法及性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、

周期性)、圖像等，常與導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識交匯命題，考查數(shù)形結(jié)合、

分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等思想方法.同時加大對數(shù)學(xué)建模的考查力

度，根據(jù)實際問題，建立函數(shù)模型或用已知模型解決實際問題，考查建模及應(yīng)

用能力.

3.考點頻度

高頻考點：函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和能函數(shù).

低頻考點：函數(shù)與方程.

4.備考策略

函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情境為主，備考應(yīng)以常見的選擇題和填空題為主進行

訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題，而且常考常新.考

生在備考時要注意以下兩點.

(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、黑函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是

基礎(chǔ)，要求考生在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準確把握函

數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì)，會處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問題，會識別函數(shù)圖

像的變化.同時，指對運算也是?？疾榈闹R點，考生應(yīng)加強對公式的理解及應(yīng)

用的訓(xùn)練.

(2)函數(shù)性質(zhì)、零點、圖像等問題是函數(shù)專題的重點考查內(nèi)容，注意函數(shù)

的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注重數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函

數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點做好準備工作.

1.(2021全國甲，理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+1)為奇函

數(shù),f(x+2)為偶函數(shù)，當xe［l,2］時，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,

則/?=(.)

A.--B.--C.-D.-

4242

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)為載體，考查函數(shù)

的奇偶性與周期性.

［必備知識］本題考查的知識是函數(shù)奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用.

［能力素養(yǎng)］本題考查運算求解能力和邏輯思維能力，考查的學(xué)科

素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題解題的關(guān)鍵一是求解解析式中的參

數(shù),由f(x+l)為奇函數(shù)，可得f(1)=0,結(jié)合f(0)+f(3)=6,可得a,b的

值，從而得到xW［1,2］時,f(x)的解析式；關(guān)鍵二是求解函數(shù)的周期性，

由f(x+l)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，求得f(x)的周期為4,最后將

自變量I進行轉(zhuǎn)化，嗚=麋)=一嗚，即可解決?

［解題思路］；f(x+i)是奇函數(shù)，.?.f(-x+D=-f(x+D.

f(x+2)=f(x+l+l)=-f(-x).

f(2-x)=f(l-x+l)=-f(x).

*/f(x+2)是偶函數(shù)，f(x+2)=f(2-x),

...-f(-x)=-f(x)，即.f(-x)=f(x)f(x)是偶函數(shù).

*.*f(x+4)=f［(x+2)+2］=f［-(x+2)+2］=f(-x)=f(x),

函數(shù)f(x)的周期為4,f(3)=f⑴=0.

f(0)=f(-l+l)=-f(l+l)=-f(2)，,f(0)=-f(2).

?.?當xG［1,2］時，f(x)=ax2+b,.?.由f⑴=0得a+b=0.

f(0)+f(3)=6,/.f(0)=6，,f(2)=-6.

即4a+b=-6,a=-2,b=2,：./Q)=/Q)=-f(|)=

——2X(I)2+2=3?故選D?

［答案］D

2.(2021全國甲，文4)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.f(x)=-x=(I)

C.f(x)=x2D.f(x)=Vx

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以基本初等函數(shù)為載

體，考查函數(shù)的單調(diào)性.［必備知識］本題考查的知識是基本初

等函數(shù)單調(diào)性的判斷.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維.本題

結(jié)合基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性分別檢驗各選項即可判斷.

［解題思路］借助函數(shù)的圖像可知，對于A,函數(shù)單調(diào)遞減，不合題意；

對于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)遞減，不合題意；對于C,

函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，不合題意；對于D,根據(jù)福函數(shù)的性質(zhì)可知，

函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，符合題意.故選D.

［答案］D

3.(2021全國甲，文12)設(shè)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且f(l+x)=f(-x).

若CH，則喧)=。

A-_lB--ic-iD-i

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)為載體，考查函數(shù)

的奇偶性、對稱性以及周期性的綜合應(yīng)用.

［必備知識］本題考查的知識是函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性的靈活

處理和求解函數(shù)值.

［能力素養(yǎng)］本題考查運算求解能力和邏輯思維能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題解題的關(guān)鍵是進行合理的轉(zhuǎn)化，思路1.由

已知條件f(-x)=-f(X)及f(l+x)=-f(x)進行轉(zhuǎn)化得f(2+x)=f(x),再結(jié)合

(一3=］進行求解；思路2.由f(l+x)=f(-x)得f(x)的對稱軸x=|,結(jié)

合f(x)為奇函數(shù)，易知函數(shù)f(x)的周期為2,再結(jié)合f(—3=］進行求

解.

