工程力學(xué)力的平移定理04

平面任意力系：各力的作用線位于同一平面內(nèi)，但既不匯交

于一點(diǎn)又不相互平行的力系叫平面任意力系。研究方法：平面任意力系(未知)平面匯交力系(已知)平面力偶系(已知)§4–1力的平移定理：作用在剛體上的力可以平行移動(dòng)到剛體上的任一點(diǎn)而不

改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，

其力偶矩等于原來的力對(duì)新的作用點(diǎn)的力矩。ABdABdABM==∴平移等效可知：平移時(shí)力的大小、方向不變，M

隨平移點(diǎn)的位置而變?！嗥揭啤?–2平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化一、平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化力的平移定理平面任意力系平面匯交力系：平面力偶系：A1A2AnO平面匯交力系合力：平面力偶系合力偶矩：MO的作用線過O點(diǎn)，稱為平面任意力系的主矢。稱MO

為平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心

O點(diǎn)的主矩。MOOM1M2M3O=平面任意力系平面匯交力系：平面力偶系：平面匯交力系合力：平面力偶系合力偶矩：MO結(jié)論：平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，

這個(gè)力等于該力系的主矢，力的作用線通過簡(jiǎn)化中心

O點(diǎn)，這個(gè)力偶的力偶矩等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心

O點(diǎn)

的主矩?？芍篛點(diǎn)位置不同時(shí)，主矢不變，主矩

MO不同。力的平移定理A1A2AnOMOOM1M2M3O=力的平移定理MO取坐標(biāo)系Oxy，則O主矢的解析式：xy對(duì)O點(diǎn)主矩的解析式：=A1A2AnOM1M2M3OA固定端(插入端)的約束力：如：雨棚車刀AAMAMA認(rèn)為固定端受一平面任意力系作用；將平面任意力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化，得一力：一力偶：MA限制物體移動(dòng)。限制物體轉(zhuǎn)動(dòng)。固定端約束力：二、平面任意力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果簡(jiǎn)化結(jié)果：1.平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶若此時(shí)原力系簡(jiǎn)化為一力偶，其力偶矩為，且為一常量。即

MO與O點(diǎn)位置無關(guān)(力偶對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩都相同)。2.平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力若合力的作用線過O點(diǎn)。原力系簡(jiǎn)化為一合力，且若原力系簡(jiǎn)化為一力，一力偶，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一力。MOOAdOAdOMO作用線通過A點(diǎn)，3.平面任意力系平衡的情形若則平面任意力系平衡。MO=FR·d§4–3平面任意力系的平衡條件一、平面任意力系平衡方程的基本形式簡(jiǎn)化結(jié)果：主矢

，主矩

MO若時(shí)，力系向其他點(diǎn)簡(jiǎn)化也均為零，

力系一定平衡——充分性；反之，若要力系平衡，、MO必須為零——必要性?！嗥矫嫒我饬ο档钠胶鈼l件：、MO均為零。即：而：∴得平衡方程力系各力在x軸上投影的代數(shù)和為零；力系各力在y軸上投影的代數(shù)和為零；力系各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。二、平面任意力系平衡方程的二力矩形式與三力矩形式其中A、B為任意兩點(diǎn)，但

A、B連線不得垂直于

x軸(或y軸)。1.二力矩形式2.三力矩形式其中

A、B、C為任意三點(diǎn)，但

A、B、C三點(diǎn)不得共線。當(dāng)平面任意力系平衡方程用于平面匯交力系時(shí)：對(duì)力系匯交點(diǎn)總有：∴只需當(dāng)平面任意力系平衡方程用于平面力偶系時(shí)：總有：∴只需三、平面平行力系的平衡條件平面平行力系：力系中各力作用線位于同一平面且相互平行。設(shè)力系各力平于

y軸：即總有：∴只需可求解二各未知量。則各力在

x軸上的投影均為零，也可用二力矩形式：其中

A、B連線不得與各力平行。例1支架的橫梁AB與斜桿DC彼此以鉸鏈C連接，并各以鉸鏈A、

D連接于鉛直墻上，如圖所示。已知桿AC=CB，桿DC與

水平線成45o角；載荷F=10kN，作用于B處。設(shè)梁和桿的

重量忽略不計(jì)，求鉸鏈A的約束力和桿DC所受的力。ABDCFABC1.取AB桿為研究對(duì)象；3.選坐標(biāo)系，列平衡方程解：2.作受力圖；SFx=0FAx

