三角函數(shù)難題訓(xùn)練

三角函數(shù)難題訓(xùn)練三角函數(shù)難題訓(xùn)練三角函數(shù)難題訓(xùn)練三角函數(shù)難題訓(xùn)練編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（三角函數(shù)難題訓(xùn)練）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快業(yè)績進(jìn)步，以下為三角函數(shù)難題訓(xùn)練的全部內(nèi)容。1、某市為緩解城市交通壓力，決定修建人行天橋,原設(shè)計(jì)天橋的樓梯長AB=6m，∠ABC=45°，后考慮到安全因素，將樓梯腳B移到CB延長線上點(diǎn)D處,使∠ADC=30°（如圖所示）．（1)求調(diào)整后樓梯AD的長；(2）求BD的長．（結(jié)果保留根號(hào)）2、如圖，大海中有A和B兩個(gè)島嶼，為測量它們之間的距離,在海岸線PQ上點(diǎn)E處測得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在點(diǎn)F處測得∠AFP=60°,∠BFQ=60°，EF=1km．（1）求證AB=AE；（2)兩個(gè)島嶼A和B之間的距離為多少km(結(jié)果精確到0。1km）（參考數(shù)據(jù)：根號(hào)3≈1。73，cos74°≈0。28，tan74°≈3。49，sin76°≈0.97,cos76°≈0.24）3、一副三角板按圖1所示的位置擺放．將△DEF繞點(diǎn)A（F）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后（圖2)，測得CG=10cm,則兩個(gè)三角形重疊（陰影)部分的面積為多少？4、如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B，C，D在一條直線上,點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE;③BM⊥DM;④BM=DM．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)5、如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分別以△ABC的邊AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為S1、S2、S3,則下列結(jié)論正確的是(）A、S1=S2=S3B、S1=S2＜S3C、S1=S3＜S2D、S2=S3＜S16、在矩形ABCD中,有一個(gè)菱形BFDE（點(diǎn)E,F分別在線段AB，CD上），記它們的面積分別為SABCD和SBFDE，現(xiàn)給出下列命題①若，則tan∠EDF=，;②若DE的平方=BD?EF，則DF=2AD．則（）①是真命題，②是真命題B、①是真命題，②是假命題C、①是假命題，②是真命題D、①是假命題,②是假命題7、如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=6，D是AC上一點(diǎn),若tan∠DBA=，則AD的長是多少?8、在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高,F為BC的中點(diǎn)，連接DE、DF、EF，則結(jié)論：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BE=DE中,一定正確的有（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)如圖,兩個(gè)高度相等且底面直徑之比為1:2的圓柱形水杯,甲杯裝滿液體，乙杯是空杯．若把甲杯中的液體全部倒入乙杯，則乙杯中的液面與圖中點(diǎn)P的距離是（)10、如圖，一架飛機(jī)由A向B沿水平直線方向飛行,在航線AB的正下方有兩個(gè)山頭C、D．飛機(jī)在A處時(shí)，測得山頭C、D在飛機(jī)的前方，俯角分別為60°和30°．飛機(jī)飛行了6千米到B處時(shí),往后測得山頭C的俯角為30°，而山頭D恰好在飛機(jī)的正下方．求山頭C、D之間的距離．11、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,DC=5，AB=4倍根號(hào)2，∠B=45°動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1）求BC的長;（2)當(dāng)MN∥AB時(shí),求t的值；（3）試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．12、如圖，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠C=90°,BC=16,DC=12，AD=21．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在線段CB上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒）．