［解題思路］思路L..丫㈤是奇函數(shù)，.?.f(-x)=-f(x).

f(x+l)=f(-x)，,f(x+l)=-f(x),則f(x+2)=-f(x+l)=f(x),

...函數(shù)f(x)的周期為2,則f(§=f(2-|)=故選C.

思路2.(l+x)=f(-x),則x=|為函數(shù)f(x)的對稱軸，

又f(x)為奇函數(shù)，則f(x)的周期為2,則f(|)==

故選C.

［答案］C

［失分剖析］考生不能快速正確地對函數(shù)的奇偶性、對稱性以及周期性

進行轉(zhuǎn)化.

4.(2021全國乙，理4、文9)設(shè)函數(shù)能=導(dǎo)則下列函數(shù)中為奇函數(shù)

的是()

A.f(x-l)-lB.f(x-l)+l

C.f(x+D-lD.f(x+D+l

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以反比例函數(shù)為載體，考查函

數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖像變換.

［必備知識］本題考查的知識是分式的處理以及函數(shù)奇偶性和圖像變換

的應(yīng)用.

［能力素養(yǎng)］本題考查運算求解能力和邏輯思維能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)f(x)的對稱中心，

先根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式,得到f(x)=

212=_1+心_,進而得到f(x)的對稱中心為(-1,-1),然后通過

1+x1+X

圖像變換，使得變換后的函數(shù)圖像的對稱中心為(0,0),從而得到答

案.當然考生也可以把f(x)=W的解析式代入每個選項逐個進

行判斷.

匚解題思路］思路1.函數(shù)f(x)=A=—1+二-,故該函數(shù)圖像的對稱

1+xX+1

中心的坐標為(-1,-1).

將該函數(shù)圖像向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到

的圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=f(x-D+l,其圖像關(guān)于坐標原點對稱,

即為奇函數(shù).故選B.

思路2.將f(x)=蕓代入A選項得f(x—1)一1=：-2,對稱中心為(0,-

2).類比A選項對每個選項逐個進行判斷即可.

［答案］B

［失分剖析］①考生不會分式處理.②考生不會判斷對稱中心.

5.(2021新高考全國II,8)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+2)是偶函

數(shù),f(2x+l)是奇函數(shù)，則下列選項中值一定為0的是()

A.f(-0B.f(-l)C.f(2)

D.f(4)

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)為載體，考查了函

數(shù)奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用.

［必備知識］本題考查的知識是函數(shù)奇偶性的定義的應(yīng)用以及賦值法的

靈活應(yīng)用.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索.思路L常規(guī)推導(dǎo)，要求考生能夠利用函數(shù)的奇

偶性的定義對條件f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+l)為奇函數(shù)進行處理，得到

f(-x+2)=f(x+2),f(-2x+1)=-f(2x+1),然后借助賦值法即可求解.思路2.

特殊函數(shù)法，要求考生能夠?qū)W(xué)過的基本初等函數(shù)進行靈活性地創(chuàng)造,

構(gòu)造出滿足要求的新函數(shù)f(x)=cos［］(x—2)］,之后進行驗證即可.

［解題思路］思路1f(x+2)是偶函數(shù)，則f(-x+2)=f(x+2),

又f(2x+l)是奇函數(shù)，則f(-2x+l)=-f(2x+l),

且由F(x)=f(2x+l)是奇函數(shù)，可得F(0)=f(1)=0.

.?.f(T)=-f(3)=-f(l)=0,其他選項不一定為0.

故B選項正確.

思路2.由f(x+2)是偶函數(shù),f(2x+l)是奇函數(shù)，

可構(gòu)造函數(shù)f(x)=cos［|(x-2)］符合題意，故選B.

［答案］B

［失分剖析］考生對抽象函數(shù)性質(zhì)的處理不到位.

6.(2020全國H,理9)設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+lTn2xT|,則f(x)()

A.是偶函數(shù)，且在G，+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在

(―單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(一8，—3單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在

(_8,一3單調(diào)遞減

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以函數(shù)f(x)=ln|2x+l|-Ln|2x-

lI為載體,考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.

［必備知識］本題考查的知識是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)奇偶

性的概念.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索,考生先根據(jù)函數(shù)f(x)奇偶性的概念，利用f(x)

與f(-x)的關(guān)系解決問題，再借助導(dǎo)函數(shù)f'(X)在給定區(qū)間內(nèi)的正負來

判斷函數(shù)的單調(diào)性.本題需要考生理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的意義，并

通過數(shù)學(xué)運算求解.

［解題思路］運用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的概念進行判斷.

由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域為卜惶?！?，關(guān)于原點對稱.

Vf(x)=ln|2x+l|-In2x-l|,

f(-x)=ln|-2x+l|-ln|-2x-lI=ln12x-l|-Ini2x+l|=-f(x),

???f(x)為奇函數(shù).

