2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中滿分沖刺之填空壓軸題（蘇科版）（含答案解析）

2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中滿分沖刺填空壓軸題姓名：_________班級：_________學(xué)號：_________考點一、關(guān)于一元二次方程的代數(shù)式求值1．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知m、n是一元二次方程x2-2x-1=0的兩個根，則代數(shù)式m2-3m-n+2021的值為________．2．（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）若a，b是一元二次方程x2-5x-2=0的兩個實數(shù)根，則的值為________．3．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）（1）已知一元二次方程x2-3x+1=0的兩根為x1、x2，x12-5x1-2x2則的值為________．（2）若m、n是方程x2-2x-2=0的兩個實數(shù)根，則2m2+4n2-n+2022的值為________．考點二、一元二次方程的解4．（23-24八年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）關(guān)于x的方程的解是，（a、b、m為常數(shù)，），則方程的解是．5．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如果，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，那么關(guān)于x的一元二次方程的解為．6．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若是關(guān)于的方程的一個解，則的最大值為．考點三、一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系7．（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是．8．（21-22九年級·江蘇蘇州·自主招生）關(guān)于x的方程（a為常數(shù)）有兩個不同的實根，則a的取值范圍是．9．（24-25九年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程，其中a、b、c分別為三邊的長，如果方程有兩個相等的實數(shù)根，則的形狀為．考點四、一元二次方程的結(jié)論判斷問題10．（2024·浙江杭州·二模）關(guān)于一元二次方程，有以下命題：①若，則；②若該方程的兩根為和1，則；③若上述方程有兩個相等的實數(shù)根，則必有實數(shù)根；④若r是該方程的一個根，則一定是方程的一個根．其中真命題是．（只需填寫序號）11．（24-25九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）對于一元二次方程有下列說法：①若，則方程必有一個根為；②若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則；其中正確的是．（填序號）考點五、一元二次方程的新定義問題12．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）規(guī)定：對于任意實數(shù)、、，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如．若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為．13．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）新定義：關(guān)于x的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．例如：與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程與是“同族二次方程”，則代數(shù)式的最小值是．考點六、一元二次方程的實際問題14．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）某批發(fā)商以70元/千克的成本價購入了某暢銷產(chǎn)品1000千克，該產(chǎn)品每天的保存費用為300元，而且平均每天將損耗15千克．根據(jù)市場預(yù)測，該產(chǎn)品的銷售價格y（元/千克）與時間x（天）之間函數(shù)關(guān)系的圖像如圖中的折線段所示．當(dāng)批發(fā)商在進貨后第天將這批產(chǎn)品一次性賣出，將獲得37500元的利潤．15．（23-24九年級下·江西宜春·階段練習(xí)）如圖所示，中，，，，點P從A點開始沿向B點以的速度移動，點Q從B點開始沿邊向C點以的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么秒后，線段將分成面積的兩部分．16．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）某商店購進600個旅游紀念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出50個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售，銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利1250元，則第二周每個旅游紀念品的銷售價格為元．17．（2024·山西朔州·一模）為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地上搭建舞臺，并設(shè)計了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺．舞臺區(qū)域的寬均為6米，中間空白的面積為216平方米，若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則可列方程．

18．（23-24九年級下·湖南岳陽·開學(xué)考試）《念奴嬌·赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文采風(fēng)流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽符．”則這位風(fēng)流人物去世的年齡為歲．考點七、點到圓的距離19．（23-24九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知P是內(nèi)一點點P不與圓心O重合，點P到圓上各點的距離中，最小距離與最大距離是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的半徑為．20．（23-24九年級下·江蘇南京·自主招生）已知的長為10，平面內(nèi)存在兩個動點P，Q，使得，，以下結(jié)論正確的是．①的最小值是7，最大值是13；②的最大值是9；③的最小值是1；④的最大值是10．考點八、求圓中的最大（?。┲祮栴}21．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，中，是的高，，則；若以點C為圓心，半徑為2作，點E是上一動點，連接，點F是的中點，則線段的最小值是．

22．（2024·浙江溫州·三模）如圖，已知中，，，，點是邊上的動點，以為直徑作，連接交于點，則的最小值為．23．（22-23九年級下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點在以點為圓心，半徑為2的圓上運動，過點作軸于點，以為對角線作矩形，連接，則對角線的最小值為．

24．（21-22九年級上·安徽蕪湖·期末）如圖，是半圓的直徑，，點在半圓上，，是弧上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點移動的過程中，的最小值是．25．（2024·江蘇鹽城·二模）如圖，是的直徑，點C是上一動點，連接，點D在直徑上，，連接并延長交于點E，若，則的最大值是．考點九、垂徑定理求線段的長26．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）已知的直徑為10，點P到圓心O的距離為3，則經(jīng)過點P的弦為整數(shù)的有條．27．（24-25九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在中，為直徑，點為圓上一點，將劣弧沿弦翻折，交于點，連接．若點與圓心重合，，則半徑等于．28．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，于點，連接BD，半徑，連接，于點若，則的長為．考點十、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系29．（22-23九年級下·江蘇南通·期末）如圖所示，點A是半圓上一個三等分點，點B是的中點，點P是直徑上一動點，若的直徑為2，則的最小值是．

