微專(zhuān)題講義：零點(diǎn)差問(wèn)題-解析版

零點(diǎn)差問(wèn)題有關(guān)兩個(gè)零點(diǎn)之和的取值問(wèn)題一般為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題或拐點(diǎn)偏移問(wèn)題，而有關(guān)兩個(gè)零點(diǎn)差的問(wèn)題則主要考查兩個(gè)零點(diǎn)之間的位置關(guān)系，即零點(diǎn)之間的距離.零點(diǎn)差問(wèn)題，基本思路有：(1)切線(xiàn)夾放縮；(2)割線(xiàn)夾放縮；(3)函數(shù)擬合放縮；(4)找點(diǎn)放縮.其中找點(diǎn)放縮的難度最大．如在天津卷就出現(xiàn)過(guò)切線(xiàn)放縮，一般這種提示比較明顯，往往是第一問(wèn)切割線(xiàn).【例1】已知fx=3x?x3，若關(guān)于x的方程fx=a有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；求證：x2?x1<2?【解析】(1)f'x=3?3x2=0，得x=±1.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.所以fx的最大值為f1=2．且f0=f(3)=0，所以a∈(0，2)，fx=a有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根.(2)由f'0=3，所以函數(shù)fx在x=0處的切線(xiàn)是gx=3x；f'(3)=?6，所以函數(shù)fx在x=3處的切線(xiàn)是?x=?6x+63.令φ(x)=f(x)?g(x)，則φ'(x)=f'(x)?g'(x)=?3x2?0，所以x>0時(shí)φ(x)<0，f(x)<g(x).令mx=fx??x，則m'x=f'x??'x=9?3x2.當(dāng)x<3時(shí)，m'(x)>0，m(x)<0，f(x)<?(x).令gx3=a，解得x3=；?x4=a，解得x4= 因?yàn)間(x3)=f(x1)<g(x1)，由gx單調(diào)遞增，知x3<x1；又由?(x4)=f(x2)<?(x2)，由?x單調(diào)遞減，知x4>x2.【點(diǎn)睛】本題題設(shè)中是關(guān)于x2?x1的取值問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般是轉(zhuǎn)化成x2'?x'1來(lái)解決，所以需要先找到一個(gè)函數(shù)gx滿(mǎn)足gx?fx恒成立，則gx=a得到x'1，這樣x'1?x1，同理構(gòu)造函數(shù)?x?fx，滿(mǎn)足?x=a得到x2'，從而x2?x2'，所以x2?x1?x2'?x'1，這是切線(xiàn)放縮；當(dāng)問(wèn)題變成a<x2?x1類(lèi)型時(shí)，則需要割線(xiàn)放縮.顯然由(1)可知0<x1<1<x2<3，題目求x2?x1的零點(diǎn)差的取值范圍，需要取點(diǎn)擬合切線(xiàn)，但一般較易的題目只需取幾個(gè)特殊點(diǎn)的切線(xiàn)即可，本題可先試試兩個(gè)零點(diǎn)，即(0，0)和(3，0)．需要說(shuō)明的是：用切線(xiàn)夾的方法來(lái)證明零點(diǎn)差問(wèn)題，必須進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)證明，不能“以圖代證”.【例2】已知函數(shù)fx=(x2?x)ex.(1)求y=fx在(1，f1)處的切線(xiàn)方程y=gx，并證明fx?gx；(2)若方程fx=m(m∈R)有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：|x1?x2|<+m+1.【解析】(1)gx=ex?e.設(shè)μx=fx?gx=(x2?x)ex?ex+e，μ'x=(x2+x?1)ex?e，所以μ'x在(?∞,?3)，(0，+∞)上是增函數(shù)，μ'x在(?3，0)上是減函數(shù)，所以μx?μ1=0，即fx?gx(2)因?yàn)閒'x=ex(x2+x?1)?fx在(0，0)處的切線(xiàn)方程為?x=?x，在(1，0)處的切線(xiàn)方程為φx=ex?e，下面判斷兩條切線(xiàn)是否在fx的下方.