河南省商丘市二十校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023~2024學(xué)年上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：選擇性必修一第一章至第三章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是橢圓上一點(diǎn)，，則（）A．4 B．5 C．6 D．83．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，則（）A． B． C． D．24．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，為上一點(diǎn)，且，則（）A． B．C． D．5．直線與圓的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相離6．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為，則動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡阿波羅尼斯圓的圓心坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A． B． C．1 D．8．已知過雙曲線右焦點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程可能為（）A． B． C． D．10．下列圓中與圓相切的是（）A． B．C． D．11．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)，若，且的面積為，則（）A． B．是等邊三角形C．的面積為 D．拋物線的方程為12．如圖，四棱錐中，底面，底面為正方形，且，分別為的中點(diǎn)，則（）A．B．與所成角的余弦值是C．點(diǎn)到平面的距離為D．過點(diǎn)的平面截四棱錐的截面面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知空間向量，且與垂直，則等于_______．14．若直線與直線平行，則與之間的距離為_______．15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．若與焦距為的雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_______．16．已知是圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知的頂點(diǎn)．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．（1）求與所成角的大小；（2）求與平面所成角的正弦值．19．（12分）已知分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，在雙曲線上，且．（1）求此雙曲線的方程；（2）若雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為（在軸正半軸上），點(diǎn)在雙曲線上，且，試求直線的方程．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓過點(diǎn)，且圓心在上．（1）求圓的方程；（2）直線與圓交于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的值．21．（12分）在直三棱柱中，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）求二面角的正弦值．22．（12分）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)．（1）求點(diǎn)的軌跡．（2）設(shè)是軌跡上的兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），為射線上一點(diǎn)，且，線段與軌跡交于點(diǎn)，求四邊形的面積．2023~2024學(xué)年上學(xué)期期中考試·高二數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．D點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．2．C由橢圓的定義知，所以．3．B由點(diǎn)，可得直線的斜率為，因?yàn)榻?jīng)過兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，所以．4．A因?yàn)椋?，所以?．C由直線，得，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，所以直線與圓相交或相切．6．D依題意，設(shè)，又動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為，即，所以，整理可得，即，所以動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡阿波羅尼斯圓的方程為，其圓心為．7．B如圖，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，取，，則，所以點(diǎn)到直線的距離為．8．C因?yàn)?，所以，即，又，所以，代入雙曲線化簡(jiǎn)得，所以．9．AC若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0，則直線的方程為，A正確；若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0，可設(shè)直線的方程為，將代入方程得，則直線的方程為，C正確．10．AB由題知，圓的圓心為，半徑為5．A選項(xiàng)，的圓心為，半徑為2，故，由于，所以圓與內(nèi)切，A正確；B選項(xiàng)，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與外切，B正確；C選項(xiàng)，的圓心為，半徑為4，故，由于，故圓與不相切，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與不相切，D錯(cuò)誤．11．ABD由拋物線定義知，又，所以為正三角形，由面積為知邊長(zhǎng)為4，則，拋物線的方程為面積為．12．AC如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，A正確；，則與所成角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；，設(shè)平面的法向量為，則可取，則點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；設(shè)過點(diǎn)的平面與線段的交點(diǎn)為，則，因?yàn)楣裁?，則共面，故存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，即，所以，解得，所以，則，因?yàn)?，所以，所以過點(diǎn)的平面截四棱錐的截面面積為，故D錯(cuò)誤．13．因?yàn)?，且與垂直，所以，解得．14．由題意直線與直線平行，所以與之間的距離．15．4在雙曲線的漸近線上，所以．16．由題知，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2，因?yàn)?，所以．設(shè)為的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．點(diǎn)的軌跡是以為圓心半徑為的圓．設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，所以，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，即，所以．17．解：（1）因?yàn)橹本€的斜率，所以所在直線的斜率，則所求直線方程為，即所以邊上的高所在直線的方程為．（2）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以邊上的中線所在直線的斜率，則所求直線方程為，即所以邊上的中線所在直線的方程為．18．解：（1）易知，又底面底面，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，即與所成角的大小為．（用證明平面得參照給分）（2）由（1）知．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，則．所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．19．解：（1）令，因?yàn)?，所以，所以，所以，由得，所以雙曲線的方程為．（2）由，知過點(diǎn)，且斜率存在，設(shè)的方程為，代入得．由題知且，設(shè)，因?yàn)?，所以，即．此時(shí)．，所以，所以，所以的方程為．20．解：（1）可設(shè)圓心，由已知得，從而有，解得：．于是圓的圓心，半徑．所以圓的方程為．（2）設(shè)，聯(lián)立直線與圓的方程，，消去，得，所以，由解得，，所以，解得或，故實(shí)數(shù)的值為0或．21．解：（1）因?yàn)橹崩庵男再|(zhì)可知，又，故如圖，以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，所以，即長(zhǎng)為．（2）由（1）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得平面的一個(gè)法向量為，又平面，平面的一個(gè)法向量為，所以，故二面角的正弦值為．22．解：（1）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，依題意，，于是，化簡(jiǎn)得，即．