30．（2024·江蘇揚州·二模）已知銳角如圖，（1）在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑作，交射線于點，連接CD；（2）分別以點，為圓心，CD長為半徑作弧，交于點，；（3）連接，根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．①；②若，則；③；④31．（18-19九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，圓的兩條弦相交于點，、的度數(shù)分別為，的度數(shù)為，則，和之間的數(shù)量關(guān)系為．考點十一、圓周角的性質(zhì)及推論32．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知點在上，若，則的度數(shù)為．33．（20-21九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）在半徑為1的中，弦AB的長等于的半徑，則弦AB所對圓周角等于．34．（22-23八年級下·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖所示，在以為圓心，為直徑的半圓上有，兩個不同的點，點在上，且，如果弧，則弧的度數(shù)是．考點十二、利用直線與圓的位置關(guān)系求半徑的范圍35．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，，，若與射線只有一個交點，則半徑r的取值范圍是．36．（23-24九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，將直線向上平移個單位，若平移后得到的直線與半徑為6的相交（點O為坐標原點），則m的取值范圍為．37．（23-24九年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）在中，，，．以點為圓心，為半徑的圓作⊙C，若邊與⊙C只有一個公共點，則半徑r的取值范圍為．考點十三、切線的性質(zhì)與判定38．（2023九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點，點，的半徑為2．當(dāng)圓心與點重合時，與直線的位置關(guān)系為；若圓心從點開始沿軸移動，當(dāng)時，與直線相切．39．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，正方形的邊長為4，以為直徑作半圓E，過點D作切半圓E于點G，交于點F，則的長為．40．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，半圓的直徑，中，，，，半圓以的速度從左向右運動，在運動過程中，點、始終在直線上，設(shè)運動時間為，．當(dāng)半圓與的邊相切時，運動時間．41．（21-22九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，半徑為1的與直線l相切于點A，C為上的一點，于點B，則的最大值是．考點十四、切線長定理的綜合42．（22-23九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，：：：：，在內(nèi)自由移動，若的半徑為，且圓心在內(nèi)所能到達的區(qū)域的面積為，則的周長為．43．（20-21九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D為BC邊的中點，O為AD上一點，⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為．44．（20-21九年級上·江蘇常州·期中）如圖，點是正方形的中心，與相切于點，連接若，則的面積是．考點十五、三角形的內(nèi)切圓45．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在中，，是的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，若，，則的半徑為．46．（22-23九年級上·江蘇鹽城·期中）以正方形的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交AB邊于點E，若的周長為12，則正方形的邊長為．47．（21-22九年級·江蘇南京·自主招生）已知在中，，，，半徑為1的圓在三角形內(nèi)移動，圓可以與三角形的邊相切，則該圓能到達的面積為．48．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，，，將沿翻折得到，若經(jīng)過的內(nèi)心I，則的長為．49．（2024·江蘇揚州·二模）如圖，中，，，，，的內(nèi)切圓半徑分別記為，，，若，，則．50．（23-24九年級上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，點I是的內(nèi)心，，，，則的面積為．考點十六、正多邊形與圓51．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416，如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正八邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正六邊形近似估計的面積，可得的估計值為．（結(jié)果保留根號）

52．（2024·廣東惠州·二模）如圖，在正八邊形中，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，，若，則的面積為．53．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為2，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的半徑為．

