初中數(shù)學(xué)．與三角形有關(guān)的線(xiàn)段．第01講．教師版

與三角形有關(guān)的線(xiàn)段與三角形有關(guān)的線(xiàn)段內(nèi)容基本要求略高要求較高要求三角形了解三角形的有關(guān)概念；了解三角形的穩(wěn)定性；會(huì)正確對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)：理解三角形的內(nèi)角和、外角和及三邊關(guān)系；會(huì)畫(huà)三角形的主要線(xiàn)段；了解三角形的內(nèi)心、外心、重心會(huì)用尺規(guī)法作給定條件的三角形；會(huì)運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及推論；會(huì)按要求解三角形的邊、角的計(jì)算問(wèn)題；能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題合理使用三角形的內(nèi)心、外心的知識(shí)解決問(wèn)題；會(huì)證明三角形的中位線(xiàn)定理，并會(huì)應(yīng)用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題一、三角形的基本概念：⑴三角形的定義：由三條不在同一條直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做三角形．三角形具有穩(wěn)定性．⑵三角形的內(nèi)角：三角形的每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角．在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)所組成的角叫做三角形的外角．⑷三角形的分類(lèi)：注意：每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角，而至多有一個(gè)鈍角．三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最大的一個(gè)內(nèi)角是銳角(直角或鈍角)時(shí)，該三角形即為銳角三角形(直角三角形或鈍角三角形)．二、與三角形相關(guān)的邊⑴三角形中的三種重要線(xiàn)段①三角形的角平分線(xiàn)：三角形的一個(gè)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn)．注：每個(gè)三角形都有三條角平分線(xiàn)且相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，而且它一定在三角形內(nèi)部．②三角形的中線(xiàn)：在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn)．注：每個(gè)三角形都有三條中線(xiàn)，且相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的中心，而且它一定在三角形內(nèi)部．③三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊畫(huà)垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足間的線(xiàn)段叫做三角形的高線(xiàn)．注：每個(gè)三角形都有三條高且三條高所在的直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的垂心．銳角三角形的高均在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的高線(xiàn)中有兩個(gè)垂足落在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，這兩條高落在三角形的外部，直角三角形有兩條高分別與兩條直角邊重合．反之也成立．畫(huà)三角形的高時(shí)，只需要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L(zhǎng)線(xiàn)作垂線(xiàn)，連接頂點(diǎn)與垂足的線(xiàn)段就是該邊的高．⑵三角形三條邊的關(guān)系①三角形三邊關(guān)系：三角形任何兩邊的和大于第三邊．②三角形三邊關(guān)系定理的推論：三角形任何兩邊之差小于第三邊．即、、三條線(xiàn)段可組成三角形兩條較小的線(xiàn)段之和大于最大的線(xiàn)段．注意：在應(yīng)用三邊關(guān)系定理及推論時(shí)，可以簡(jiǎn)化為：當(dāng)三條線(xiàn)段中最長(zhǎng)的線(xiàn)段小于另兩條線(xiàn)段之和時(shí)，或當(dāng)三條線(xiàn)段中最短的線(xiàn)段大于另兩條線(xiàn)段之差時(shí)，即可組成三角形．如圖所示，∠BAC的對(duì)邊是（） A、BD B、DC C、BC D、AD【解析】根據(jù)三角形對(duì)邊的定義可知：∠BAC的對(duì)邊是BC．【答案】∠BAC的對(duì)邊是BC．故選C．三角形的周長(zhǎng)小于13，且各邊長(zhǎng)為互不相等的整數(shù)，則這樣的三角形共有（） A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)【解析】首先根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長(zhǎng)，得到三角形的三邊都不能大于5；再結(jié)合三角形的兩邊之差小于第三邊進(jìn)行分析出所有符合條件的整數(shù)．