(i)由(1)知fx=(x2?x)ex=m在φx=ex?e的上方(ii)接下來(lái)證明：fx=(x2?x)ex=m在?x=?x上方設(shè)mx=fx??x=(x2?x)ex+x，m'x=(x2+x?1)ex+1，m''x=(x2+所以m'x在(0，+∞)為單調(diào)遞增，所以m'x?m'0=0，所以mx在(0，+∞)為增函數(shù)，所以mx?g0=0，所以當(dāng)x>0時(shí)，fx=(x2?x)ex=m在?x=?x的上方；如下圖：直線(xiàn)y=m與?x=?x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3=?m，直線(xiàn)y=m與φx=ex?e的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x4=+1，由圖可知|x1?x2|<x4?x3【點(diǎn)睛】切線(xiàn)夾法的一般步取如下：第一步：設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)，一般可考慮零點(diǎn)；第二步：根據(jù)切點(diǎn)求出兩條切線(xiàn)；第三步：求出兩條切線(xiàn)與y=m的兩個(gè)交點(diǎn)x3，x4，所以x2?x1?x4?x3.【例3】已知函數(shù)fx=xlnx.(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；(2)若a??2，證明：fx?ax?e?3在(0，+∞)上恒成立；(3)若方程f(x)=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2，求證：be+1<x2?x1<.【解析】(1)f(x的定義域?yàn)?0，+∞)，f'x=1+lnx，當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，所以gx在0上單調(diào)遞減，在+∞)上單調(diào)遞增.(2)fx?ax?e?3等價(jià)于fx??2x?e?3，只需證明xlnx+2x??e?3.令gx=xlnx+2x，則g'x=lnx+3，當(dāng)0<x<e?3時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x>e?3時(shí)，g'(x)>0，所以gx在(0，e?3)上單調(diào)遞減，在(e?3，+∞)上單調(diào)遞增，所以gxmin=ge?3=?e?3，故gx??e?3，所以fx?ax?e?3在(0，+∞)上恒成立.(3)首先，y=xlnx的圖象如下圖所示：先看左邊不等式，顯然是求割線(xiàn)夾，這兩條割線(xiàn)很容易得到，即為函數(shù)最低點(diǎn)(，?)與(0，0)及(1，0)的連線(xiàn)，即?x=?x與lx=(x?1).設(shè)兩割線(xiàn)與直線(xiàn)y=b交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4.解方程可得x3=?b，x4=(e?1)b+1，x4?x3=be+1.(此時(shí)還需要說(shuō)明x2?x1>x4?x3，但不能根據(jù)圖像直接說(shuō)明，不能以圖代證)當(dāng)x∈(0，)時(shí)，xlnx+x=(lnx+1)<0，f(x)<?(x)；m(1)=0，所以m(x)<0.?(x1)>f(x1)=?(x3)=l(x4)=f(x2)=b<l(x2)，所以根據(jù)單調(diào)性，可得：x1<x3，x4<x2，所以x2?x1>x4?x3>be?1，不等式左側(cè)證明完畢.下面來(lái)看不等式右側(cè)：比較明顯的切線(xiàn)夾，而且這兩條切線(xiàn)可以從給定的提示很快得到，分別是x=e?3和x=1時(shí)的兩條切線(xiàn)(詳細(xì)求法不再贅述).切線(xiàn)分別為y=?2x?e?3和y=x?1與y=b的交點(diǎn)分別為x5=?,x6=b+1.參考左側(cè)不等式的證明方法，可得x2?x1<x6?x5=證畢.綜上可知：be+1<x2?x1<【點(diǎn)睛】切線(xiàn)夾與割線(xiàn)夾是解決關(guān)于零點(diǎn)差問(wèn)題的常規(guī)方法，這種思路要熟練掌握.【例4】已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)記x1，x2.(1)求a的取值范圍；(2)證明：x1?x2>21?a.記g，則g'，所以gx在(-∞,1)單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，limx→?∞gx=?∞,g0=0，g1=1，limx→+∞gx=0，fx的零點(diǎn)即y=a與y=gx交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以a∈(0，1).(2)記?x=2x?x2，首先證明當(dāng)x>0時(shí)，gx??x.所以φ(x)在(0，1?ln2]單調(diào)遞增，(1?ln2，1)單調(diào)遞減，在(1，+∞)單調(diào)遞增．又φ(0)=0，φ(1)=0，所以當(dāng)x>0時(shí)，恒有φ(x)?0，取等條件是x=1.由(1)知0<x1<1<x2．記a=?x，即x2?2x+a=0的兩個(gè)根為x3，x4，于是?(x3)=a=g(x1)>?(x1)，?(x4)=a=g(x2)>?(x2).由于?x在(0，1)單調(diào)遞增，在(1，+∞)遞減，所以有x3>x1，x4<x2，所以|x2?x1|=x2?