54．（2024·河北石家莊·三模）將7個邊長均為1的正六邊形不重疊、無縫隙地按如圖所示擺放．（1）；（2）已知點在邊上，則的最大值為．考點十七、弧長與扇形、陰影、運動的有關(guān)計算55．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點P在線段上從點B出發(fā)向點C運動，同時點Q在線段AD上以相同速度從點D出發(fā)向點A運動，過點A作交直線于點M，當(dāng)點P從點B運動到點C的過程中，點M的運動路徑長是．56．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，已知，，，半徑為2的從點出發(fā)，沿方向滾動到點時停止，圓心運動的路程是．57．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）如圖，半圓的直徑，將半圓繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到半圓，與交于點，圖中陰影部分的面積等于．考點十八、圓錐的有關(guān)計算58．（23-24九年級上·云南德宏·期末）某圓錐形生日帽子的母線長為，底面半徑為，將該帽子沿母線剪開，則其側(cè)面展開扇形的圓心角為．59．（2021·江蘇揚州·二模）如圖，已知圓錐的底面半徑是，母線長是．如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，則這根繩子的最短長度是．60．（20-21九年級上·四川涼山·階段練習(xí)）如圖，一個底面半徑為3的圓錐，母線，D為的中點，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到D，則螞蟻爬行的最短路程為．參考答案1．2020【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根，代數(shù)式求值．將代數(shù)式變形為m2-2m-（m+n）+2021的形式是關(guān)鍵．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=2，由解的意義得m2-2m=1，再將m2-3m-n+2021變形為m2-2m-（m+n）+2021，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵m、n是一元二次方程的兩個根，∴，，∴∴．故答案為：2020．2．（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意，得到，整體代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：由題意，得：，∴，∴原式；故答案為：5．3．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）（1）已知一元二次方程的兩根為，則的值為．（2）若m、n是方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】2042【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的概念，解題的關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，可得出，再整體代入即可求出結(jié)論．（2）由m，n是方程的兩個實數(shù)根可得：，代入所求式子即可得到答案．【詳解】解：（1）∵一元二次方程的兩根為，∴，∴．故答案為：．（2）∵m，n是方程的兩個實數(shù)根，∴，∴，∴．故答案為：2042．考點二、一元二次方程的解4．（23-24八年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）關(guān)于x的方程的解是，（a、b、m為常數(shù)，），則方程的解是．【答案】，【分析】本題考查了一元二次方程的解，把方程看作關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)題意得出，，計算即可得解．【詳解】解：把方程看作關(guān)于的一元二次方程，∵關(guān)于x的方程的解是，，∴，，解得：，，故答案為：，．5．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如果，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，那么關(guān)于x的一元二次方程的解為．【答案】或【分析】此題考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程．當(dāng)時，將5代入得到，然后結(jié)合得到或，然后求解即可；當(dāng)時，同理求解即可．【詳解】解：當(dāng)時，將5是關(guān)于x的方程的根，∴，得，∵，∴或或或，解得或．當(dāng)時，將是關(guān)于x的方程的根，∴，得，∵，∴或或或，解得或．故答案為：或．6．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若是關(guān)于的方程的一個解，則的最大值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握配方法求最大值是解題的關(guān)鍵；將代入，再求，利用配方法求最大值即可求解；【詳解】解：將代入，可得：則當(dāng)時取得最大值，故答案為：考點三、一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系7．（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】且【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式及一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式大于0及二次項系數(shù)不為0列不等式求解即可．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴這個方程根的判別式，解得：，，實數(shù)k的取值范圍為且，故答案為：且．8．（21-22九年級·江蘇蘇州·自主招生）關(guān)于x的方程（a為常數(shù)）有兩個不同的實根，則a的取值范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查解一元一次方程、絕對值，根據(jù)絕對值的定義，進行分類討論，再分別解一元一次方程．熟練掌握絕對值的定義、一元一次方程的解法、分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)，即，則．．此時，則．當(dāng)，即，則．．此時，則．綜上：．故答案為：．9．（24-25九年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程，其中a、b、c分別為三邊的長，如果方程有兩個相等的實數(shù)根，則的形狀為．【答案】直角三角形【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理逆定理，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②，方程有兩個相等的實數(shù)根，③，方程沒有實數(shù)根．原方程可以化為，由題意得出，推出，即可得解．【詳解】解：原方程可以化為：，∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴為直角三角形，故答案為：直角三角形．考點四、一元二次方程的結(jié)論判斷問題10．（2024·浙江杭州·二模）關(guān)于一元二次方程，有以下命題：①若，則；②若該方程的兩根為和1，則；③若上述方程有兩個相等的實數(shù)根，則必有實數(shù)根；④若r是該方程的一個根，則一定是方程的一個根．其中真命題是．（只需填寫序號）【答案】①②④【分析】本題主要考查一元二次方程的根，根據(jù)題意得，則，故①是真命題；根據(jù)題意得，則②是真命題；由題意得，則方程的判別式：，由于a的符號不確定，故③是假命題；由題意得，且，則，有，可得是的一個根，故④是真命題．【詳解】解：若，則，∴，故①是真命題；若該方程的兩根為和1，則，∴，∴，故②是真命題；若有兩個相等的實數(shù)根，則，∴的判別式：，∵a的符號不確定，∴方程根的情況不確定，故③是假命題；若r是該方程的一個根，則，∵，∴，∴，∴，∴是的一個根，故④是真命題；故答案為：①②④．11．（24-25九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）對于一元二次方程有下列說法：①若，則方程必有一個根為；②若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則；其中正確的是．（填序號）【答案】②④/④②【分析】本題考查一元二次方程的根的定義和根的判別式，在中，令，可判斷①；若方程有兩個不相等的實根，可得，可判斷②；若是方程的一個根，得，如果，那么，可判斷③；若是一元二次方程的根，可得，可判斷④．解題關(guān)鍵掌握：①出現(xiàn)方程的根時，直接代入方程即可；①已知關(guān)于的一元二次方程，如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；如果方程有兩個相等的實數(shù)根，則；如果方程沒有實數(shù)根，則，反之也成立．【詳解】解：若，當(dāng)時，得：，∴方程必有一個根為，故說法①錯誤；若方程有兩個不相等的實根，則，即，∴，∴方程必有兩個不相等的實根，故說法②正確；若是方程的一個根，則，如果，那么，故說法③錯誤；若是一元二次方程的根，則，∵，∴，∴，∴，∴，故說法④正確；∴正確的有②④．故答案為：②④．考點五、一元二次方程的新定義問題12．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）規(guī)定：對于任意實數(shù)、、，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如．若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為．【答案】且【分析】根據(jù)題意得到，再由有兩個不相等的實數(shù)根得到，且，即可得到答案．本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意正確列式．【詳解】解：∵，∴，即，∵關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，解得：且，故答案為：且．13．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）新定義：關(guān)于x的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．例如：與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程與是“同族二次方程”，則代數(shù)式的最小值是．【答案】【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項式相等的條件列出關(guān)于與的方程組，求出方程組的解得到與的值，進而利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：，與是“同族二次方程”，∴，，∴，由①得，，代入②得，解得：，∴，，則代數(shù)式的最小值是．故答案為：．考點六、一元二次方程的實際問題14．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）某批發(fā)商以70元/千克的成本價購入了某暢銷產(chǎn)品1000千克，該產(chǎn)品每天的保存費用為300元，而且平均每天將損耗15千克．根據(jù)市場預(yù)測，該產(chǎn)品的銷售價格y（元/千克）與時間x（天）之間函數(shù)關(guān)系的圖像如圖中的折線段所示．當(dāng)批發(fā)商在進貨后第天將這批產(chǎn)品一次性賣出，將獲得37500元的利潤．【答案】4或32/32或4【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．先用待定系數(shù)法求出與之間的函數(shù)關(guān)系式是，設(shè)到第天出售，批發(fā)商所獲利潤為元，由題意得：當(dāng)：，解得：（舍）或當(dāng)時，，解得：．【詳解】解：當(dāng)，設(shè)解析式為：，把和代入得：，解得：．．當(dāng)時，，故與之間的函數(shù)關(guān)系式是；設(shè)到第天出售，批發(fā)商所獲利潤為元，由題意得：當(dāng)：，由上得，∴，化簡得：解得：（舍）或當(dāng)時，，由上得，解得：，故答案為：4或32．15．（23-24九年級下·江西宜春·階段練習(xí)）如圖所示，中，，，，點P從A點開始沿向B點以的速度移動，點Q從B點開始沿邊向C點以的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么秒后，線段將分成面積的兩部分．【答案】2或4【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系正確列方程是解題關(guān)鍵．設(shè)運動時間為，根據(jù)題意可得，，再根據(jù)三角形面積公式分兩種情況求解即可．【詳解】解：設(shè)運動時間為，則，，∵，，∴cm，∵線段將分成面積的兩部分，∴或，∴，或，整理得：或（無實數(shù)解），