當xW(—時，.f(x)=ln(2x+l)-In(l-2x),

u，/、2—24、c

??(X)-2x+l-l-2x-(2x+l)(l-2x)>'

...f(x)在區(qū)間(一；，￡)內(nèi)單調(diào)遞增.

同理,f(x)在區(qū)間(一8,_鄉(xiāng)和Q，+8)上單調(diào)遞減.故選D.

［答案］D

［失分剖析］考生對于函數(shù)解析式中的絕對值化簡處理不到位.

7.(2020全國II,文10)設(shè)函數(shù)f(x)=x3—9jaUf(x)()

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單

調(diào)遞減

C.是偶函數(shù),且在(0,+8)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)

單調(diào)遞減

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以函數(shù)f(x)=x3-妥為載體,

考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.

［必備知識］本題考查的知識是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的簡單應(yīng)用.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生首先以奇偶性的概念為出發(fā)點，利用f(x)

與f(-x)的關(guān)系解決問題，再通過單調(diào)性的性質(zhì)，縝密地運算解決問題.

本題需要考生理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的意義，并通過數(shù)學(xué)運算進行

求解.

［解題思路］運用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和奇偶性的概念進行判斷.

由題意可知,f(x)的定義域為(-8,0)u(0,+8),關(guān)于原點對稱.

??f(x)=x3f(-x)=(-x)3-品=-(x3-^)=-f(x),

.?.f(x)為奇函數(shù).

易知f(x)=x3—白在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

故選A.

［答案］A

［失分剖析］考生對于區(qū)間單調(diào)性證明中的判斷求解易出錯.

8.(2020新高考全國I,8；2020新高考全國II,8)若定義在R的奇函數(shù)f(x)

在(一8,0)上單調(diào)遞減，且f(2)=0,則滿足xf(x-l)NO的x的取值范圍是

()

A.［-1,1］U［3,+8)B.［-3,-1］U［0,1］

C.［-1,0］U［1,+°°)D.［-1,0］U［1,3］

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)f(x)的奇偶性和單

調(diào)性為載體，考查不等式問題.

［必備知識］本題考查的知識是抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)

探索.考生理解題干，借助函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性刻畫出函數(shù)圖像的對

稱性和變化趨勢，再抽

(x>0

象概括出不等式一'解r<0'等信息，建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)

x-1>0,］x-1<0,

,X-1<2,x—1>—2

上歸納形成數(shù)學(xué)命題.本題解題的關(guān)鍵是通過分析將函數(shù)擴充到整個定

義域，即能夠?qū)⒑瘮?shù)

的各種性質(zhì)和不等關(guān)系等綜合抽象為一個整體，并圍繞著這一個具體

模型(抽象函數(shù))展開研

究，最終解決具體問題.

［解題思路］利用函數(shù)的基本性質(zhì)以及結(jié)合函數(shù)的圖像進行求解.

不等式xf(XT)與。可化為U-l)°>0或｛f(x-n°<0,

Vf(2)=0,Af(-2)=0.

：f(x)是R上的奇函數(shù)，，f(0)=0.

又f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，...f(x)在(0,+8)上也單調(diào)遞減.

［X>0,X<0,

Ax-1>0,x-1<0,解得lWx<3或TWxWO,

lx—1<2,x—1>—2,

滿足xf(x-L)20的x的取值范圍是U［1,3］.故選D.

［答案］D

［失分剖析］考生對于函數(shù)解析式分類討論處理不到位.

9.(2019全國I,理5、文5)函數(shù)f(x)=WR在［-n,n］的圖像大致

cosx+x2

為()

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以三角函數(shù)為載體，考查函數(shù)

圖像的判斷.

［必備知識］本題考查的知識是利用函數(shù)的定義域、奇偶性、特殊點處

的函數(shù)值以及函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的簡圖.

［能力素養(yǎng)］本題考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算求解能力，

考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題定義域無法進行判斷，所

以考生應(yīng)利用函數(shù)奇偶性的概念或性質(zhì)判斷出函數(shù)的奇偶性，排除部

分選項，再借助?p,n等處的函數(shù)值確定最終的函數(shù)圖像.本

題要求考生通過函數(shù)的奇偶性以及特殊點處的函數(shù)值大體描繪函數(shù)的

圖像，考查考生對函數(shù)性質(zhì)與圖像的數(shù)形結(jié)合思想的理解與應(yīng)用.

［解題思路］常用的識圖方法主要有三種，一是定性分析法，即通過對

問題進行定性分析，從而根據(jù)圖像的上升或者下降的趨勢來分析；二

是定量計算法，通過定量計算進行分析；三是函數(shù)模型法，由所提供

的圖像特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用函數(shù)模型來分析.

