高中數(shù)學必修第二冊立體幾何解答題練習（含解析）

【新教材】高中數(shù)學必修第二冊立體幾何解答題練習

1.如圖，在三棱柱A8C-A|8C］中，BiCi±CCi，點、E,尸分別是BC,4由的中點，平面

4CiC4_L平面BCC\B\.

(1)求證：BiCi-LAiC；

(2)求證：所〃平面4CCA.

4

2.如圖所示，在四棱錐中，8C//平面F4D,BC=-AD,E是PD的中點.

2

(1)求證：BC//AD；

(2)若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點N,使MN//平面以8?說明理

由.

3.在如圖所示的幾何體中，四邊形A88是菱形，N84￡>=120。，A￡_L平面AHC￡),

AE//CF.

(1)求證：。尸〃平面ABE；

(2)若4)=AE=2Cr=2,求該幾何體的表面積.

4.如圖，直三棱柱A8C-A耳G中，D,E分別是AB,Bg的中點

(I)證明：8。1//平面48；

(II)A4,=AC=CB=2,AB=2五,求三棱錐C-A.OE的體積.

5.如圖，A4,是圓柱的一條母線，是圓柱的底面直徑，C在圓柱下底面圓周上，M是

線段AC的中點.已知/V\=AC=4,8c=3.

(1)求圓柱的側(cè)面積；

(2)求證：BC±AM.

6.在如圖所示的多面體中，A4CD是正方形，A,D,E,尸四點共面，4/"面CDE.

(1)求證：〃面CDE：

(2)若AD=OE=3,AF=[,EF=岳,求證：AD_L平面CDE.

7.如圖，四棱錐中，底面A5C￡＞為平行四邊形，ZADC=45°,AD=AC=2,

O為AC的中點，尸OJL平面AB8，PO-2,”為叨的中點，

(1)證明：AO_L平面小C;

(2)求直線AW與平面A48所成角的正弦值.

8.如圖1,在直角梯形A8CD中，ZADC=90°,CD"AB,AB=4,AD=CD=2,M為

線段9的中點.將AADC沿AC折起，使平面ADCJ■平面ABC，得到幾何體D-ABC，

如圖2所示.

(I)求證：BC_L平面A8;

(II)求二面角A-CD-M的余弦值.

圖2

9.如圖，在四棱錐P-ABC。中，AB//CD,A8_L平面%。，PA=AD=DC=2AB=4,PD

=2由，M是PC的中點.

(1)證明：平面平面PCD：

(2)求三棱錐的體積.

10.如圖，矩形ADE"與梯形A88所在的平面互相垂直，AD±CD,AB//CD,

AB=AD=2,C/J=4,ED=141,M為CE的中點，N為CD中點.

(1)求證：平面8MN//平面4)即；

(2)求證：平面BCE_L平面比)E；

(3)求點。到平面跳C的距離.

底面邊長為4,側(cè)棱長為￥〃，。是棱AG的

II.如圖所示，在正三棱柱ABC-AB|G中,

中點.

(I)求證：BG〃平面4同。；

(II)求二面角A-A4-0的大小.

12.如圖，四棱錐中，24J_平面48a＞，四邊形48a＞是矩形，E,尸分別是A8,

9的中點.若/＜4=4)=3,CD=y/b.

(1)求證：A產(chǎn)〃平面PCE；

(2)求直線尸C平面PCE所成角的正弦值.

【新教材】高中數(shù)學必修第二冊立體幾何解答題練習

參考答案與試題解析

一.解答題(共12小題)

1.如圖，在三棱柱ABC-4BiCi中，fiiCilCCi，點E,尸分別是BC,AiBi的中點，平面

4。1。4_1_平面8。。81.

(1)求證：BiCi±AiC：

(2)求證：所〃平面4GCA.

【解答】證明：(1)因為阮1i_LGC,又平面A]CCA_L平面5CG8],

且平面ACiCAG平面BCC\Bi=CiC,

所以5Ci_L平面ACCMi.