解得，，即線段將分成面積的兩部分，運動時間為2或4秒．故答案為：2或4．16．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）某商店購進600個旅游紀念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出50個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售，銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利1250元，則第二周每個旅游紀念品的銷售價格為元．【答案】9【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，由紀念品的進價和售價以及銷量分別表示出兩周的總利潤，根據(jù)“這批旅游紀念品共獲利1250元”等式求出即可．理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)降低x元，由題意得出:，整理得：，解得：．∴．即：第二周的銷售價格為9元．故答案為：9．17．（2024·山西朔州·一模）為了喜迎元旦，某區(qū)籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地上搭建舞臺，并設(shè)計了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺．舞臺區(qū)域的寬均為6米，中間空白的面積為216平方米，若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則可列方程．

【答案】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．若設(shè)正方形空地的邊長為x米，則中間空白的長為米，寬為米，根據(jù)長方形面積公式即可列出方程．【詳解】解：根據(jù)題意，得，故答案為：．18．（23-24九年級下·湖南岳陽·開學(xué)考試）《念奴嬌·赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文采風(fēng)流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽符．”則這位風(fēng)流人物去世的年齡為歲．【答案】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)“十位恰小個位三，個位平方與壽符”以及十位數(shù)字個位數(shù)字個位數(shù)字的平方，據(jù)此列方程可得答案，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這位風(fēng)流人物去世的年齡十位數(shù)字為，則個位數(shù)字為，則根據(jù)題意：，整理得：，解得，，由題意，而立之年督東吳，則舍去，∴這位風(fēng)流人物去世的年齡為歲，故答案為：．考點七、點到圓的距離19．（23-24九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知P是內(nèi)一點點P不與圓心O重合，點P到圓上各點的距離中，最小距離與最大距離是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的半徑為．【答案】6【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，點與圓上各點的距離的最值，明確最小距離與最大距離的和等于圓的直徑是解題關(guān)鍵．由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，則最小距離與最大距離的和等于圓的直徑．【詳解】解：設(shè)最小距離為m，最大距離為n，由根與系數(shù)的關(guān)系得，是內(nèi)一點，點P到圓上各點的距離中，最小距離與最大距離的和等于圓的直徑，即圓的直徑是12，圓的半徑是故答案為：620．（23-24九年級下·江蘇南京·自主招生）已知的長為10，平面內(nèi)存在兩個動點P，Q，使得，，以下結(jié)論正確的是．①的最小值是7，最大值是13；②的最大值是9；③的最小值是1；④的最大值是10．【答案】①②③【分析】本題考查了勾股定理，作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．先證明，這是解答第一步．①利用圓外一點到圓上一點求最值即可．②③④均利用三角形三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】解：取中點D，連，過點P作于點M，以B為圓心，為半徑作，為直徑．

∴設(shè)，設(shè)，則．∵，又∵，∴，∴，∴．①如圖，最小，最大，故①正確．②如圖，，∴最大，故②正確．③如圖，，∴最小，故③正確．④如圖，，∴最大，故④錯誤．故答案為：①②③．考點八、求圓中的最大（?。┲祮栴}21．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，中，是的高，，則；若以點C為圓心，半徑為2作，點E是上一動點，連接，點F是的中點，則線段的最小值是．