【答案】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長(zhǎng)小于13，則其中的任何一邊不能超過(guò)5；再根據(jù)兩邊之差小于第三邊，則這樣的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三個(gè)．故選B．為解決四個(gè)村莊用電問(wèn)題，政府投資在已建電廠(chǎng)與這四個(gè)村莊之間架設(shè)輸電線(xiàn)路．現(xiàn)已知這四個(gè)村莊及電廠(chǎng)之間的距離如圖所示（距離單位：公里），則能把電力輸送到這四個(gè)村莊的輸電線(xiàn)路的最短總長(zhǎng)度應(yīng)該是（） A、19.5 B、20.5 C、21.5 D、25.5【解析】盡量選擇數(shù)據(jù)較小的路線(xiàn)，到達(dá)4個(gè)村莊即可．【答案】如圖，最短總長(zhǎng)度應(yīng)該是5+4+5.5+6=20.5cm．故選B．下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段，不能組成三角形的是（） A、3，8，4 B、4，9，6 C、15，20，8 D、9，15，8【解析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，進(jìn)行判定即可．【答案】A：∵3+4＜8∴不能構(gòu)成三角形；B：∵4+6＞9∴能構(gòu)成三角形；C：∵8+15＞20∴能構(gòu)成三角形；D：∵8+9＞15∴能構(gòu)成三角形．故選A．為估計(jì)池塘兩岸A、B間的距離，楊陽(yáng)在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)P，測(cè)得PA=16m，PB=12m，那么AB間的距離不可能是（） A、5m B、15m C、20m D、28m【解析】首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出AB的取值范圍，然后再判斷各選項(xiàng)是否正確．【答案】∵PA、PB、AB能構(gòu)成三角形，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m．故選D．如圖所示，第1個(gè)圖中有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖中共有5個(gè)三角形，第3個(gè)圖中共有9個(gè)三角形，依次類(lèi)推，則第6個(gè)圖中共有三角形_________個(gè)．【解析】根據(jù)前邊的具體數(shù)據(jù)，再結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：后邊的總比前邊多4，即第n個(gè)圖形中，三角形的個(gè)數(shù)是1+4（n﹣1）=4n﹣3．所以當(dāng)n=6時(shí)，原式=21．注意規(guī)律：后面的圖形比前面的多4個(gè)．【答案】第n個(gè)圖形中，三角形的個(gè)數(shù)是1+4（n﹣1）=4n﹣3．所以當(dāng)n=6時(shí)，原式=21，故填21．已知三角形的兩邊為、，求第三邊的范圍，求周長(zhǎng)的范圍．【解析】設(shè)第三邊為，周長(zhǎng)為，則；；【答案】下列不能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)組是()．A．、、B．、、C．、、D．、、【解析】略【答案】D．下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段能組成三角形的是()A．1，2，5B．4，5，9C．5，8，15D．6，8，9【解析】略【答案】D．一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則它的周長(zhǎng)為()A．7B．9C．12D．9或12【解析】略【答案】C．兩根木棒的長(zhǎng)分別是7和10，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個(gè)三角形，若第三根木棒的長(zhǎng)是，則的取值范圍是___________．【解析】．根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，可得，解之即得．【答案】已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，則不可能是()A．B．C．D．【解析】略【答案】D判斷說(shuō)理，正確的說(shuō)明理由，錯(cuò)誤的舉出反例．已知的三邊分別為，，．（1）以，，為三邊的三角形一定存在．（2）以，，為三邊的三角形一定存在．【解析】（1）不一定．比如、、，滿(mǎn)足，而．（2）一定．由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，故，．【答案】（1）不一定；（2）一定已知三角形兩邊長(zhǎng)為和，求它的周長(zhǎng)的取值范圍．【解析】已知兩邊長(zhǎng)，求周長(zhǎng)的取值范圍，也是應(yīng)用三角形三邊關(guān)系，先求第三邊的取值范圍，再求周長(zhǎng)的取范圍．設(shè)第三邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)．由三邊關(guān)系得，得．所以周長(zhǎng)，所以周長(zhǎng)．