+FCcos45o

=0SFy=0FAy

+FCsin45o–F

=0SMA(F)=0FCcos45o·l–F·2l

=04.求解FC=28.28kNFAx

=–20kNFAy

=–10kNFFCFAyFAxll45o例2伸臂式起重機(jī)如圖所示，勻質(zhì)伸臂AB重P=2200N，吊車

D、E連同吊起重物各重F1=F2=4000N。已知：l=4.3m，

a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m，a=25o。

試求A處的約束力，以及拉索

BH

的拉力。DEaacbBHACF1F2lP解：1.取伸臂AB為研究對(duì)象2.受力分析如圖yxBAFBPF2F1ECDFAyFAxayxBAFBPF2F1ECDFAyFAxa3.選如圖坐標(biāo)系，列平衡方程SFx=0FAx–

FBcosa

=0SFy=0FAy–F1–P–F2+FBsina=0SMA(F)=04.聯(lián)立求解FB

=12456NFAx=11290NFAy=4936N例3外伸梁的尺寸及載荷如圖所示，F(xiàn)1=2kN，F(xiàn)2=1.5kN，

M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m。

試求支座A及支座B的約束力。

F1ABl2l1llF2M60o1.取梁為研究對(duì)象解：2.受力分析如圖3.選坐標(biāo)系，列平衡方程ABxyFAxFAyF1FBF2M60oSFx=0FAx–

F2cos60o

=0SFy=0FAy+FB–F1–F2sin60o=0SMA(F)=0FBl2–M

–F1l1–F2sin60o(l1+l2)

=04.求解FB

=3.56kN

FAx=0.75kN

FAy=–0.261kNAB例4如圖所示為一懸臂梁，A為固定端，設(shè)梁上受分布集度為

q的均布載荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M

作用，梁的跨度為l。試求固定端的約束力。ABlqFM45o2.受力分析如圖1.取梁為研究對(duì)象解：3.選坐標(biāo)系，列平衡方程qABxyMFFAyMAlFAx45oSFx=0FAx–

F

cos45o

=0SFy=0FAy–ql–Fsin45o=0SMA(F)=0MA–ql·l/2–F

cos45o·l+M

=04.求解FAx=0.707F

FAy=ql+0.707F

BAD1mq2mM解：1.取梁AB為研究對(duì)象2.受力分析如圖BA其中F=q×AB=300N，作用在AB的中點(diǎn)C處。3.選坐標(biāo)系，列平衡方程。yxSFx=0FAx

=0SFy=0FAy–F+FD=0SMA(F)=0DFFAyFAxFDCM例5梁AB上受到一個(gè)均布載荷和一個(gè)力偶作用，已知載荷集度

(即梁的每單位長(zhǎng)度上所受的力)q=

100N/m，力偶矩

M=

500N·m。長(zhǎng)度AB=3m，DB=1m。

試求活動(dòng)鉸支座

D和固定鉸支座A的約束力。例5梁AB上受到一個(gè)均布載荷和一個(gè)力偶作用，已知載荷集度

(即梁的每單位長(zhǎng)度上所受的力)q=

100N/m，力偶矩

M=

500N·m。長(zhǎng)度AB=3m，DB=1m。

試求活動(dòng)鉸支座

D和固定鉸支座A的約束力。3.選坐標(biāo)系，列平衡方程。SFx=0FAx

=0SFy=0FAy–F+FD=0SMA(F)=04.聯(lián)立求解FD=475NFAx=0FAy=–175NBAD1mq2mMBAyxDFFAyFAxFDCMyx例6某飛機(jī)的單支機(jī)翼重

G=7.8kN。飛機(jī)水平勻速直線飛行時(shí)，

作用在機(jī)翼上的升力

F=27kN，力的作用線位置如圖示，

其中尺寸單位是mm。試求機(jī)翼與機(jī)身連接處的約束力。25802083770ABCFG解：1.取機(jī)翼為研究對(duì)象2.受力分析如圖BAGFAyFAxMACF3.選坐標(biāo)系，列平衡方程。SFx=0FAx