【答案】5【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理即可求得長度；連接，則，當(dāng)最小時，最小，此時E點在線段上時，最小，從而，最后求得最小值即可．【詳解】解：∵是的高，∴，，由勾股定理得：；如圖，連接，∵點F是的中點，點D是中點，∴是的中位線，∴，∴當(dāng)最小時，最小，當(dāng)E、C、B三點共線，且E點在線段上時，最小，從而最小，而，∴最小值為．

故答案為：5；．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線，圓外一點與圓上點的最值等知識，構(gòu)造輔助線，運用中位線定理是解題的關(guān)鍵．22．（2024·浙江溫州·三模）如圖，已知中，，，，點是邊上的動點，以為直徑作，連接交于點，則的最小值為．【答案】/【分析】本題考查了勾股定理、直徑所對的圓周角是直角、求一點到圓上點距離的最值，分析得出“動點在以中點為圓心，為半徑的圓上運動”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理計算，由直徑所對的圓周角是直角，推出，推出動點在以中點為圓心，為半徑的圓上運動，當(dāng)，，在同一直線上時，最小，根據(jù)勾股定理求出，則，計算得出答案即可．【詳解】解：∵中，，，，∴，如圖，連接，∵以為直徑作，∴，∴，∴如圖，動點在以中點為圓心，為半徑的圓上運動，∴，∴當(dāng)，，在同一直線上時，最小，，∴，即的最小值，故答案為：．23．（22-23九年級下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點在以點為圓心，半徑為2的圓上運動，過點作軸于點，以為對角線作矩形，連接，則對角線的最小值為．

【答案】3【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，確定點位置是解題的關(guān)鍵．過點作軸的垂線與的交點即為，垂足為點，此時的矩形的對角線有最小值，結(jié)合點坐標可求解的最小值，根據(jù)矩形的對角線相等可求解．【詳解】解：過點作軸的垂線與的交點即為，垂足為點，此時的矩形的對角線有最小值，

，，的半徑為2，即，，四邊形為矩形，，即對角線的最小值為3．故答案為：3．24．（21-22九年級上·安徽蕪湖·期末）如圖，是半圓的直徑，，點在半圓上，，是弧上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點移動的過程中，的最小值是．【答案】/【分析】連接，取的中點，連接，由題意先判斷出點在以點為圓心，為半徑的圓上，當(dāng)、、三點共線時，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的長，再利用勾股定理，求出的長，再利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出的長，再由，即可算出的長．【詳解】解：如圖，連接，取的中點，連接，∵，∴點在以點為圓心，為半徑的圓上，當(dāng)、、三點共線時，取得最小值，∵是直徑，∴，在中，∵，，∴由勾股定理得：，∵為的中點，∴，在中，∵，，∴由勾股定理得：，又∵，且點為的中點，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理解三角形，直徑所對的圓周角為直角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，能夠判斷出動點的運動軌跡是解本題的關(guān)鍵．25．（2024·江蘇鹽城·二模）如圖，是的直徑，點C是上一動點，連接，點D在直徑上，，連接并延長交于點E，若，則的最大值是．【答案】8【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，圓的基本概念，連接，根據(jù)，當(dāng)O，D重合時，則有最大值，有．【詳解】解：如圖，連接，∴，當(dāng)O，D不重合時，在中，兩邊之和大于第三邊，∴．又，即∴∵∴∴∵∴即∴當(dāng)O，D重合時，如圖，有，故綜上得：，故答案為：8．考點九、垂徑定理求線段的長26．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）已知的直徑為10，點P到圓心O的距離為3，則經(jīng)過點P的弦為整數(shù)的有條．【答案】4【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是確定過點P的弦的范圍問題，需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，利用勾股定理求解．過點最長的弦是10，根據(jù)已知條件，可以求出過點的最短的弦是8，故過點的弦的長度在8和10之間，所以過點的弦中長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為4．【詳解】解：如圖所示，作于，，在中，，，，，故過點的弦的長度在8和10之間，弦為9的有2條，所有過點的所有弦中取整數(shù)的有8，9，10．這三個數(shù)，又圓是軸對稱圖形，過點的弦中長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為4．故答案為：4．27．（24-25九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在中，為直徑，點為圓上一點，將劣弧沿弦翻折，交于點，連接．若點與圓心重合，，則半徑等于．【答案】3【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，作點關(guān)于的對稱點，連接，交于點，得到垂直平分，根據(jù)點與圓心重合，得到，，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，連接，交于點，則：垂直平分，∴，∵點與圓心重合，為直徑，∴，∴，在中，由勾股定理，得：，∴，∴；即半徑等于3；故答案為：3．28．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，于點，連接BD，半徑，連接，于點若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，得到，求得，求得，于是得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．考點十、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系29．（22-23九年級下·江蘇南通·期末）如圖所示，點A是半圓上一個三等分點，點B是的中點，點P是直徑上一動點，若的直徑為2，則的最小值是．