（1）設(shè)△BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2）當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；(3)當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O,且2AO=OB時(shí)，求∠BQP的正切值;（4)是否存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．13、水務(wù)部門為加強(qiáng)防汛工作，決定對(duì)程家山水庫進(jìn)行加固．原大壩的橫斷面是梯形ABCD,如圖所示，已知迎水面AB的長為10米，∠B=60°，背水面DC的長度為10倍根號(hào)3米,加固后大壩的橫斷面為梯形ABED．若CE的長為5米．（1）已知需加固的大壩長為100米,則需要填方多少立方米;（2)新大壩背水面DE的坡度為多少？（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))14、如圖15，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)A、B、C，景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D,經(jīng)測量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏,東30°方向上,景點(diǎn)D位于景點(diǎn)B的正北方向,還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上，已知AB=5km，AD=8km.景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向公路a修建一條距離最短公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；(結(jié)果精確到0。1km）求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離（結(jié)果精確到1km)（參考數(shù)據(jù)：EMBEDEquation.3≈1。73，EMBEDEquation.3≈2。24，sin53°=cos37°=0.80,sin37°=cos53°=0。60，tan53°=1.33，tan37°=0。75，sin38°=cos52°=0。62，sin52°=cos38°=0。79，tan38°=0.78，tan52°=1.28,sin75°=0.79,cos75°=0。26,tan75°=3。73）15某地震救援隊(duì)探測出某建筑物廢墟下方點(diǎn)EMBEDEquation.DSMT4處有生命跡象,已知廢墟一側(cè)地面上兩探測點(diǎn)A，B相距3米，探測線與地面的夾角分別是30°和60°（如圖），試確定生命所在點(diǎn)C的深度．（結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4)16、（1）如圖16-1，16-2，銳角的正弦值和余弦值都隨著銳角的確定而確定,變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值變化的規(guī)律。(2）根據(jù)你探索到的規(guī)律,試比較18°，35°，50°,62°,88°,這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大小比較大小,（在空格處填寫“＜"“＞”“或”“＝‘’）若α=45°，則sinαcosα若α＜45°，則sinαcosα若α＞45°，則sinαcosα利用互為余角的兩個(gè)角的正弦和余弦的關(guān)系，試比較下列正弦值和余弦值的大小。sin10°、cos30°、sin50°、cos70°1、解：(1)已知AB=6m，∠ABC=45°，∴AC=BC=AB?sin45°=6×=3,已知∠ADC=30°．∴AD=2AC=6．答：調(diào)整后樓梯AD的長為6m;（2）CD=AD?cos30°=6×=3,∴BD=CD—BC=3-3．答：BD的長為3-3(m）．解:（1）相等（1分）因?yàn)椤螧EQ=30°,∠BFQ=60°，所以∠EBF=30°,所以EF=BF（2分)又因?yàn)椤螦FP=60°,所以∠BFA=60°．在△AEF與△ABF中,EF=BF,∠AFE=∠AFB，AF=AF，所以△AEF≌△ABF,所以AB=AE（5分）（2）方法一：作AH⊥PQ，垂足為H，設(shè)AE=x則AH=xsin74°，HE=xcos74°HF=xcos74°+1（7分）Rt△AHF中，AH=HF?tan60°．所以xsin74°=（xcos74°+1）?tan60°即0。96x=（0.28x+1)×1。73所以x≈3.6，即AB≈3。6km答：兩個(gè)島嶼A與B之間的距離約為3.6km．（10分）方法二：設(shè)AF與BE的交點(diǎn)為G,在Rt△EGF中，因?yàn)镋F=1，所以EG=（7分）在Rt△AEG中，∠AEG=76°，AE=EG÷cos76°=÷0.24≈3。6答：兩個(gè)島嶼A與B之間的距離約為3。6km．