已知m∈R，函數(shù)f有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2．證明：x2?x1>2.【解析】解法1：令?m=0得此方程有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，令φ(x)=，則φ'(x)=，易得故φ(x)在(-∞,1)遞增，在(1，+∞)遞減，φ(0)=0，limx→+∞=0，故可得m∈(0，)，且x1，x2∈(0，+∞)，下面構(gòu)造gx?m.設(shè)gx?m=ax2+bx?m，則有x3+x4=?,x3x4=?,進(jìn)一步可得ix3?x4=+=21?em=4?4em，e則b=2e，所以gx?m=?x2+xe下證?m>gx?m，即證>?x2+x，點(diǎn)睛意到x1，x2∈(0，+∞)，且不等于1，故只需證明+x>．記?x=+x，則易知?x在(0，1)遞減，在(1，+∞)遞增，所以?x>?1=，所以x2?x1>x3?x4=解法2：二次函數(shù)擬合法令gx=?m，則g'x=，所以gx在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.依題意gx=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以m∈0，.x4?x3=21?em4不妨假設(shè)x4>x3，滿(mǎn)足：tx3+x4=2，x3x4=x3+x42?x3?x42=x4?x3=21?em4所以x3，x4是一元二次方程?x=x2?2x+em的兩不同零點(diǎn)，易知0<x3<1<x4，不妨假設(shè)x1<x2.要證：x2?x1>21?em，只要證x2?x1>x4?x3，只要證x2>x4，x3>x1.由于x1<1<x2，且當(dāng)x∈(x1，x2時(shí)gx)>0.故只要證：gx3>0，同理可證gx4>0.由?x3=x?2x3+em=0，得m=2x3?x，gx3)>0??m>0??2x3?x)>0?1+ex3?1x3?2>0．令rx=ex?1x?2+1(0<x<1)，則r'(x)=ex?1(x?2)+ex?1=ex?1(x?1)<0，所以r(x)>r(1)=0.證畢!【點(diǎn)睛1】構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)g(x)進(jìn)行整體放縮,并且g(x)?m=0的兩個(gè)根x3,x4剛好滿(mǎn)足x3?x4=21?em,接下來(lái)只要論證?m>g(x)?m即可.具體的g(x)得出可借助待定系數(shù)法.【點(diǎn)睛2】觀察證明的目標(biāo)右側(cè),形似二次方程中兩根之差的,故嘗試二次擬合.【點(diǎn)睛3】含參函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x1,x2,證明x1?x2>X(其中X為根式).點(diǎn)睛意到目標(biāo)結(jié)構(gòu)有“根式”,零點(diǎn)差問(wèn)題一般回歸二次函數(shù)進(jìn)行證明.首先通過(guò)x1+x2>(<)2x0(標(biāo)準(zhǔn)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題可證),以及目標(biāo)ix2?x1i>(<)X,得出“二次方程”.即則x3x4=,則對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=x2?x3+x4x+.下面可轉(zhuǎn)化為證明:fx3>0,fx4>0.一般通過(guò)構(gòu)造函數(shù)或者放縮來(lái)證明.【例6】已知函數(shù)f(x)=(mx?m?1)lnx+x?.(1)當(dāng)m=0時(shí),求f(x)的最值;(2)當(dāng)m>0時(shí),若f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2(x1<x2),證明:x2?x1<e?.【解析】(1)當(dāng)m=0時(shí),f(x)=?lnx+x?,f'(x)=?+1=.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.f(x)min=f(1)=1?.(2)當(dāng)m>0時(shí),f'(x)=mlnx+(mx?m?1)+1=mlnx?+1)+.令g(x)=m(lnx+1?+1?,g'(x)=m++>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閤>1時(shí),g(x)>g(1)=0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)<g(1)=0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)min=f(1)=1?<0.所以x1<1<x2.因?yàn)閒(e)=(me?m?1)lne+e?