【答案】【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，連接，由三角形兩邊之和大于第三邊即可得出此時最小，連接，根據(jù)點是半圓上一個三等分點、點是的中點，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此題得解．本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，軸對稱中最短路線問題，三角形的三邊關(guān)系以及勾股定理，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定取最小值時點的位置是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，連接，此時最小，連接，如圖所示．

點和點關(guān)于對稱，．點是半圓上一個三等分點，點是的中點，，，．，．故答案為：．30．（2024·江蘇揚州·二模）已知銳角如圖，（1）在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑作，交射線于點，連接CD；（2）分別以點，為圓心，CD長為半徑作弧，交于點，；（3）連接，根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．①；②若，則；③；④【答案】①③/③①【分析】由作圖知，再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得．【詳解】解：連接、、，由作圖知，∴，故①正確；∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故②錯誤；∵，∴，∴，又，∴，∴，故③正確；∵，且，∴，故④錯誤；故答案為：①③．【點睛】本題主要考查作圖復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定及性質(zhì)，圓周角定理，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，以及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓心角定理和圓周角定理等知識點．31．（18-19九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，圓的兩條弦相交于點，、的度數(shù)分別為，的度數(shù)為，則，和之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】【分析】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，三角形的外角等知識，連接，求出，，再利用三角形的外角的性質(zhì)求即可，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【詳解】連接，由題意得：，，又∵，∴，故答案為：．考點十一、圓周角的性質(zhì)及推論32．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知點在上，若，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查的是圓周角定理，分兩種情況，由圓周角定理即可求得的度數(shù)，然后由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得的度數(shù).【詳解】解：如圖，當(dāng)點在位置時，，，，，綜上，的度數(shù)為或，故答案為：或33．（20-21九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）在半徑為1的中，弦AB的長等于的半徑，則弦AB所對圓周角等于．【答案】或【分析】此題考查了圓周角定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．首先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)“中的弦AB長等于半徑長”得到等邊三角形，則弦所對的圓心角為度，要求這條弦所對的圓周角分兩種情況：圓周角的頂點在弦所對的劣弧或優(yōu)弧上，利用圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出兩種類型的圓周角．【詳解】解：如圖，∵AB為的弦，且，∴為等邊三角形，∴，∴，∴．都是弦AB所對的圓周角．所以圓的弦長等于半徑，則這條弦所對的圓周角是或．故答案為：或．34．（22-23八年級下·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖所示，在以為圓心，為直徑的半圓上有，兩個不同的點，點在上，且，如果弧，則弧的度數(shù)是．【答案】/20度【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是作出輔助線．連接，可求得，再由，可證得點A、C、P、B四點共圓，可得，可求得，，據(jù)此即可求得．【詳解】解：如圖：連接，弧，，，點A、C、P、B四點共圓，，，，，，，弧的度數(shù)為；故答案為：．考點十二、利用直線與圓的位置關(guān)系求半徑的范圍35．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，，，若與射線只有一個交點，則半徑r的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，含的直角三角形．熟練掌握圓與直線的位置關(guān)系，含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．如圖，作于，則，當(dāng)時，與射線相切，此時只有一個交點；當(dāng)時，與射線只有一個交點；然后作答即可．【詳解】解：如圖，作于，∵，∴，∴當(dāng)時，與射線相切，此時只有一個交點；當(dāng)時，與射線有兩個交點；∴當(dāng)時，與射線只有一個交點；綜上，當(dāng)與射線只有一個交點時，半徑r的取值范圍是或，故答案為：或．36．（23-24九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，將直線向上平移個單位，若平移后得到的直線與半徑為6的相交（點O為坐標原點），則m的取值范圍為．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法得出直線解析式，再得出平移后得到的直線，求與坐標軸交點的坐標，轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題，再由直線與圓的位置關(guān)系的判定解答．【詳解】解：把點代入直線得，，；由向上平移個單位后得到的直線l所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，設(shè)直線l與x軸、y軸分別交于點A、B，如圖所示當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，即，；在中，，過點O作于D，，，解得，由直線與圓的位置關(guān)系可知，解得故答案為：【點睛】此題主要考查直線與圓的關(guān)系，一次函數(shù)圖象的平移，關(guān)鍵是根據(jù)待定系數(shù)法、勾股定理、直線與圓的位置關(guān)系等知識解答．37．（23-24九年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）在中，，，．以點為圓心，為半徑的圓作⊙C，若邊與⊙C只有一個公共點，則半徑r的取值范圍為．【答案】或【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，若，則直線與圓相交；若，則直線與圓相切；若，則直線與圓相離．此題注意考慮兩種情況，因為要使圓與斜邊只有一個公共點，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個交點在斜邊上.【詳解】解：過點作于點，∵在中，，，，，，如圖，當(dāng)與和相切時，則的半徑為；當(dāng)和相交，且只有一個交點在斜邊上時，則．故半徑r的取值范圍是或．故答案為或．考點十三、切線的性質(zhì)與判定38．（2023九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點，點，的半徑為2．當(dāng)圓心與點重合時，與直線的位置關(guān)系為；若圓心從點開始沿軸移動，當(dāng)時，與直線相切．【答案】相離；或．【分析】本題作于點，根據(jù)已知得出，再由，求得，即可知與直線相離；要使與直線相切，可分兩種情況，①當(dāng)點在點的左側(cè)，設(shè)與直線相切于點，連接，證明，得，求得，則；②當(dāng)點在點的右側(cè)，設(shè)與直線相切于點，連接，可證明，得，根據(jù)，即可解題．【詳解】解：作于點，點，點，,，，,,，的半徑為2，且，當(dāng)圓心與點重合時，與直線的距離大于的半徑，與直線相離；要使與直線相切，可分以下兩種情況：①當(dāng)點在點的左側(cè)，設(shè)與直線相切于點，連接，則，，，，，，；②當(dāng)點在點的右側(cè)，設(shè)與直線相切于點，連接，則，，在和中，，，，當(dāng)或時，與直線相切．故答案為：相離；或．【點睛】考查了圖形與坐標、勾股定理、直線與圓的位置關(guān)系、切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及根據(jù)面積等式求線段的長度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運用，即可解題．39．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，正方形的邊長為4，以為直徑作半圓E，過點D作切半圓E于點G，交于點F，則的長為．【答案】1【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，切線長定理的應(yīng)用，先證明，．設(shè)，再表示，，再利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：∵，，∴，為半圓E的切線，又∵為半圓E的切線，∴，．設(shè)，則有，，在中，由勾股定理得，即，解得．故答案為：．40．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，半圓的直徑，中，，，，半圓以的速度從左向右運動，在運動過程中，點、始終在直線上，設(shè)運動時間為，．