又因為ACu平面AiCiCA,

所以BCiLAiC.

(2)取4G中點G,連尸G,連GC,如圖所示：

在△A181C中，因為凡G分別是AiBi，4。中點,

所以尸G〃與G，且FG=28Ci.

2

在平行四邊形中，因為E是8c的中點，

所以EC〃8Ci，且EC=23Ci.

2

所以EC〃尸G,且EC=FG.

所以四邊形尸ECG是平行四邊形.

所以尸E〃GC.

又因為平面4GC4，GC=平面AiCCA,

所以EF〃平面ACiCA.

2.如圖所示，在四棱錐2-旗6中，AC//平面Q4￡>,BC=-AD，石是尸。的中點.

2

(1)求證：BC//AD；

(2)若M是線段CE上一動點，則線段4)上是否存在點N,使MN〃平面RS?說明理

由.

【解答】證明：(1)在四棱錐尸-458中，8C//平面也>,8Cu平面

平面ABCDC平面PAD=AD,

..BC//AD,

(2)線段4)存在點N,使得MV〃平面RU?,理由如下：

取AD中點N,連接CV,EN,

?：E,N分別為尸￡),AD的中點，

:.ENMPA,

???0VC平面Q48,PAu平面P48,

.?.EN//平面

又CE〃平面%CEnEN=E,

二平面CEN〃平面RW,

是CE上的動點，MNu平面CEN,

.?.M/V//平面

.?.線段")存在點N,使得平面RW.

3.在如圖所示的幾何體中，四邊形A8C￡>是菱形，ZE4D=I2O°,AE_L平面A8CD,

AE//CF.

(1)求證：。尸〃平面A6E；

(2)AD=AE=2CF=2,求該幾何體的表面積.

【解答】解：(1)證明：因為A￡//C尸，bU平面ABE,

所以C/〃平面45E,

因為四邊形ABCD是菱形，

所以CD/MB，

由于COU平面ABE，

所以CD〃平面ABE,

又

所以平面C0F//平面ABE,

又O/u平面CDF,

所以。尸//平面A8E.

(2)由他〃C尸，知A,C,F,E四點共面，

連接4C,于是該幾何體是由兩個相同的四棱錐8-AC莊，￡)-AC7話構(gòu)成的，

x

由題意知，=ix2x2=2,SMfiC=ix2x2xsin600=>/5>^^BCF=2x1=1,

在ABE/中，EF=yf5,BE=2&,B/=石，='x2夜xg=",

csDcr2

所以該幾何體的表面積為2X（SMBK+SM腕+S醞F+%杯）=6+26+2卡.

4.如圖，直三棱柱A8C-A4G中，D,E分別是AB,8g的中點

(I)證明：8。1//平面48;

(II)A4,=AC=CB=2,AB=2五,求三棱錐C-4?！辏旱捏w積.

【解答】解：(I)證明：連接AG交AC于點尸，則戶為AG的中點.

?.?直棱柱ABC—AgG中，D,E分別是A8,8旦的中點，故DF為三角形48G的中位線,

故DFIIBC、.

由于o/u平面A。。，而BG不在平面A。。中，故有8G〃平面ACD.

（II）0.eA4,=AC-CB=2?AB=2>/2>故此直三棱柱的底面ABC為等腰直角二角形.

由。為AB的中點可得C0_L平面.\CD=AQBC=y/2.

2

??4。=/41T+AD=瓜,同理，利用勾股定理求得OE=G,AE=3.

再由勾股定理可得4。2+。E2=4七2,.4。_1?！?

13J7

.凡班=火力七=苛，

二%-AZJE=§卜ADE=1?

5.如圖，A4,是圓柱的一條母線，是圓柱的底面直徑，C在圓柱下底面圓周上，M是

線段A。的中點.已知M=AC=4,BC=3.