=m(e?1所以f(e)>fx2,而f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以x2<e.因?yàn)閒=m?m?1)ln+?=m1?+1?>0=fx1.所以f>fx1),而f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以<x1,即x1>.綜上所述,<x1<1<x2<e,所以x2?x1<e?.【例7】已知函數(shù)f(x)=+alnx(a∈R).(1)討論函數(shù)y=a的單調(diào)性;(2)若A,B是x1,x2(x1<x2)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:2aln(x2?x1++1<0.【解析】(1),+∞)的定義域?yàn)閒()=?,且f'(x)=?2x?3+=.(1)當(dāng)a?0時(shí),f'(x)?0,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為f(x);(2)當(dāng)x=e?3時(shí),由f'(x)>0得l1:y=?2x?e?3,故l2:y=x?1的單調(diào)遞增區(qū)間為y=a,單a.調(diào)遞減區(qū)間為a.(2)因?yàn)閒(x)有兩個(gè)零點(diǎn),所以由(1)知l2且x'1,x1,x2,x2',所以a>2e.要證原不等式成立,ea只需證明lnx2?x1+ea2a,只需證明x2?x1<e??,a<x2只需證明<a<x21,,<一方面:因?yàn)閍< 11111 111112+alne?2a2fe?fe?2a所以f<0,且f(x)在x1,x2,單調(diào)遞增,a,,另一方面,令g(x)=ln1ex?1=exex.則g1ex?1=exex.時(shí),g'(x)<0;時(shí),g'(x)<0;時(shí),g'(x)>時(shí),g'(x)>0;=?1+1=?1+1=0,故g(x)?0即lnx??在x∈(0,+∞)恒成立,eaa,則lnaa,則lnaae+aln,于是feeeaaaaaaaa2lna<0,故ffaa單調(diào)遞減,故.,即原不等式成立.,即原不等式成立.ax2?2(x>0),分a?0和a>0兩種情況討論ax2?2(x>0),分a?0和a>0兩種情況討論=x3a<0,即a<0,即a>2e,利用分析法,將需要證明的不等式11e,只需要證明,利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)e,只需要證明,利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)a1,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性證明.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求1,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性證明.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性好不等式證明,重點(diǎn)考查了構(gòu)造函數(shù)和討論的思想,屬于難題,本題的難點(diǎn)是再aa>0時(shí),需要構(gòu)造函數(shù)=lnx+并且證明不等式時(shí),經(jīng)常使用分析法轉(zhuǎn)化.【例8】已知函數(shù)?lnx+x?2a,a∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2.(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;證明:x2?x1當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.(2)(i)由(1)可知,f(1)<0,e+1?2a<0,所以a>;(但此時(shí)并不能保證函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),需要繼續(xù)進(jìn)行取“點(diǎn)”,以方便使用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的存在性)所以?'(t)單調(diào)遞增,所以?'(t)>?'(e+1)>0,所以?(t)單調(diào)遞增,所以?(t)>0,因?yàn)?(e+1)=ee+2?e?1>0,所以g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增.又因?yàn)間(e+1)>g(e)=ee?1?1>0,所以f(2a)>0,所以x2<2a;設(shè)φ(x)=lnx?x+1(x>0),φ'(x當(dāng)0<x<1時(shí),φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),φ'(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減.