當(dāng)半圓與的邊相切時，運動時間．【答案】2或8或14【分析】本題考查平移性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，分點E與C重合時和點E與D重合時，半圓與相切；點O與C重合時，半圓與相切時三種情況，利用平移性質(zhì)和切線的判定與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合計算求解即可．運用分類討論思想是解答的關(guān)鍵【詳解】解：∵半圓的直徑，∴半圓的半徑,①如圖1，當(dāng)點E與C重合時，，則半圓與相切，此時點O運動了，∴運動時間；②如圖2，當(dāng)點E與D重合時，則，∴半圓與相切，此時點O運動了，∴運動時間；③如圖3，過C作于F，∵，，∴，當(dāng)半圓與相切時，O到的距離等于半徑，∴點O與C重合，此時點O運動了，∴運動時間綜上，當(dāng)半圓與的邊相切時，運動時間2或8或14，故答案為：2或8或14．41．（21-22九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，半徑為1的與直線l相切于點A，C為上的一點，于點B，則的最大值是．【答案】/【分析】延長到點D，使，則，當(dāng)與相切于點C時，最大，則此時連接并延長交延長線于點E，則，根據(jù)，可得，根據(jù)勾股定理可得的長，進而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長到點D，使，則，當(dāng)與相切于點C時，最大，則此時連接并延長交延長線于點E，則，∵，∴，∵，∴，∵與直線l相切于點A，∴，∴，∴，連接，則，在中，，根據(jù)勾股定理，得，∴．∴的最大值是：．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．考點十四、切線長定理的綜合42．（22-23九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，：：：：，在內(nèi)自由移動，若的半徑為，且圓心在內(nèi)所能到達的區(qū)域的面積為，則的周長為．【答案】25【分析】如圖，由題意點所能到達的區(qū)域是，連接，延長交于，作于，于，作于利用相似三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式求出，再證明≌，推出，，，設(shè)，在中，則有，推出，由，推出，推出，可得，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，由題意點所能到達的區(qū)域是，連接，延長交于，作于，于，作于．，，，，，∽，：：：：：：，設(shè)，，，或舍棄，，四邊形是矩形，，設(shè)，，，，，，≌，，，，設(shè)，在中，則有，，，，，，，，，，的周長，故答案為．【點睛】本題考查動點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．43．（20-21九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D為BC邊的中點，O為AD上一點，⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為．【答案】【分析】過點O作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．根據(jù)切線的性質(zhì)，知OE、OF是⊙O的半徑；然后由三角形的面積間的關(guān)系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出關(guān)于圓的半徑的等式，求得圓的半徑．【詳解】解：過點O作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．∵AB、BC是⊙O的切線，∴點E、F是切點，∴OE、OF是⊙O的半徑；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴由勾股定理，得BC＝6；又∵D是BC邊的中點，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB?OE+BD?OF＝CD?AC，即10×OE+3×OE＝4×6，解得OE＝，∴⊙O的半徑是，故答案為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形和勾股定理的應(yīng)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．44．（20-21九年級上·江蘇常州·期中）如圖，點是正方形的中心，與相切于點，連接若，則的面積是．【答案】25【分析】連接EO，可知EO⊥ED，延長DE到點F，作BF⊥DF，根據(jù)題意可知△DEO∽△DFB，在△EFB中，，根據(jù)勾股定理求解得出半徑的長，然后再根據(jù)圓的面積公式求解即可；【詳解】如圖：連接EO，可知EO⊥ED，延長DE到點F，作BF⊥DF，∵∠FDB=∠EDO，∠DEO=∠DFB，∴△DEO∽△DFB，∵EO=r，ED=10，EB=，∵DO=OB，∴，∴EF=10，F(xiàn)B=2r，在△EFB中，，，∴r=5，∴圓的面積為，故答案為：【點睛】本題考查了圓的面積公式、相似三角形的判定、勾股定理等知識，熟練掌握這些公式是解題的關(guān)鍵；考點十五、三角形的內(nèi)切圓45．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在中，，是的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，若，，則的半徑為．【答案】1【分析】連接、．由已知條件可得出，，結(jié)合已知條件證明四邊形是正方形，由正方形的性質(zhì)可得出，根據(jù)切線長定理可得，，進而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：連接、．∵內(nèi)切于，∴，，又∵，∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，∴．．∵內(nèi)切于，∴，，∵，，∴，，在中，即．解得：，（舍去），故的半徑為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，正方形的判定以及性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，正方形的判定以及性質(zhì)，切線長定理是解題的關(guān)鍵．46．（22-23九年級上·江蘇鹽城·期中）以正方形的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交AB邊于點E，若的周長為12，則正方形的邊長為．【答案】4【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、切線長定理等知識點，利用正方形的性質(zhì)和圓的切線的判定得出均為圓O的切線是解題關(guān)鍵．根據(jù)切線長定理可得，然后根據(jù)的周長可求出正方形的邊長．【詳解】解：在正方形中，，，∵與半圓相切于點，以正方形的AB邊為直徑作半圓O，∴與半圓相切，，∵的周長為12，，，∵，正方形的邊長為4．故答案為：4．47．（21-22九年級·江蘇南京·自主招生）已知在中，，，，半徑為1的圓在三角形內(nèi)移動，圓可以與三角形的邊相切，則該圓能到達的面積為．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)定理，切線長定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，根據(jù)平移得出圖①中圓不能到達的部分即為圖②中外部．根據(jù)題意畫出圖形，先求出圓不能到達的面積，再用三角形的面積減去圓不能到達的面積即可．【詳解】解：∵該圓與三角形三邊相切，∴，∵，∴，將四邊形平移后如圖所示：則圖①中圓不能到達的部分即為圖②中外部，∵半徑為1，且與三邊相切，∴，，∴四邊形為正方形，，，設(shè)，，則，由平移可得：，∴解得：，∴，∴圖②中外部面積，∴該圓能到達的面積，故答案為：．48．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，，，將沿翻折得到，若經(jīng)過的內(nèi)心I，則的長為．【答案】2【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確應(yīng)用內(nèi)心的性質(zhì)．由中，，，將沿翻折得到，若經(jīng)過的內(nèi)心I，先得，，得，又得的面積：的面積，，即，【詳解】解：由中，，，將沿翻折得到，若經(jīng)過的內(nèi)心I，∴，∴，∴，因為∴，∴，即，即，∴，由，作，，∴，∴的面積：的面積，∴，即，∴．故答案為：2．49．（2024·江蘇揚州·二模）如圖，中，，，，，的內(nèi)切圓半徑分別記為，，，若，，則．【答案】【分析】根據(jù)已知條件證明，，利用三角形面積比解答即可．本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：令，，，在中，，可得：，，，又，，，即：，，同理可得：，，，即：，∵，，的內(nèi)切圓半徑分別記為，，，，，，；，，，．故答案為：．50．（23-24九年級上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，點I是的內(nèi)心，，，，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練作出輔助線是解題的關(guān)鍵，過點B作交延長線于點D，根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)可得，進而求得，再利用解直角三角形求出，進而可求解．【詳解】解：過點B作交延長線于點D，點I是的內(nèi)心，在直角三角形中，，故答案為：．考點十六、正多邊形與圓51．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416，如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正八邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正六邊形近似估計的面積，可得的估計值為．（結(jié)果保留根號）