思路1.由f(-x)=-f(x),得f(x)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，排除A選

項.

/(2)=裔==>1，八兀)=E>。，又

一一三<0,故排除A選項和C選項.

—)=5^0JT4—1

?7T1K

sm--r—

44

又>1,故排除祗選項，故選Q皿

［答案］D

［失分剖析］①考生對于基本初等函數(shù)的性質(zhì)理解不到位.②考生對于特

殊點的應(yīng)用技不熟練。

10.(2019全國II,理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足f(x+l)=2f(x),且

當xe(0,1時,f(x)=x(x-1).若對任意xe(-8,m］,都有f(x)>一,則m

的取值范圍是()

A.(_8用B.(-8'3。(-8臼

［試題情境］本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以抽象函數(shù)的性質(zhì)和圖像為載

體，考查不等問題.

［必備知識］本題考查的知識是函數(shù)的圖像的變換和函數(shù)的性質(zhì).

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力、空間想象能力和運算求解能力，

考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生獲取分段函數(shù)中一段函數(shù)

的解析式并畫出一段函數(shù)圖像，關(guān)鍵理解好條件f(x+l)=2f(x),通過變

形得到f(x)=2f(xT).本題考查了利用圖像的平圖變換與伸縮變換相結(jié)

合，要求考生把(0,1］上的圖像擴展到R上，其實質(zhì)是分析好f(x)的圖

像，再求出(2,3］上的解析式，從而解決問題.

［解題思路］利用函數(shù)的基本性質(zhì)以及結(jié)合函數(shù)的圖像進行求解.

,/f(x+l)=2f(x)，,f(x)=2f(x-1).

又當x￡(―8,m］時,f(x)2—g恒成立，m<|,故me

(—故選B.

［答案］B

［失分剖析］①考生對于函數(shù)中的性質(zhì)整合應(yīng)用時前后不能照應(yīng).②考生

不能準確作出函數(shù)圖像.

11.(2019全國II,文6)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當x20時,.f(x)=ez-1,

則當x<0時，

f(H)=()

A.ex-1B.ez+1

C.-ea-1D.-ez+1

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以分段函數(shù)為載體，利用奇偶

性考查求函數(shù)的解析式.

［必備知識］本題考查的知識是函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索.思路1.考生理解獲取函數(shù)的部分解析式(當X》

0時，f(x)=ex-1),此處考生易犯以偏概全的錯誤，需要考生理解奇

偶性的概念和幾何意義，利用奇函數(shù)的定義f(x)=-f(-x)把已知區(qū)間［0,

+8)上的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成未知區(qū)間(-8,0)上的函數(shù)解析式.思路2.

利用特殊點處的函數(shù)值進行排除也可?考生需綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、

思想和方法解決問題.

［解題思路］思路L采取代換法，利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解題.

f(X)是奇函數(shù)，...f(-X)=-f(x).

當x<0時,-x>0,f(-x)=e“-l=-f(x),即f(x)=-e~+1.故選

D.

思路2.排除法.

Vf(2)=e2-1,則f(-2)=-f(2)=l-e2，排除A,B,C.故選D.

［答案］D

12.(2019全國III,理7)函數(shù)丫=^^在［-6,6］的圖像大致為()

2x+2x

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)圖像

和性質(zhì).

［必備知識］本題考查的知識是利用函數(shù)的定義域、奇偶性、特殊點處

的函數(shù)值以及函數(shù)一1

的單調(diào)性判斷函數(shù)的簡圖.

［能力素養(yǎng)］本題考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算求解能力，

考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題定義域無法進行判斷，所

以考生應(yīng)利用函數(shù)奇偶性的概念或性質(zhì)判斷出函數(shù)的奇偶性，排除部

分選項，再借助4,6處的函數(shù)值確定最終的函數(shù)圖像.本題要求考生通

過函數(shù)的奇偶性以及特殊點處的函數(shù)值粗略描繪函數(shù)的圖像，考查考

生對函數(shù)性質(zhì)與圖像的數(shù)形結(jié)合的理解.

［解題思路］設(shè)y=f(x)=￡f與，則f(—乂)=4=

—Wfv=—f(x),故f(x)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，排除選項

Cf(4)=表三>0,排除選項D.f(6)=舞。7,排除選項A.故

選B.

［答案］B

［失分剖析］考生對于圖像中的對稱性、單調(diào)性、特殊點的理解不到位.

13.(2019全國HI,理11、文12)設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0,+

8)上單調(diào)遞減，則()

A.f(log3；)>f(24)>f(2-t)B.f(log3i)>

-

>f(log3j)D.f(2t)>

f(24)>f(log3i)

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)f(x)為載體，考查

函數(shù)單調(diào)性、奇偶性及比較指數(shù)、對數(shù)值大小問題.