【答案】周長(zhǎng)．一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為，，，則的取值范圍是．【解析】略【答案】．一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為，，，則三角形的周長(zhǎng)的范圍是．【解析】略【答案】．已知三角形中兩邊長(zhǎng)為2和7，（1）若第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)________．（2）若這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為奇數(shù)，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)________．【解析】（1）第三邊長(zhǎng)的取值范圍是，因?yàn)樗瞧鏀?shù)，故只能是7，所以三角形的周長(zhǎng)為．（2）由周長(zhǎng)為奇數(shù)，可知為偶數(shù)，所以第三邊的長(zhǎng)為6或8．【答案】（1）16；（2）6或8．有三條線(xiàn)段，其中兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)為和，第三條線(xiàn)段的長(zhǎng)為，若這三條線(xiàn)段不能構(gòu)成三角形，則的取值范圍是．【解析】略【答案】或．不等邊三角形中，如果一條邊長(zhǎng)等于另兩條邊長(zhǎng)的平均值，那么，最大邊上的高與最小邊上的高的比值的取值范圍是．【解析】不妨設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為，，且，故，設(shè)三角形的面積為，則，則，由，，則．故．【答案】已知有兩邊長(zhǎng)為、，其中，則其周長(zhǎng)一定滿(mǎn)足()．A．B．C．D．【解析】略【答案】A．、、為三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)，若此三角形周長(zhǎng)為，求上面式子的值．【解析】∵三角形任意兩邊之和大于第三邊∴，，∴原式【答案】11下列長(zhǎng)度的線(xiàn)段能否組成三角形：、、()；【解析】，均小于，而．因?yàn)椋?，它們可以?gòu)成三角形；【答案】能下列長(zhǎng)度的線(xiàn)段能否組成三角形：、、()；【解析】有，，而，因?yàn)?，所以，即，它們可以組成三角形；【答案】可以下列線(xiàn)段能組成三角形的是()A．，，B．，，C．，，D．，，【解析】略【答案】D周長(zhǎng)為整數(shù)的三角形三邊長(zhǎng)分別為、、，且滿(mǎn)足不等式，這樣的三角形有個(gè)．【解析】略【答案】．將三邊長(zhǎng)為，，的三角形記作．寫(xiě)出周長(zhǎng)為20，各邊長(zhǎng)為正整數(shù)的所有不同的三角形．【解析】周長(zhǎng)等于20的三解形中，最長(zhǎng)邊小于10，且大于等于，由于邊長(zhǎng)是整數(shù)，所以最長(zhǎng)邊可為9，8，7．用窮舉法可以得下面8個(gè)三角形：(9，9，2)、(9，8，3)、(9，7，4)、(9，6，5)、(8，8，4)、(8，7，5)、(8，6，6)、(7，7，6)．【答案】8個(gè)用根火柴棒首尾順序連接擺成一個(gè)三角形，能擺成不同的三角形的個(gè)數(shù)為．【解析】第一：火柴是等長(zhǎng)的，不能折斷；第二：一次用完根火柴，不能剩下若干根；第三：要滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系．先確定周長(zhǎng)為根，由三角形最大的邊的范圍可知最大的邊必為根，為什么？然后用枚舉法：(怎樣做到不重不漏？)【答案】2如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，試說(shuō)明．【解析】略【答案】圖中有很多個(gè)三角形，在幾個(gè)三角形中利用三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．因?yàn)椋?，，所以，即．所以．如圖，在三角形中，，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．【解析】略【答案】（1）∵，∴∵，∴，∴∵，∴（2）過(guò)點(diǎn)作∥，交、于、，則，由(1)知∵，∴即幾何證明中后一問(wèn)常常要用到前一問(wèn)的結(jié)論．課后作業(yè)課后作業(yè)如圖，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，則腰長(zhǎng)x的取值范圍是（） A、0＜x＜3 B、x＞3 C、3＜x＜6 D、x＞6【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理來(lái)確定腰長(zhǎng)x的取值范圍．【答案】若△ABC是等腰三角形，需滿(mǎn)足的條件是：6﹣x＜x＜6+x，解得x＞3；故選B．在下列長(zhǎng)度的線(xiàn)段中，能組成三角形的是()．A．，，B．，，C．，，D．，，【解析】略【答案】D．如圖，為估計(jì)池塘岸邊、兩點(diǎn)的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)，測(cè)得米，米，、間的距離不可能是()A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米【解析】略【答案