河南省商丘市二十校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023~2024學(xué)年上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：選擇性必修一第一章至第三章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是（）A． B． C． D．2．已知分別是橢圓的左、右焦點，若是橢圓上一點，，則（）A．4 B．5 C．6 D．83．經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為，則（）A． B． C． D．24．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，為上一點，且，則（）A． B．C． D．5．直線與圓的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相離6．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，已知動點與兩定點的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若動點與兩定點的距離之比為，則動點所形成的軌跡阿波羅尼斯圓的圓心坐標為（）A． B． C． D．7．如圖，在正方體中，分別是棱的中點，則點到直線的距離為（）A． B． C．1 D．8．已知過雙曲線右焦點，斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點，點為左焦點，且，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．經(jīng)過點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程可能為（）A． B． C． D．10．下列圓中與圓相切的是（）A． B．C． D．11．設(shè)拋物線的焦點為，準線為為上一點，以為圓心，為半徑的圓交于兩點，若，且的面積為，則（）A． B．是等邊三角形C．的面積為 D．拋物線的方程為12．如圖，四棱錐中，底面，底面為正方形，且，分別為的中點，則（）A．B．與所成角的余弦值是C．點到平面的距離為D．過點的平面截四棱錐的截面面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知空間向量，且與垂直，則等于_______．14．若直線與直線平行，則與之間的距離為_______．15．已知拋物線的焦點為，準線為．若與焦距為的雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為坐標原點），則雙曲線的實軸長為_______．16．已知是圓上的兩個不同的點，若，則的取值范圍為_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知的頂點．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點是的中點，．（1）求與所成角的大小；（2）求與平面所成角的正弦值．19．（12分）已知分別為雙曲線左、右焦點，在雙曲線上，且．（1）求此雙曲線的方程；（2）若雙曲線的虛軸端點分別為（在軸正半軸上），點在雙曲線上，且，試求直線的方程．20．（12分）在平面直角坐標系中，圓過點，且圓心在上．（1）求圓的方程；（2）直線與圓交于兩點，若（為坐標原點），求實數(shù)的值．21．（12分）在直三棱柱中，，點是線段上靠近點的三等分點．（1）求的長；（2）求二面角的正弦值．22．（12分）已知點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)．（1）求點的軌跡．（2）設(shè)是軌跡上的兩點，且直線與的斜率之積為（為坐標原點），為射線上一點，且，線段與軌跡交于點，求四邊形的面積．2023~2024學(xué)年上學(xué)期期中考試·高二數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則1．D點關(guān)于軸對稱的點的坐標是．2．C由橢圓的定義知，所以．3．B由點，可得直線的斜率為，因為經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為，所以．4．A因為，所以，所以．5．C由直線，得，所以直線過定點，因為，所以點在圓上，所以直線與圓相交或相切．6．D依題意，設(shè)，又動點與兩定點的距離之比為，即，所以，整理可得，即，所以動點所形成的軌跡阿波羅尼斯圓的方程為，其圓心為．7．B如圖，以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標系，易知，，取，，則，所以點到直線的距離為．8．C因為，所以，即，又，所以，代入雙曲線化簡得，所以．9．AC若直線在兩坐標軸上的截距均為0，則直線的方程為，A正確；若直線在兩坐標軸上的截距不為0，可設(shè)直線的方程為，將代入方程得，則直線的方程為，C正確．10．AB由題知，圓的圓心為，半徑為5．A選項，的圓心為，半徑為2，故，由于，所以圓與內(nèi)切，A正確；B選項，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與外切，B正確；C選項，的圓心為，半徑為4，故，由于，故圓與不相切，C錯誤；D選項，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與不相切，D錯誤．11．ABD由拋物線定義知，又，所以為正三角形，由面積為知邊長為4，則，拋物線的方程為面積為．12．AC如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，，所以，A正確；，則與所成角的余弦值為，故B錯誤；，設(shè)平面的法向量為，則可取，則點到平面的距離為，故C正確；設(shè)過點的平面與線段的交點為，則，因為共面，則共面，故存在唯一實數(shù)對使得，即，所以，解得，所以，則，因為，所以，所以過點的平面截四棱錐的截面面積為，故D錯誤．13．因為，且與垂直，所以，解得．14．由題意直線與直線平行，所以與之間的距離．15．4在雙曲線的漸近線上，所以．16．由題知，圓的圓心坐標，半徑為2，因為，所以．設(shè)為的中點，所以，所以點的軌跡方程為．點的軌跡是以為圓心半徑為的圓．設(shè)點到直線的距離分別為，所以，，所以．因為點到直線的距離為，所以，即，所以．17．解：（1）因為直線的斜率，所以所在直線的斜率，則所求直線方程為，即所以邊上的高所在直線的方程為．（2）因為線段的中點，所以邊上的中線所在直線的斜率，則所求直線方程為，即所以邊上的中線所在直線的方程為．18．解：（1）易知，又底面底面，，故以為坐標原點，所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，即與所成角的大小為．（用證明平面得參照給分）（2）由（1）知．設(shè)平面的一個法向量為，則取，則．所以是平面的一個法向量．設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．19．解：（1）令，因為，所以，所以，所以，由得，所以雙曲線的方程為．（2）由，知過點，且斜率存在，設(shè)的方程為，代入得．由題知且，設(shè)，因為，所以，即．此時．，所以，所以，所以的方程為．20．解：（1）可設(shè)圓心，由已知得，從而有，解得：．于是圓的圓心，半徑．所以圓的方程為．（2）設(shè)，聯(lián)立直線與圓的方程，，消去，得，所以，由解得，，所以，解得或，故實數(shù)的值為0或．21．解：（1）因為直棱柱的性質(zhì)可知，又，故如圖，以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系，則是上靠近點的三等分點，，所以，即長為．（2）由（1）知，設(shè)平面的一個法向量為，則令，得平面的一個法向量為，又平面，平面的一個法向量為，所以，故二面角的正弦值為．22．解：（1）設(shè)點到直線的距離為，依題意，，于是，化簡得，即．