［必備知識］本題考查的知識是抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用

以及指數(shù)、對數(shù)值大小比較.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)索.思路1.考生利用函數(shù)的奇偶性把所比較的三個函

數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)內(nèi)，再比較自變量的大小，根據(jù)函

數(shù)的單調(diào)性即可解決.思路2.抽象問題具體化.借助滿足目條件的基本

初等函數(shù)f(x)=-x2進行解決.

［解題思路］思路L；f(x)是R上的偶函數(shù)，???f(log3》=f(—log34)=

f(log34).

2

又y=2x在定義域R上單調(diào)遞增，log34>1=2°>2->

3

2~2.

又f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

-

???f(log34)<f(23)<O.f(2-i)>>f(log3i)故選

C.

思路2.設(shè)f(x)=-x2,則f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且

在(0,+8)上單調(diào)遞減，滿題設(shè)條件.則f(24)=-l,-l<

f(2-t)=-24<=—(log34)2<1,所以>

f(24)>f(log3i).故選C.

［答案］C

［失分剖析］考生對于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)理解不到位.14.(2021

新高考全國I,13)已知函數(shù)f(x)=x3(a-2X-2-x)是偶函數(shù)，則

a=.

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以指數(shù)函數(shù)和得函數(shù)為載體，

考查函數(shù)奇偶性的基本知識.

［必備知識］本題考查的知識是函數(shù)的奇偶性的基本知識和根據(jù)奇偶性

及特殊點的函數(shù)值確定函數(shù)表達式中參數(shù)的基本方法.

［解題思路］思路1.因為函數(shù)f(x)=x3(a-2X-2-2)；是

偶函數(shù)，

所以f(x)=f(-x),即x3(a,2a-2x)=(-x尸［a,2-x-

2'(-x)L

整理得，a-2X-2-x=-(a-2-x-2X),即(a-

1)?2X+(a-l)-2x=o.

a

(a-1)(2+2c)=0

所以a=L

思路2.因為函數(shù)f(x)=x3(a2-2-x)是偶函數(shù)，由特值

法f(l)=f(T),解得a=l.

［答案］1

15.(2021新高考全國I,15)函數(shù)f(x)=|2x-l-21nx的最小值

為.

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以對數(shù)函數(shù)與絕對值函數(shù)為載

體，考查函數(shù)的單調(diào)性和最值.

［必備知識］本題考查的知識是絕對值函數(shù)的處理以及函數(shù)單調(diào)性的分

析與應(yīng)用.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題要求考生能夠轉(zhuǎn)化問題，把絕對值問題

f(x)=|2x-l|-21nx轉(zhuǎn)化為一個分段函數(shù)f(x)=

2x—1—21nx,x>

2i的問題.思路1.考生在每一段函數(shù)中借助導(dǎo)

1—2x—21nx,0<x<-

數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而求解最小值；思路2.由對數(shù)不等式InxWx-

l(x=l時等號成立)知-21nxe2-2x,然后在每一段中計算求解即可.

(1

2x—1—21nx,x>一，

［解題思路］思路f(x)=<2

1—2x—21nx,0<x<-.

I2

當x>；時，f'(x)=2—三=絲且,令f'(x)=0,則x=l,

2XX

所以當xe&l］)時，f'(x)<0,f(x)；單調(diào)遞減，當XG(1,+8)

時，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間G，+8)內(nèi)的最小值為f(1)=1；

當0<xW^時，f'(x)=-2-1<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間

(0山上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0臼上的最小值為

=21n2>1.

綜上，f(l)=1.

思路2.由對數(shù)不等式lnxWx-l(x=l時等號成立)知-21nx22-2x,

①當xE+°°)時，f(x)=2xT-21nx22xT+2-2x=l；

②當x6(0>|］時，f(x)=l-2x-21nx>l-2x=3-2x+2-4x2l.

所以函數(shù)f(x)的最小值為1.

［答案］1

［失分剖析］考生對絕對值函數(shù)處理不到位或處理以后不會分析函數(shù)的

單調(diào)性.

16.(2021新高考全國II,14)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)

f(x)：.

①f(xix2)=f(X1)f(x2);②當xW(0,+8)時，f，(x)>0；③f'(x)是奇

函數(shù).

［試題情境］本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查函

數(shù)的構(gòu)造.

［必備知識］本題考查的知識是基本初等函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用.