【答案】/【分析】本題考查了正多邊形與圓的綜合，掌握等邊三角形的判定及性質(zhì)、含角的直角三角形的特征是解題的關(guān)鍵．連接、，作于，利用正多邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)等邊三角形的判定及性質(zhì)得進而可得，再利用割補法求得正六邊形的面積，進而可求解．【詳解】解：連接、，作于，如圖：

∵六邊形是正六邊形，，，，，，∴，，，∴的估計值為故答案為：．52．（2024·廣東惠州·二模）如圖，在正八邊形中，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，，若，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了正多邊形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形；連接，，作，，，根據(jù)題意得出，，進而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，作，，，由正八邊形性質(zhì)得，，，∵，，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，，由正八邊形性質(zhì)得，∴，∵，∴，同理，∴，∴．故答案為：．53．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為2，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的半徑為．

【答案】2【分析】此題考查了位似圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、正多邊形與圓等知識，連接，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到正方形與正方形的面積比為，則正方形的面積為8，得到正方形的邊長為，用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：連接，

∵正方形與正方形是位似圖形，，∴正方形與正方形的面積比為，∵正方形面積為2，∴正方形的面積為8，∴正方形的邊長為，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴四邊形的外接圓的半徑為2，故答案為：2.54．（2024·河北石家莊·三模）將7個邊長均為1的正六邊形不重疊、無縫隙地按如圖所示擺放．（1）；（2）已知點在邊上，則的最大值為．【答