所以φ(x)max=φ(1)=0,所以lnx?x?1,所以x1>,所以ix2?x1i<.【點(diǎn)睛】取“點(diǎn)”不好取,本質(zhì)上就是不等式不好解,但由于這樣的“點(diǎn)”有無(wú)窮多個(gè),我們只需要找到其中的一部分,所以我們可以適當(dāng)?shù)赝艘徊?放縮一下,將不容易求解的不等式轉(zhuǎn)化為容易求解的不等式.但需要點(diǎn)睛意的是,取“點(diǎn)”實(shí)質(zhì)上是對(duì)函數(shù)階的考量,所以放縮不能改變函數(shù)整體的相對(duì)變化趨勢(shì)(極限),具體如何放縮取決于函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu).雖然上面我們給出了四種不同的處理手段,但關(guān)于零點(diǎn)差的問(wèn)題,切線(xiàn)夾與割線(xiàn)夾放縮法是最常用的放縮手段.1.已知函數(shù)=xlnx?(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,且x1<x2.證明:x2?x1<【解析】(1)略;因?yàn)閤>0,顯然當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得極小值g(x)min=g(1)=e+1?2a.g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則有g(shù)(x)min<0,得2a>e+1.再觀察待求證的結(jié)論:x2?x1<=2a?這樣普通的零點(diǎn)差,我們可以大膽嘗試證明:x2<2a,x1>首先證明x2<2a,只需證明0=gx2<g(2a),如下圖:(這里用到了常用放縮ex?x+1和lnx?x?1,證明其中之一即可)接下來(lái)證明x1>,只需證明11=(2a?1)e2a?1?(2a?1)12.已知函數(shù)f(x)=(x+1)(ex?1).(1)求f(x)在點(diǎn)(?1,f(?1))處的切線(xiàn)方程;(2)若a?e?1,證明:f(x)?alnx+2ex?2在x∈[1,+∞)上恒成立;(3)若方程f(x)=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1<x2,證明:x2?x1?1+所以f(x)在(?1,f(?1))處的切線(xiàn)方程為(2)當(dāng)x?1,a?e?1時(shí),alnx?(e?1)lnx,故只需證f(x)?(e?1)lnx+2ex?2.又由ex?ex,以及l(fā)nx?x?1,可知當(dāng)x?1時(shí),f(x)?(x+1)(ex?1)=ex2+(e?1)x?1,故只需證明ex2+(e?1)x?1?(3e?1)x?e?1,整理得e(x?1)2?0,顯然成立,從而原不等式得證.(3)記f'(x)的零點(diǎn)為x0,則?1<x0<0,故f(x)在(?∞,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增(畫(huà)出草圖如下):由此可知x1<x0<x2.將(1)中的切線(xiàn)方程記為點(diǎn)睛意到f(x)?g(x)=(x+1)(ex?e?1)?0,所以f(x)?g(x).記方程b=g(x)的解為x3,即gx3=b,x3=?1,故有g(shù)x1?fx1)=b=gx3.點(diǎn)睛意到g(x)單調(diào)遞減,故有x1?x3=另一方面,由(2)可知f(x)??(x)=(3e?1)x?e?1.記?(x)=b的解為x4,即?x4=b,x4=.所以?x2?fx2=b=?x4.點(diǎn)睛意到?(x)單調(diào)遞增,所以x2?x4=.所以x2?x1?x4?x3=1++.3.已知函數(shù)f(x)=.(1)求函數(shù)的零點(diǎn)x0,以及曲線(xiàn)y=f(x)在x=x0處的切線(xiàn)方程;(2)設(shè)f(x)=m(m>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:x1?x2<2?m【解析】(1)x0=±1,在x0=1處的切線(xiàn)方程為y=?(x?1),在x0=?1處的切線(xiàn)方程為y=2e(x+1);(2)證明:f'(x)=.當(dāng)x∈(1?2,1+2)時(shí),f'(x)<0. .所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,1?2),(1+2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1?2,1+ 2).顯然知,當(dāng)x<?1時(shí),f(x)<0;當(dāng)?1<x<1時(shí),f(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0.