［能力素養(yǎng)］本題考查創(chuàng)新能力和邏輯思維能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理

性思維和數(shù)學(xué)探索.本題是開放題，以函數(shù)的基本性質(zhì)為基礎(chǔ)，考生可

以從簡單的條件入手，如性質(zhì)②，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義易知f(x)在(0,

+8)上是增函數(shù)；性質(zhì)③比較直接；性質(zhì)①類比所學(xué)過的公式

(ab)"=a"b",結(jié)果就呼之欲出了.開放題的核心是培養(yǎng)考生獨立思考和

創(chuàng)新的意識.

［解題思路］當f(X)=x2時，f(X］X2)=(X］X2)2=X1X2=f(Xi)f(X2)；

當xe(0,+8)時,f'(x)=2x>o,f'(x)=2x是奇函數(shù).符合題目要求.本題

屬于開放性問題，答案不唯一.

［答案］f(x)=x2(答案不唯一)

［失分剖析］考生對性質(zhì)①的處理有所欠缺，不能類比備考中出現(xiàn)過的

條件f(xi+x2)=f(X1)?f(X2)與f(xix2)=f(x

1)+f(x2)遷移到黑函數(shù)上.

17.(2019全國II,理14)已知f(x)是奇函數(shù)，且當x<0時，f(x)=-e、

.若f(ln2)=8,則2=.

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以抽象函數(shù)為載體，考查對數(shù)

運算問題.

［必備知識］本題考查的知識是借助函數(shù)奇偶性及特殊點的函數(shù)值來確

定函數(shù)的解析式中的參數(shù).

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生借助條件f(In2)=8得到已知區(qū)間內(nèi)函數(shù)的

解析式，運用奇偶性的概念和幾何意義，轉(zhuǎn)化出未知區(qū)間的函數(shù)解析

式.本題還整合了函數(shù)的基本性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì).考生需綜合應(yīng)用

所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題.

［解題思路］：In2G(0,1),f(In2)=8,f(x)是奇函數(shù)，.?.f(Tn2)=-8.V

當x<0時，044f

(x)=—eM,/./(—In2)=—2=—8,e-,,ln2=8,—aln2=In8,—a=3,.**a=-

［答案］-3

［失分剖析］考生在函數(shù)解析式中的運算求解環(huán)節(jié)易出錯.

考向（二）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與原函

數(shù)

1.（2021全國甲，理4、文6）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力

情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),

五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視

力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為

（1V10?1.259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

［試題情境］本題屬于生活實踐情境.本題以特殊函數(shù)模型為載體，考查

考生利用數(shù)學(xué)模型解決實際生活中問題的能力.

［必備知識］本題考查的知識是了解數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動，要

求考生會結(jié)合社會普遍關(guān)注的問題，借助學(xué)過的對數(shù)與指數(shù)的互化知

識，運用數(shù)學(xué)思想建立模型解決實際問題.

［能力素養(yǎng)］本題考查運算求解能力、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力，

考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用.本題以青少年的視力為背景，

貼合實際，更是社會普遍關(guān)注的熱點問題.本題用對數(shù)模型L=5+lgV描

述了視力表中兩種不同記錄法之間的關(guān)系，要求考生運用指對運算的

知識解決生活實踐中遇到的問題，理解題意，把L=4.9代入L=5+lgV中,

解出lgV=-0.1,再利用指對互化，直接求解即可.

［解題思路］由題意L=5+lgV,當L=4.9時，有4.9=5+lgV,lgV=-0.1,V=

1_11no

IO01一廠［10］10~1.259~'

［答案］c

2.（2021全國乙，理12）設(shè)a=21nl.01,b=lnl.02,c=1,則（）

A.c>b>aB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

［試題情境］本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以對數(shù)值、根式為載體，考查

比較大小的問題.

［必備知識］本題考查的知識是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力和運算求解能力，

考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題首先要求考生根據(jù)函數(shù)

f(x)=lnx的單調(diào)性，得a>b,難點是與c的大小比較，需要考生選擇變

量，構(gòu)造函數(shù)f(x),g(x),通過求導(dǎo)，借助導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，判斷

函數(shù)的單調(diào)性，判斷出c與a,b的大小關(guān)系.

［解題思路］：a=ln1,Ol2=ln1,0201>ln1.02=b,.,.排除A,D.

令f(x)=ln(l4-x)—(“+2x—l),x>0,則f(0.02)=

lnl.02—(A/1.04-1)=b—c.

...F(x)=」2=

'IJ1+x2V1+2X(l+x)Vl+2x'

當x20時，1+x=J(1+x)2=V1+2x+x2>V1+2x,

.?.f'(x)W0,且f'(x)不恒為0.

?.f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，二f(0.02)

b—c<Ob<c.

令g(x)=21n(l4-x)-(“+4x-l),x>0貝!］g(0.01)=

21nl.01-(7L04-1)=a-C.

...1(x)=-4=2［亞府-(l+x?