(10分）3：過G點(diǎn)作GH⊥AC于H,如圖,∠GAC=60°,∠GCA=45°,GC=10cm,在Rt△GCH中，GH=CH=GC=5cm，在Rt△AGH中,AH=GH=cm，∴AC=（5+)cm，∴兩個(gè)三角形重疊（陰影）部分的面積=?GH?AC=×5×（5+）=25+4、解：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形, ∴AB=BC,CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°;∵△ABC∽△CDE∴==①∴tan∠AEC=,∴tan∠AEC=；故本選項(xiàng)正確;②∵S△ABC=a2,S△CDE=b2,S梯形ABDE=（a+b）2，∴S△ACE=S梯形ABDE—S△ABC—S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=(a2+b2）≥ab(a=b時(shí)取等號(hào)）,∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本選項(xiàng)正確；④過點(diǎn)M作MN垂直于BD，垂足為N．∵點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，則MN為梯形中位線，∴N為中點(diǎn)，∴△BMD為等腰三角形，∴BM=DM；故本選項(xiàng)正確；③又MN=（AB+ED）=（BC+CD),∴∠BMD=90°，即BM⊥DM;故本選項(xiàng)正確．故選D．5、解：設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c，∵分別以△ABC的邊AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵AE=AB,∠ARE=∠ACB，∠EAR=∠CAB，∴△AER≌△ACB,∴ER=BC=a，F(xiàn)A=b,∴S1=ab，S3=ab，同理可得HD=AR=AC，∴S1=S2=S3=．故選A．6、解：①設(shè)CF=x，DF=y,BC=h,則由已知菱形BFDE，BF=DF=y由已知得：=得：=，即cos∠BFC=,∴∠BFC=30°，由已知∴∠EDF=30°∴tan∠EDF=，所以①是真命題．②已知菱形BFDE，∴DF=DE由已知△DEF的面積為:DF?AD，也可表示為：BD?EF，又DE2=BD?EF，∴△DEF的面積可表示為:DE的平方即:DF的平方，∴DF?AD=DF2，∴DF=2AD,所以②是真命題．故選：A．7、解：作DE⊥AB于E點(diǎn)．∵tan∠DBA==,∴BE=5DE，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6．∴AE+BE=5AE+AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2．8、解：①∵BD、CE為高，∴∠BDC=∠CEB=90°，又∵F為BC的中點(diǎn)，∴DF=BC，EF=BC,∴DF=EF；②∵∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，∴△ADB∽△AEC，∴AD：AB=AE：AC；③∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵DF=CF，EF=BF,∴∠BEF+∠CDF=120°,∴∠BFE+∠CFD=120°，∴∠DFE=60°，又∵DF=EF，∴△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC?sin∠BCE+BC?sin∠CBD=BC?（sin∠BCE+sin∠CBD）=BC?[sin∠BCE+sin(60°-∠BCE)]，不一定等于BC；⑤∵∠ABC=45°,∴BE=BC=DE．正確的共4個(gè)．故選C．9、甲液體的體積等于液體在乙中的體積．設(shè)乙杯中水深為x，則π×12×16=π×48×x，解得x=4．在直角△ABP中，已知AP=43，AB=83，∴BP=12．根據(jù)三角形的面積公式可知直角△ABP斜邊上的高是6，所以乙杯中的液面與圖中點(diǎn)P的距離是16-6—4=6．故選B．10、解：∵飛機(jī)在A處時(shí)，測得山頭C、D在飛機(jī)的前方,俯角分別為60°和30°，到B處時(shí)，往后測得山頭C的俯角為30°，∴∠BAC=60°，∠ABC=30°，∠BAD=30°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-30°-60°=90°，即△ABC為直角三角形，∵AB=6千米，∴BC=AB?cos30°=6×32=33千米．Rt△ABD中，BD=AB?tan30°=6×33=23千米，作CE⊥BD于E點(diǎn)，∵AB⊥BD,∠ABC=30°，∴∠CBE=60°，則BE=BC?cos60°=323，DE=BD—BE=32，CE=BC?sin60°=92，∴CD=DE2+CE2=（32）2+(92）2=21千米．∴山頭C、D之間的距離根號(hào)21千米．11、解：(1)如圖①，過A、D分別作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，則四邊形ADHK是矩形．∴KH=AD=3．在Rt△ABK中，AK=AB?sin45°=42?22=4BK=AB?cos45°=42?22=4．在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC=52—42=3．∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2）如圖②,過D作DG∥AB交BC于G點(diǎn)，則四邊形ADGB是平行四邊形．∵M(jìn)N∥AB，∴MN∥DG．∴BG=AD=3．