（1）求圓柱的側(cè)面積；

（2）求證：BC1AM.

【解答】解：（1）由題意可得AC=4,BC=3,L=A4,=4,

所以在RtAABC中，AB=JAC：+BC?=+32=5,

所以底面半徑r=,48=2,

22

所以圓柱的側(cè)面積S=2;zrL=24x9x4=20;?.

2

(2)證明：由題意可得4C_LAC,

又因為圖為圓柱，可得底面相。，

因為3Cu底面A8C,

所以_LA4,,

因為BC_LAC,JL/ACQ/U,=A：

所以8CJ_A4C4,,

又AMuAACV

所以3C_LAM.

6.在如圖所示的多面體中，ABCD是正方形，A,D,E,尸四點共面，A尸〃面8E.

(1)求證：BF//而CDE；

(2)若4O=OE=3,AF=1,EF=屈,求證：AO_L平面CDE.

【解答】證明：(1)因為是正方形，所以AB//CD,

又A50面C/JK,C"u面CZ9K,所以A8〃面C7龍;，

因為AF//面CDE,AF^\AB=A,AF,ABu平面AB/，

所以面AW7〃面C￡>E,

又BFu面ABF,所以BF//面CDE.

(2)在平面AD￡F中，作尸G//AQ交。E于點G,

因為AF〃面COE,A尸u平面4)石尸，平面4)“'C平面a)E=OE,

所以A尸〃OE,又/G//AZ),

所以四邊形ADGF為平行四邊形，

所以￡>G=AF=1,FG=AD=3,EG=DE-DG=2,

因為6尸=而，所以E尸2=尸62+水>,

所以NFGE=90。，所以尸G_LDE,

所以AO_L￡>E,又4D_L￡)C,

DE^]DC=D,DE,OCu平面COE,

所以4D_L平面C￡)E.

7.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，NAZ>C=45。，AD=AC=2,

。為AC的中點，PO_L平面458,PO=2,M為?D的中點，

(1)證明：ADJ■平面H4C；

(2)求直線AW與平面ABCD所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：???NAZ)C=45。，且4)=AC=2,

/.zmc=9o°,即AD_LAC

又?.?PO_L平面ABCQ,AOu平面ABC￡>,

:.PO±AD,

又AC「|PO=O，

..AD_L平面ZAC

(2)解：/Q

取OO中點N,連接MN,AN

?.?M為即的中點，:.MNHPO,且MN=，PO=1,

???尸OJ_平面ABC。，」.MV，平面ABC。

/.ZMAN是直線AM與平面ABCD所成的角.

在RtADAO中，vAD=2,AO=\,ZmO=90°,，OO=6,

/.AN=-DO=—,

22

在RtAANM中，sinZAM7V=.MN=-,

\IMN2+AN23

即直線AM與平面ABC。所成角的正弦值為2.

3

8.如圖1,在直角梯形ABCD中，NA￡JC=90°,CDWAB,AB=4,AD=CD=2,M為

線段AB的中點.將AAOC沿AC折起，使平面AZ)CJ_平面ABC,得到幾何體。-ABC,

如圖2所示.

(I)求證：8C_L平面ACD；

(II)求二面角A-CD-M的余弦值.

AM

圖1AM

圖2

【解答】解：(I)在圖1中，可得AC=8C=2夜，從而AC?+86*2=A8?,故AC_L8c

取AC中點。連接OO,則。O_LAC,又面ADC_L面ABC,

面40CC面48C=AC,DOu面ACD,從而0。_1_平面A6C,(4分)

..OD1BC

又ACJ.BC,AC^\OD=O,

.?.5C_L平面4C￡>(6分)

另解：在圖1中，可得4C=8C=2夜，

從而ACBC、A3。故4CJ_BC

?.?面ADC_L面A5C，面ADEC面A3C=AC，BCu面ABC,從而3C_L平面48

(II)建立空間直角坐標系O-種如圖所示，

則M(0,立0),C(-V2,0,0),

D(0,0,X/2)CA7=(V2,>/2,0),

CD=(V2,0,5/2)(8分)