?2I,1+x2V1+4X(l+x)Vl+4x'

當0Wx<2時，.x2W2xol+2x+x2Wl+2x+2x,即(1+x)2Wl+4x,

/.g'(x)20在區(qū)間(0.2)內(nèi)成立，且g'(x)不恒為0.

，g(x)在區(qū)間［0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，.?.g(0.01)>g(0)=0,即a-c>0,，a>c.

綜上可得,a>c>b..?.選B.

［答案］B

［失分剖析］考生不會構(gòu)造函數(shù)進行比較大小.

3.(2021新高考全國II,7)已知a=log52,b=log83,c=|,則下列判斷

正確的是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>b>a

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以對數(shù)為載體，考查對數(shù)比較

大小的問題.

［必備知識］本題考查的知識是對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)深索.考生以|為中間量對對數(shù)logs2和logs

3進行正確處理，即可解決.

［解題思路］思路1

?Va=logs2<log42=-y=c,6=logs3>log93==c,Ab>c>a.,,、生

思路2.a=log52<log5V5=|,b=log83>log8V8=故b〉c>a.

故選C.

［答案］C

［失分剖析］考生不能正確快速地運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性處理對數(shù).

4.(2020全國II,理11、文12)若-2"<3'x-3'",則()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0

C.In|x-y|>0D.Inx-y|<0.

［試題情境］本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以不等式為載體，考查函數(shù)值

與0比較大小問題.

［必備知識］本題考查的知識是函數(shù)的單調(diào)性和不等式的綜合應(yīng)用.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力和運算求解能力，

考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生把-2n<3-x-3-

'變形為2X-3-x<29-3-9,從不等式中獲取構(gòu)造函數(shù)

f(t)=2'-3-4的信息，建立函數(shù)模型，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合函數(shù)

f(t)=2<-)-3'(的單調(diào)性得到結(jié)論.

［解題思路］將不等式變形為-3-x<2y-39,根據(jù)

f(t)=2*-3-4的單調(diào)性知x以此去判斷各個選項中真數(shù)與1的大小關(guān)

系，進而得到結(jié)果.

V2a-29<3'z-3'9，,2a-3-z<29-3-9.

又f(t)=2'-3-1在R上單調(diào)遞增，且f(x)

/.y-x+l>l,/.ln(y-x+l)>ln1=0.故選A.

［答案］A［失分剖析］考生對于構(gòu)建新函數(shù)的觀察力不夠.

5.(2020全國m,理4、文4)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)

用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確

診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I。)=i+e石.黑W，

其中K為最大確診病例數(shù).當I(t*)=0.95K時，標志著已初步

遏制疫情，則t"約為(In19合3)()

A.60B.63C.66D.69

［試題情境］本題屬于生活實踐情境.本題以特殊函數(shù)模型為載體，考查

數(shù)學(xué)模型在生活實際中的應(yīng)用.

［必備知識］本題考查的知識是了解數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動，要

求考生會結(jié)合現(xiàn)實社會問題，運用數(shù)學(xué)思想建立模型解決實際問題.

［能力素養(yǎng)］本題考查運算求解能力、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力，

考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維、數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)應(yīng)用.本題以某地區(qū)新冠

肺炎累計確診病例數(shù)為現(xiàn)實背景，與現(xiàn)實生活緊密相關(guān).本題要求考生

綜合學(xué)到的知識解決生活實踐中遇到的問題，運用題干提供的信息

I(t*)=0.95K借助函數(shù)模型I(t)=--荔e進行計算求解.

?J.Au.4nliooy

［解題思路］由I(t*)=廣島』=0.95K,得e-023(t*-53)=9

兩邊取以e為底

對數(shù)，得-0.23(t*-53)=-lnl9r-3/*。66.故選C

［失分剖析］考生對于數(shù)學(xué)中的近似解運算理解不到位.

6.(2020全國III,理12)已55<84,134<85.設(shè)a=logD3,b=

loglZl5,c=login口8,則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以指數(shù)和對數(shù)為載體，考查對

數(shù)比較大小問

［必備知識］本題考查的知識是對數(shù)式與指數(shù)式的互化.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和探索.思路L要求考生能根據(jù)指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，在正

確運算、變形和處理后，利用對與1的大小進行比較，得到結(jié)果；思路

2.由于a,b,c都是正數(shù)，考生采用作商法并結(jié)合基等式得到a與b的大

小，再利用中間值(比較b與c的大小.

［解題思路］思路1.利用指數(shù)化對數(shù)與1比較大小.

44Q44

；Wa="rl°g53=log5334=log】2581Vl,；?aV7.〈a6=wlog85=log835'=logsi26：

004JJ

a654.

