向量法解決立體幾何中的夾角問題

向量法解決立體幾何夾角問題1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

3.二面角：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍知識儲備在利用空間向量解答立體幾何夾角問題時，主要要突破“四關(guān)”：第一，突破“建系關(guān)”；第二，突破“坐標(biāo)關(guān)”；第三，突破“法向量關(guān)”；第四，突破“夾角公式關(guān)”。在四關(guān)中建系是入門關(guān)，如何建立合適的直角坐標(biāo)系是解決立體幾何問題的入門關(guān)鍵所在第一關(guān)：建系關(guān)1、空間直角坐標(biāo)系的建立方法：在空間中取原點0，從原點0引三條兩兩垂直的直線做為坐標(biāo)軸，最后選定某個長度作為單位長度。如右圖（1）建系轉(zhuǎn)化：把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題（2）向量運算：運用向量相關(guān)知識。（3）回到圖形下結(jié)論：把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義.xyzzyxxyz類型一：用“墻角”用墻角：有三條兩兩垂直的直線，直接建系.●類型分析造墻角：通過作輔助線并加以證明，“造”出“墻角”，從而可建系.類型二：造“墻角”.

歸納1:1.有三條兩兩垂直的直線（墻角）時建系最方便；2.沒有明顯的“墻角”時需通過條件或輔助線“找墻角”或“造墻角”；3.實在沒有時可借助直角建系，可令一條坐標(biāo)軸“懸空”.第二關(guān)：坐標(biāo)關(guān)ⅡⅦ面ⅤⅥⅠ面面ⅢⅣⅧ?O空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限空間直角坐標(biāo)系的劃分回顧?P1P2P3yxz??11P?1?空間中點的坐標(biāo)對于空間任意一點P，要求它的坐標(biāo)

過P點分別做三個平面分別垂直于x,y,z軸，平面與三個坐標(biāo)軸的交點分別為P1、P2、P3，在其相應(yīng)軸上的坐標(biāo)依次為x,y,z，那么(x,y,z)就叫做點P的空間直角坐標(biāo)，簡稱為坐標(biāo)，記作P(x,y,z)，數(shù)值x,y,z叫做P點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)?；仡?111?P?P0xyzP點坐標(biāo)為(x,y,z)P1空間中點的坐標(biāo)方法二：過P點作xOy面的垂線，垂足為點。點在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)x、y依次是P點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)。再過P點作z軸的垂線，垂足在z軸上的坐標(biāo)z就是P點的豎坐標(biāo)。MN回顧例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;(4)若N為DD1上點，且ON⊥DD1寫出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1O例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點的坐標(biāo)。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;解（1）A1

(2,-2,0)

B1

(2,2,0)、A(2,0,)、D1

(0,-2,0)

(2)投影法公式法yzxABCDB1C1D1A1O例2在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點，設(shè)△AB1D1的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點的坐標(biāo)。(3)設(shè)B(x,y,z),則

又∵,比較得

∴點B坐標(biāo)為

ABCDB1C1D1A1Oyzx向量法例2

在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為，頂點D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中點.(4)若N為DD1上點，且ON⊥DD1寫出N坐標(biāo)。ABCDB1C1D1A1OyzxN解:(4)∵

三點共線，可設(shè)即,

∵故向量法求空間直角坐標(biāo)下點的坐標(biāo)的方法:

一、投影法

將空間點P分別投影到

x軸、

y軸、z軸所得投影點為A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)則點

P坐標(biāo)為(a,b,c)。二、公式法利用線段的中點坐標(biāo)公式三角形的重心坐標(biāo)公式、距離公式、夾角公式等求出點的坐標(biāo)。三、向量法利用向量相等、垂直、共線等運算求出點坐標(biāo)。第三關(guān)：法向量關(guān)求法向量的步驟：第四關(guān)：夾角關(guān)1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

3.二面角：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍例

正三棱柱中，D是AC的中點，當(dāng)時，求二面角的余弦值。CADBC1B1A1

如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長為a，側(cè)棱長為b,則C(0,0,0)故則可設(shè)=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE設(shè)面的一個法向量為已求得B(0,1,0)可取