因?yàn)閒(x)=m(m>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,不妨設(shè)x1<x2,則?1<x1<1?2<x2<1.F(x)=f(x)?g(x),下面證明當(dāng)x∈(?1,1)時(shí),g(x)>f(x).上式顯然成立,所以g(x)>f(x).令y=2e(x+1)=m,得x=?1,m.記x'1=?1,則x1?x2<x'1?x2=x2?x'1=x2?m. ,要證x1?x2<2 ,m m ,即證x2?1?m.因?yàn)?所以只要證x2?1?即(x2?1)(ex2?x2?1)?0.因?yàn)閤2∈(1?2,1),即證ex2?x2?1?0.當(dāng)x∈(1?2,0)時(shí),φ'(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增,所以φ(x)?φ(0)=0,所以ex2?x2?1?0. .所以x1?x2<2 .4.已知函數(shù)f(x)=(x?e)lnx,令方程f(x)=t有兩個(gè)不同的根x1,x2,且滿(mǎn)足x2<x1,求【解析】由f'(x)=lnx+=lnx+1?,顯然f'(x)單調(diào)遞增,又因?yàn)閒'(1)=1?e<0,f'(e)=1>0,所以在在1與e之間,存在唯一x0,使得f'x0=0.所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(1)=0,f(e)=0.根據(jù)題意,畫(huà)圖如圖所示:(1)設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處的切線(xiàn)為l1,f'(1)=1?e.直線(xiàn)l1的直線(xiàn)方程:y=(1?e)(x?1),令y=t,解得x3=+1;(2)設(shè)函數(shù)f(x)在x=e處的切線(xiàn)為l2,f'(e)=1.直線(xiàn)l2的直線(xiàn)方程:y=x?e,令y=t,解得x4=e+t.5.已知函數(shù)f(x)=3x?ex+1.(1)設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為p,曲線(xiàn)在點(diǎn)p處的切線(xiàn)方程為直線(xiàn)l.求證:曲線(xiàn)y=f(x)上的點(diǎn)都不在直線(xiàn)l的上方;(2)若關(guān)于x的方程f(x)=m(m>0)有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2(x1<x2),求證:x2?x1<2?.【解析】解法1:切線(xiàn)夾法則設(shè)切點(diǎn)p(x0,3x0?ex0+1),k=f'x0=3?ex0,所以切線(xiàn)為y=(3?ex0)(x?x0)+3x0?ex0+1,設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x01,x02,則x01=0,x02=ln8,則x3=,x4=+ln8.證畢.解法2:用兩個(gè)零點(diǎn)作為切點(diǎn),但是右零點(diǎn)設(shè)為x0,因?yàn)閤0∈(ln3,2),再利用單調(diào)性進(jìn)行放縮可證;原理也是切線(xiàn)夾的思想;由f(x)=3x?ex+1,f'(x)=3?ex,令f'(x)=0?x=ln3為極大值點(diǎn),如下圖,過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)為g(x)=2x,設(shè)B(x0,0),所以過(guò)B(x0,0)的切線(xiàn)為?(x)=(3?ex0)(x?x0),聯(lián)立,?ex0x?x0,,x4=+x0,又因?yàn)?此處證明兩條切線(xiàn)在函數(shù)圖象的上方省略)所以x2?x1<x4?x3=+x0?,因?yàn)閒設(shè)上單調(diào)遞增,又因?yàn)閑2>8,所以μ,證畢.解法3:二次函數(shù)擬合法設(shè)二次函數(shù)y=ax,令ax=m?x2?2x?現(xiàn)在只要證明x4?x3=只要不妨取,?x2?2x+的兩個(gè)根為x3,x4,又因?yàn)閙∈(0,3ln3?2),所以x4?x3=,證畢.【點(diǎn)睛】切線(xiàn)夾法的難點(diǎn)是找出兩個(gè)切點(diǎn),可以利用m的的系數(shù)來(lái)確定兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo),或者是從零點(diǎn)處考慮.6.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx?Clnx,其中a,b,C∈R.