1,.,.6>4，V55<84,.?.%=+log85=log8<55<1,

444D

7134<85，:.%5=y5log8=log*85>1,.\c>4得..

TtTT1313D

思路2.由題意可得a,b,ce(0,1),利用作商法以及基本不等式可得

出a,b的大小再比較b,c與，的大小即可得到結(jié)果.

由題意可知a,b

C<

LU，-，6l0g85lg5lg5(iT5FI2)

b54

由b=log85,得8=5,由5<8，.得85b<84，,5b<4,

即b<i；

由c=log［JD8,得13°=8,由134<85,得134<135c,?.

5c>4,即c>g.綜上所述,a故選A.

［答案］A

［失分剖析］①考生對于指數(shù)與對數(shù)的運算不熟練.②考生不能利用1,

g等特殊值比較大小.

7.（2020全國HI,文10）設(shè)a=log32,b=log53,c=最則（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以對數(shù)為載體，考查對數(shù)比較

大小的問題.

［必備知識］本題考查的知識是對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題對考生對數(shù)運算的掌握要求較高.思路L

對數(shù)|a,|b進行正確運算、變形和處理，即|a=

33

|log32=log32=log98,|b=|log53=logs23=log2527,再與數(shù)

字1進行比較分析得到結(jié)果.思路2.直接對對數(shù)a,b運用所學(xué)公式進行

處理，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.

3

［解題思路］思路1.|a=|log32=log32=

2

3>-又<C<

"|b=|log53=logs2=log2527>1,--.b3

b.故選A.

思路2

11911o

i.a=-z-log23<-z-log39=-z-=c,fe=—log33>—log25=—=c,Aa<Cc<6.

O03O0O5o5

選A.

［答案］A

［失分剖析］①考生對于對數(shù)的運算和性質(zhì)掌握不熟練.②考生不能通過

特殊值轉(zhuǎn)化比較大小.

8.（2020新高考全國I,6）基本再生數(shù)R。與世代間隔T是新冠肺炎的流

行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔

指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用

指數(shù)模型I（t）=e「'描述累計感染病例數(shù)I（t）隨時間t（單位：天）

的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R。，T近似滿足Ro=l+rT.有

學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出Ro=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始

階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為（ln2心669）（）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5

天［試題情境］本題屬于生活實踐情境.本題以函數(shù)為載體，新冠肺炎疫

情為背景考查指對運算.

［必備知識］本題考查的知識是數(shù)學(xué)建模，運用數(shù)學(xué)思想建立模型解決

實際問題.

［能力素養(yǎng)］本題考查運算求解能力、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力，

考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用.本題以新冠肺炎疫情為背景，

貼合實際，引起思考.本題用指數(shù)模型I（t）=e"描述累計感染病例數(shù)的

實際問題，要求考生綜合數(shù)學(xué)的知識解決生活實踐中遇到的問題，運

用題干提供的運算公式Ro=l+rT求出參數(shù)r的值，得到確定

的函數(shù)模型進行計算求解，考查考生的估算能力.

［解題思路］由Ro=3.28,T=6,Ro=l+rT得3.28=1+6r,Ar=—=

6

0.38,

...I（t）=e°38t=2,即0.38t=ln2,0.38t70.69,??.t?翳v1.8（天），

故選B.

［答案］B

［失分剖析］考生不能從生活情境中抽象概括出相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.

0203

9.（2019全國I,理3、文3）已知a=log20.2,b=2,c=O.2,則

（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<

c<a［試題情境］本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以基本初等函數(shù)為載體，

考查比較數(shù)的大小.

［必備知識］本題考查的知識是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì).

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力與運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助

特殊的函數(shù)值0,1進行比較分析，得到結(jié)果.

［解題思路］運用基本初等函數(shù)的性質(zhì)進行判斷.???a=log20.2<0,b=

2。.2>2°=1,

又0<c=O.203<0,2°<1,,--a<c<b.故選B.

［答案］B

［失分剖析］考生想不到通過0,1等特殊值比較大小.

考向（三）函數(shù)與方程

1.（2020全國I,理12）若2a+log2a=4b+21og4b,貝M）

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

［試題情境］本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為載體,

考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題.

［必備知識］本題考查的知識是利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合變形

運算比較大小.

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)

是理性思維和數(shù)學(xué)探索。本題題干中給出的是等式，但結(jié)果需要不等

b

式,這就要求考生把等式2a+log2a=4+21og4b處

a2

理成不等式2+log2a<2b+l0g22b,從而構(gòu)造新函數(shù)

x

f(x)=2+log2x,并判斷函數(shù)單調(diào)性，建立條件(函數(shù))與結(jié)論(不等關(guān)

系)間的聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上歸納得到結(jié)論.

［解題思路］通過觀察引入新f(