=0SFy=0FAy–G+F

=0SMA(F)=04.聯(lián)立求解FAx=0N

FAy=-19.2kNMA=-38.6kN·m(順時(shí)針）例7塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)架重G1=700kN，作用線通過塔架的中心。

最大起重量G2=200kN，最大懸臂長(zhǎng)為12m，軌道AB的間距為4m。

平衡荷重G3到機(jī)身中心線距離為6m。試問：

(1)保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)都不翻倒，求平衡荷重G3應(yīng)為多少?(2)若平衡荷重G3=180kN，求滿載時(shí)軌道A，B給起重機(jī)輪子的約束力？AB2m

2m6m12mG1G2G3FBFAAB6m12mG1G2G32m

2mFBFA解：1.取起重機(jī)為研究對(duì)象2.受力分析如圖SMB(F)=03.列平衡方程SMA(F)=0G3×(6+2)+G1×2–G2×(12-2)–FA×4

=0G3×(6–2)–G1×2–G2×(12+2)+FB×4=0AB6m12mG1G2G32m

2mFBFA4.起重機(jī)不翻倒時(shí)平衡荷重G3(1)滿載時(shí)(G2=200kN)不繞B點(diǎn)翻倒應(yīng)有FA≥0，即臨界情況下為FA=0，可得G3min8G3min+2G1–10G2=0∴G3min=75kN(2)空載時(shí)(G2=0)不繞A點(diǎn)翻倒應(yīng)有FB≥0，即臨界情況下為FB=0，可得G3max2G1–4G3max=0∴G3max=350kN∴有75kN＜G3＜350kNAB6m12mG1G2G32m

2mFBFA5.取G3=180kN，求滿載(G2=200kN)

時(shí)軌道A，B對(duì)起重機(jī)的約束力FA、

FB。=210kN=870kN§4–5靜定與靜不定問題的概念1A2F匯交力系未知力數(shù)：平衡方程：F1ABF2平行力系未知力數(shù)：平衡方程：F1、F2FA、FB任意力系未知力數(shù)：平衡方程：FAx、Fay、MAAMA靜定問題：未知力數(shù)

≤

靜力平衡方程數(shù)A31A2F匯交力系未知力數(shù)：平衡方程：F1ABF2平行力系未知力數(shù)：平衡方程：、F3、FCBF1、F2FA、FB任意力系未知力數(shù)：平衡方程：FAx、FAy、MAC、FBMA在靜定問題上再加上多余約束，則成為靜不定問題。此時(shí)僅由靜力平衡方程不能求解全部未知量。靜不定問題(超靜定問題)：未知力數(shù)

>

靜力平衡方程數(shù)須建立補(bǔ)充方程求解，在材料力學(xué)中研究。注意：實(shí)際中多余約束可提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性，并

不多余。多余約束只是針對(duì)結(jié)構(gòu)平衡而言是多余的。A31A2FF1ABF2BCMA如：

物系外力：物系外其他物體對(duì)物系的作用力叫物系外力。剛體系：由若干個(gè)剛體通過約束所組成的系統(tǒng)。又稱為物系?！?–4剛體系的平衡qBADMFCHE物系內(nèi)力：物系內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫物系內(nèi)力。如：主動(dòng)力、約束力。

如：左圖中AC桿與CE桿在C鉸鏈處的相互作用力。

物系平衡的特點(diǎn)：①物系靜止②物系平衡時(shí)，其中每一物體也處于平衡狀態(tài)，滿足各自的

平衡條件。③對(duì)每一物體都可列出相應(yīng)的獨(dú)立平衡方程，其總和即為物

系具有的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。設(shè)物系由

n

個(gè)物體組成，每個(gè)物體均受平面任意力系作用，

其平衡方程數(shù)為

3，則物系的獨(dú)立平衡方程數(shù)為3n

個(gè)，可求

解3n個(gè)未知量。當(dāng)物系中某些物體受平面匯交力系或平面平行力系作用時(shí)，其平衡方程數(shù)應(yīng)相應(yīng)減少。若物系未知量數(shù)不多于物系的獨(dú)立平衡方程數(shù)時(shí)，為靜定問題，否則為靜不定問題。未知力數(shù)：平衡方程數(shù)：3×2=6FAx、FAy、MA、FCx、FCy、FB未知力數(shù)：∴為靜定問題。FAx、FAy、MA、FCx、FCy、