(1)當(dāng)a?0,C=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)已知a>0,b=?2,C=2,且函數(shù)f(x)有零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),求證:對(duì)任意的正實(shí)數(shù)M,都存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a,使得x2?x1>M成立.【解析】(1)當(dāng)a?0,C=1時(shí),f(x)=ax2+bx?lnx,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).f'(x)=2ax+令f'(x)?0,即2ax2+bx?1?0.(1)當(dāng)a>0時(shí),Δ=b2+8a>0.設(shè)2ax2+bx?1=0的根x1=,x2=則x1<0,x2>0,解得x?x2或x?x1(舍).所以f(x)在0,上是減函數(shù),在上是增函數(shù).(2)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=bx?lnx,f'(x)=b?(x>0)(i)若b?0,則f'(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,無(wú)增區(qū)間;(ii)若b>0,由f'(x)>0解得x>,由f'(x)<0解得0<x<,所以f(x)在0,上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是?b+b2+8a4a,+∞,減區(qū)間是0,當(dāng)a=0時(shí),若b?0,f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,+∞),無(wú)增區(qū)間;若b>0,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是,+∞),減區(qū)間是0,.(2)證明:因?yàn)閎=?2,C=2,所以f(x)=ax2?2lnx?2x,則f'(x)=.因?yàn)閍>0,所以所以方程ax2?x?1=0在(0,+∞)上有唯一的實(shí)數(shù)根,記為x0.所以ax?x0?1=0,則a=(?)且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn),所以fx0<0,即ax?2lnx0?2x0<0,將（*）代入,得2lnx0+x0?1>0.顯然,x0>1,則a∈(0,2).1e取x=<1,則f1e另取x=e2x0>x0>1,則f(e2x0)=a(e2x0)2?2ln(e2x0)?2e2x0=(e4?2e2)x0?2lnx0+e4?4.令gx0=(e4?2e2)x0?2lnx0+e4?4(x0>1),所以g'x0=e4?2e2?>0,則函數(shù)gx0單調(diào)遞增,所以gx0所以對(duì)于所以當(dāng)a∈>g(1)=2e4?2e2?4>0,即f(e2x0)>0,<1<x0<e2x0,f1e>0,fx0<0,f(e2x0)>0,(0,2)時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).因?yàn)閒(1)=a?2<0,f1e1e下證:對(duì)任意M>0,都存在a∈(0,2),使得x2?1>M.因?yàn)閤2>x0>,對(duì)任意的M>0,令a=∈(0,2),即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)M,都存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a,使得x2?x1>M.7.已知函數(shù)f(x)=+lnx?x,其中e=2.71828?是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若曲線(xiàn)y=f(x)與直線(xiàn)y=a有交點(diǎn),求a的最小值;(2)(i)設(shè)φ(x)=x+,問(wèn):是否存在最大整數(shù)k,使得對(duì)任意正數(shù)x都有f(x)?f(1)?[φ(x)?φ(1)]成立?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(ii)若曲線(xiàn)y=f(x)與直線(xiàn)y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,求證:|AB|<2【解析】f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=(ex?x).點(diǎn)睛意到ex?x?1>0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以a?f(1)=e?1從而實(shí)數(shù)a的最小值為e?1.(2)(1)首先令x=,得f112?f(1)?所以k?1是必要的.下面證明k=1可以取到:令?(x)=f(x)?f(1)?[φ(x)?φ(1)],則?(x)=+lnx??+2?e,其導(dǎo)函數(shù)為?'(x)=ex?,