大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第二章行列式第八節(jié)課件(課堂講義)

主要內(nèi)容定義*第八節(jié)拉普拉斯(Laplace)定理行列式的乘法規(guī)則拉普拉斯定理行列式的乘法定理這一節(jié)介紹行列式的拉普拉斯定理，這個(gè)定理可以看成是行列式按一行展開(kāi)公式的推廣.首先我們把余子式和代數(shù)余子式的概念加以推廣.一、定義定義9

在一個(gè)n

級(jí)行列式D

中任意選定k行k

列(k

n).位于這些行和列的交點(diǎn)上的k2

個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成一個(gè)k

級(jí)行列式M,稱(chēng)為行列式

D

的一個(gè)k

級(jí)子式.在D

中劃去這k

行k

列后余下的元素按照原來(lái)的次序組成的n-k

級(jí)行列式M

,稱(chēng)為k

級(jí)子式M

的余子式.從定義立刻看出，M

也是M

的余子式.所以M

和M

可以稱(chēng)為D

的一對(duì)互余的子式.例1

在四級(jí)行列式中選定第一、三行，第二、四列得到一個(gè)二級(jí)子式M

的余子式為例2

在五級(jí)行列式中和是一對(duì)互余子式.定義10

設(shè)D

的k

級(jí)子式M

在D

中所在的行、列指標(biāo)分別是i1,i2,…,ik;j1,j2,…,jk.則M的余子式M

前面加上符號(hào)后稱(chēng)做M

的代數(shù)余子式.例如，上述上述中M

的代數(shù)余子式是中M

的代數(shù)余子式是二、拉普拉斯定理引理

行列式D

的任一個(gè)子式M

與它的代數(shù)余子式A

的乘積中的每一項(xiàng)都是行列式D

的展開(kāi)式中的一項(xiàng)，而且符號(hào)也一致.證明我們首先討論M

位于行列式D

的左上方的情形：此時(shí)M

的代數(shù)余子式A

為M

中的每一項(xiàng)都可寫(xiě)作其中

1,

2,…,

k,是1,2,…,k

的一個(gè)排列，所以這一項(xiàng)前面所帶的符號(hào)為M

中的每一項(xiàng)都可寫(xiě)作其中

k+1,

k+2,…,

n

是k+1,k+2,…,n

的一個(gè)排列，這一項(xiàng)在M

中前面所帶的符號(hào)是這二項(xiàng)的乘積是前面的符號(hào)是因?yàn)槊總€(gè)

比每個(gè)

都大，所以上述符號(hào)等于因此這個(gè)乘積是行列式D

中的一項(xiàng)而且符號(hào)相同.下面來(lái)證明一般情形.設(shè)子式M

位于D的第i1,i2,…,ik

行;第j1,j2,…,jk列，這里i1<i2<…<ik;j1<j2<…<jk.變動(dòng)D中行列的次序使M

位于D

的左上角.為此，先把第i1

行依次與第i1-1,i1-2,…,2,1行對(duì)換.這樣經(jīng)過(guò)了i1-1次對(duì)換而將第i1

行換到第一行.再將第i2行依次與第i2-1,i2-2,…,2,1行對(duì)換而換到第二行，一共經(jīng)過(guò)了i2-2次對(duì)換.如此繼續(xù)進(jìn)行.一共經(jīng)過(guò)了(i1-1)+(i2-2)+…+(ik-k)=(i1+i2+…+ik)-(1+2+…+k)次行對(duì)換而把第i1,i2,…,ik

行依次換到第1,2,…,k行.利用類(lèi)似的列變換，可以將M

的列換到第1,2,…,k列.一共作了(j1-1)+(j2-2)+…+(jk-k)=(j1+j2+…+jk)-(1+2+…+k)次列變換.用D1

表示這樣變換后所得的新行列式，那么由此看出，D1

和D

的展開(kāi)式中出現(xiàn)的項(xiàng)是一樣的,只是每一項(xiàng)都差符號(hào)現(xiàn)在M

位于D1

的左上角，所以M

M

中每一項(xiàng)都是D1

中的一項(xiàng)而且符號(hào)一致.但是M

A=M

M.所以MA

中每一項(xiàng)都與D

中一項(xiàng)相等.證畢定理7(拉普拉斯定理)

設(shè)在行列式D

中任意取定了k(1

k

n-1)個(gè)行，由這k

行元素所組成的一切k

級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.證明設(shè)D

中取定k

行后得到的子式為M1,M2,…,Mt

,它們的代數(shù)余子式分別為A1,A2,…,At

,定理要求證明D=M1A1+M2A2+…+MtAt.相同，并且

MiAi

和MjAj(i

j)無(wú)公共項(xiàng).因此為了證明定理，只要證明等式兩邊項(xiàng)數(shù)相等即可.顯然等式左邊共有n!項(xiàng)，為了計(jì)算右邊的項(xiàng)數(shù)，首先來(lái)求出t.根據(jù)子式的取法知道因?yàn)镸i

中共有k!項(xiàng)，Ai

中共有(n-k)!項(xiàng).所以右邊共有t

k!(n-k)!=n!項(xiàng).證畢根據(jù)引理，MiAi中每一項(xiàng)都是D

中一項(xiàng)而且符號(hào)例3

在行列式中取定第一、二行，得到六個(gè)子式：它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式為由拉普拉斯定理D=M1A1+M2A2+…+M6

A6

=8+6-1+5-18-7=-7.從這個(gè)例子來(lái)看，利用拉普拉斯定理來(lái)計(jì)算行列式一般是不方便的.這個(gè)定理主要是在理論方面應(yīng)用.利用拉普拉斯定理，可以證明定理8

兩個(gè)n

級(jí)行列式三、行列式的乘法定理其中

cij

是D1

的第i

行元素分別與D2

的第j

列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和：cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.證明作一個(gè)2n

級(jí)行列式的乘積等于一個(gè)n

級(jí)行列式根據(jù)拉普拉斯定理，將D按前n

行展開(kāi).則因D中前n

行除去左上角那個(gè)n

級(jí)子式外，其余的n

級(jí)子式都等于零.所以現(xiàn)在來(lái)證D=C.對(duì)

D

作初等行變換：將第n+1行的a11

倍，第n+2行的a12

倍,…,第2n

行的a1n

倍加到第一行，得再依次將第n+1行的ak1(k=2,3,…,n)倍，第n+2行的ak2

倍,…,第2n

行的akn

倍加到第k

行,就得這個(gè)行列式的前n

行也只可能有一個(gè)n

級(jí)子式不為零，因此由拉普拉斯定理=

C.證畢本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課