FBx、FBy平衡方程數(shù)：3×2=6qAMF1CBF2BqAMF1CF2∴為靜不定問題。對(duì)靜定問題，可列出每一物體的平衡方程，再組成方程組聯(lián)立求解，但常要進(jìn)行較繁的數(shù)學(xué)運(yùn)算。在解題時(shí)，若能選取適當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象，列出必須足夠的平衡方程，可使運(yùn)算過程簡(jiǎn)便。求解物系平衡問題的一般方法：qAMF1CBF2由整體局部或：由局部整體例7如圖所示為曲軸沖床簡(jiǎn)圖，由輪I，連桿AB和沖頭B組成。

A，B兩處為鉸鏈連接。OA=R，AB=l。如忽略摩擦和物體

的自重，當(dāng)OA在水平位置，沖壓力為

F

時(shí)系統(tǒng)處于平衡狀

態(tài)。求(1)作用在輪I上的力偶矩

M

的大??；(2)軸承O處的

約束反力；(3)連桿AB受的力；(4)沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。ABOMFIa解：1.取沖頭為研究對(duì)象受力分析如圖列平衡方程ByxFBFNFa求解得：OAABOMFIa2.取輪I為研究對(duì)象受力分析如圖列平衡方程求解得：yxFOxFOyFAM例8

三鉸拱橋及尺寸如圖所示，由左右兩段用鉸鏈C連接，又用

鉸鏈A，B與基礎(chǔ)相連接。已知每段重G=40kN，重心分別

在D，E處，且橋面受一集中載荷F=10kN。

設(shè)各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時(shí)各鉸鏈中的力。ABCDEGF3mG1m6m6m6m解：DCAEBCyxFAxFAyFCxFCyGGFF'CxF'CyFBxFBy1.取AC段為研究對(duì)象受力分析如圖列平衡方程SFx=0FAx–FCx

=0SFy=0FAy–G–FCy

=0SMC(F)=0FAx×6

–FAy×6+G×5

=02.取BC段為研究對(duì)象受力分析如圖列平衡方程SFx=0FBx+F'Cx

=0SFy=0FBy+F'Cy

–G–F

=0SMC(F)=0FBx×6

+FBy×6–F×3

–G×5

=0DCAEBCyxFAxFAyFCxFCyGGFF'CxF'CyFBxFBy列平衡方程SFx=0FAx–FCx

=0SFy=0FAy–G–FCy

=0SMC(F)=0FAx×6

–FAy×6+G×5

=0列平衡方程SFx=0FBx+F'Cx

=0SFy=0FBy+F'Cy

–G–F

=0SMC(F)=0FBx×6

+FBy×6–F×3

–G×5

=0聯(lián)立求解得：FAx=-FBx

=FCx=9.17kNFAy=42.5kNFBy=47.5kNFCy=2.5kN此時(shí)求解過程較繁。DAEBCGGFyxFAxFAyFBxFBy若先取整體為研究對(duì)象受力分析如圖列平衡方程SFx=0FAx+FBx

=0SFy=0FAy+FBy–G–G–F=0SMA(F)=0FBy×12

–F×9–G×1–

G×11=0再取BC段為研究對(duì)象受力分析如圖列平衡方程SFx=0FBx+F'Cx

=0SFy=0FBy+F'Cy

–G–F

=0SMC(F)=0FBx×6

+FBy×6–F×3

–G×5

=0EBCF'CxF'CyGFFBxFBy∴FBy=47.5kNFAy=42.5kNFBx=-9.17kNFCx=9.17kNFCy=2.5kNFAx=9.17kNl/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4例9組合梁AC和CE用鉸鏈C相連，A端為固定端，E端為活動(dòng)鉸