∴GC=10-3=7．由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),CN=t,CM=10—2t．∵DG∥MN，∴∠NMC=∠DGC．又∠C=∠C，∴△MNC∽△GDC．∴CNCD=CMCG，即t5=10-2t7．解得，t=5017．（3）分三種情況討論：①當(dāng)NC=MC時(shí)，如圖③，即t=10-2t，∴t=103．②當(dāng)MN=NC時(shí)，如圖④，過N作NE⊥MC于E．解法一：由等腰三角形三線合-性質(zhì)得EC=12MC=12（10-2t)=5—t．在Rt△CEN中，cosc=ECNC=5—tt，又在Rt△DHC中，cosc=CHCD=35，∴5—tt=35．解得t=258．解法二：∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°,∴△NEC∽△DHC．∴NCDC=ECHC，即t5=5-t3．∴t=258．③當(dāng)MN=MC時(shí)，如圖⑤，過M作MF⊥CN于F點(diǎn)．FC=12NC=12t．解法一:(方法同②中解法一）cosC=FCMC=12t10—2t=35，解得t=6017．解法二:∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC．∴FCHC=MCDC,即12t3=10-2t5，∴t=6017．綜上所述，當(dāng)t=10分?jǐn)?shù)線3、t=258或t=6017時(shí)，△MNC為等腰三角形．12、解（1)如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M,則四邊形PDCM為矩形．∴PM=DC=12．∵QB=16-t，∴S=12×12×（16-t)=96—6t（0≤t＜16)；(2）由圖可知:CM=PD=2t，CQ=t．以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：①若PQ=BQ．在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=72；②若BP=BQ．在Rt△PMB中，BP2=（16—2t）2+122．由BP2=BQ2得：（16—2t)2+122=（16—t）2即3t2-32t+144=0．由于△=—704＜0,∴3t2—32t+144=0無解，∴PB≠BQ．③若PB=PQ．由PB2=PQ2，得t2+122=(16-2t)2+122整理，得3t2—64t+256=0．解得t1=163，t2=16（不合題意，舍去）綜合上面的討論可知：當(dāng)t=72秒或t=163秒時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．（3）如圖，由△OAP∽△OBQ，得APBQ=AOOB=12．∵AP=2t-21，BQ=16-t,∴2（2t—21）=16-t．∴t=585．過點(diǎn)Q作QE⊥AD，垂足為E．∵PD=2t，ED=QC=t，∴PE=t．在Rt△PEQ中，tan∠QPE=QEPE=12t=3029．又∵AD∥BC,∴∠BQP=∠QPE，∴tan∠BQP=3029；（4)設(shè)存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD．如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E,垂足為E．由Rt△BDC∽R(shí)t△QPE，得DCBC=PEEQ，即1216=t12．解得t=9．所以，當(dāng)t=9秒時(shí)，PQ⊥BD13、解：(1)分別過A、D作AF⊥BC,DG⊥BC，垂點(diǎn)分別為F、G，如圖所示在Rt△ABF中,AB=10米，∠B=60°．所以sin∠B=AFAB，∴AF=10×3253，DG=5根號(hào)3；所以S△DCE=12×CE×DG=12×5×53=252根號(hào)3，需要填方：100×2523=1250根號(hào)3（立方米）；（2)在直角三角形DGC中，DC=103，所以GC=DC2—DG2=（103）2—(53）2=15，所以GE=GC+CE=20,所以坡度i=DGGE=5320=34；答：（1）需要土石方1250根3立方米．(2)背水坡坡度為4分之根3．14、解:(1)如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，過點(diǎn)A作AF⊥DB，交DB的延長線于F在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=EMBEDEquation.3AD=EMBEDEquation.3×8=4∴DF=EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3=4EMBEDEquation.3∴在Rt△ABF中，BF=EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3=3∴BD=DF—BF=4EMBEDEquation.3-3sin∠ABF=EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3，在Rt△DBE中，sin∠DBE=EMBEDEquation.3∵∠ABF=∠DBE，sin∠DBE=EMBEDEquation.3∴DE=BD·sin∠DBE=EMBEDEquation.3×（4EMBEDEquation.3—3）=EMBE