設(shè)百=(x,y,z)為面CDM的法向量，

則竹子。即歸十￡尸。,解得L

zx

ny-CD=0y/2x+V2z=0[~~

令x=—1,可得4=(一1,1,1)

又兀=(0,1,0)為面ACD的一個法向量

-------------%?n,1V3

cos<%,%>=-=r-=7-=-f==—

I〃iIIn21V33

二面角A—CD—M的余弦值為(12分)

3

9.如圖，在四棱錐P-ABC。中，AB//CD,A8_L平面%。，R\=AD=DC=2AB=4,PD

=2由，M是PC的中點.

(1)證明：平面ABM_L平面PCQ：

(2)求三棱錐的體積.

【解答】（1）證明：取PO的中點N,連接MN,AN,

'：PA=AD.：.ANLPDt

'：AB//CDtAB_L平面必。，

???。。_1_平面外。，：,CD±AN,

又PDRCD=D,PD、COu平面PC。，

：,ANI平面PCD.

：ANu平面ABM.

.?.平面ABM_L平面PCD.

⑵解：由（1）知，ANLPD,???AN=dRD2Gpi））2={42一（巾）2=3,

/M,N分別為尸C,尸。的中點，

:‘MN"CD"AB,

平面A8u平面布8,

〃平面PAB,

???三棱錐M-PAB的體積V=VN-PAB=Vn.PAN=^AB*^AN*PN=1X2XAx3XV?

3232

=V7-

10.如圖，矩形AD￡F與梯形ABC。所在的平面互相垂直，ADVCD,AB//CD,

AB=AD=2,CD=4,ED=2五,M為圓的中點，N為CD中點.

（1）求證：平面3AW//平面ADEF；

(2)求證：平面8CEJ■平面8QE；

(3)求點。到平面BEC的距離.

【解答】(1)證明：在A￡DC中，M,N分別為EC,QC的中點,

所以MN//ED,又OEu平面ADE/L且MNU平面4)￡尸，

所以MN〃平面4)所；

因為N為CE)中點.AB//CD,AB=2,CT)=4,

所以四邊形ABND為平行四邊形，所以BN//DA,

又。Au平面4無戶，且8V<t平面4無戶，

所以BN//平面AD所，

?：BNnMN=N,EN,MNu而BMN,

/.平面BMN〃平面ADEF；

(2)證明：在矩形4)瓦'中，EDYAD.又

因為平面ADE/7,平面且平面A￡)E/C平面ABCD=4),

所以ED_L平面A8C￡>.所以瓦>J_5C.

在直角梯形ABCD中，AB=AD=2,8=4,可得6C=20.

在MS中，BD=BC=2五,8=4,因為班f+8C?=8?,

所以8C_L3O.

因為8?！竱?！?。，所以BCJ■平面BOE.

因為BCu面8CE,所以平面BCEJ_平面比應(yīng)：

(3)設(shè)點。到平面8EC的距離為/?,

則%。=%3)，

，x4x2夜x』x〃」x2夜x2夜」x2夜，

3232

求得力=2.

11.如圖所示，在正三棱柱ABC-A4G中，底面邊長為。，側(cè)棱長為孝,。是棱AG的

中點.

（I）求證：8。1〃平面人與。：

（II）求二面角A-A線一。的大小.

【解答】解：（I）連接與A4交于E,則石為AB的中點,

?.?￡）為AG的中點，

:.DE為AABC1的中位線,

/.BCJ/DE.

又DEu平面ABQ,36《平面/14。，

/.BCJ/平面4瓦。

（H）過。作。尸_1_4用于尸，由正三棱柱的性質(zhì)可知，平面AS，連接所，DE,

在正△ABC中，

片。=