鏈支座。受力如圖所示。已知：l=8m，F(xiàn)=5kN，均布載荷

集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN·m。

試求固定端A，鉸鏈C和支座E處的約束力。解：1.取CE段為研究對(duì)象2.受力分析如圖3.列平衡方程DCEMl/4l/8F1GFCFESFy=0SMC(F)=04.聯(lián)立求解FE=2.5kN，F(xiàn)C=2.5kN6.列平衡方程SFy=0SMA(F)=07.聯(lián)立求解FA=12.5kN，MA=30kN·mACHl/8l/8l/4IFF2FAMA5.取AC段為研究對(duì)象，

受力分析如圖l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4例10剛架結(jié)構(gòu)的尺寸和載荷如圖所示。

試求A，B支座及C鉸鏈處的約束力。GqABCbaa/2a/2MABC解：1.取剛架整體為研究對(duì)象受力分析如圖列平衡方程FAxFAyFBxFByyxSFx=0FAx+FBx+qb=0SFy=0FAy+FBy–G

=0SMB(F)=0求解得：GqMAC2.取剛架左半部為研究對(duì)象受力分析如圖列平衡方程SFx=0FAx+FCx+qb=0SFy=0FAy+FCy=0SMC(F)=0求解得：yxFAxFAyFCxFCyGqABCbaa/2a/2Mq一、力的平移定理1.一力偶二、平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的最后結(jié)果本章小結(jié)：平面任意力系習(xí)題課是力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)。平移2.一合力3.平衡基本形式A、B連線不得⊥x軸A、B、C不得共線三、平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程A、B連線不得與各力平行二力矩形式三力矩形式二力矩形式若力系各力平于

y軸：平面匯交力系的平衡方程：平面力偶系的平衡方程：四、靜定與靜不定問題的概念五、物系平衡問題

靜不定問題：未知力數(shù)

>獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù)靜定問題：未知力數(shù)

≤

獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù)物系平衡時(shí)，其中每一物體也處于平衡狀態(tài)。求解物系平衡問題的一般方法：由整體局部或：由局部整體六、解題步驟與技巧1.解題步驟

①選研究對(duì)象

②畫受力圖（受力分析）

③選坐標(biāo)、取矩心、列平衡方程

④求解未知數(shù)2.解題技巧與注意事項(xiàng)①選研究對(duì)象應(yīng)能應(yīng)聯(lián)系已知力和未知力；②不要漏掉固定端約束處的約束力偶；③選坐標(biāo)軸最好與未知力⊥或∥，取矩心最好選在未知力

的匯交點(diǎn)上；④充分發(fā)揮二力桿的直觀性；⑤靈活使用合力矩定理；⑥力偶矩M=常數(shù)，它對(duì)任一點(diǎn)之矩都相等。G2FAG1G3GFBAB3.0m2.5m1.8m2.0m例11一車載式起重機(jī)，車重G1=26kN，起重機(jī)伸臂重G2=4.5kN，

起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重G3

=31kN。尺寸如圖所示。

設(shè)伸臂在起重機(jī)對(duì)稱面內(nèi)，且放在圖示位置。

試求車子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。八、例題分析GG2FAG1G3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m解：1.取汽車及起重機(jī)為研究對(duì)象2.受力分析如圖3.選坐標(biāo)系，列平衡方程SFy=0FA

+FB–G–G1–G2–G3

=0SMB(F)=04.聯(lián)立求解5.由不翻倒的條件：FA≥0得：∴最大起吊重量為Gmax=7.5kN例12

A，B，C，D處均為光滑鉸鏈，物塊重為G，通過繩子繞

過滑輪水平地連接于桿AB的E點(diǎn)，各構(gòu)件自重不計(jì)。

試求B處的約束力。

FBxFAyFAxFByFEFCxFCyGFAxFAy解：1.取整體為研究對(duì)象受力分析如圖列平衡方程SFx=0FAx+FBx–FE

=0求解得：FAx=2.5GFBx=–

1.5G

FBy=–

2G

SMC(F)=0G×5r

–FAx×2r=02.取桿AB為研究對(duì)象受力分析如圖列