2024屆重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)高三下第六次周考綜合試題

2024屆重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)高三下第六次周考綜合試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．2．已知直線是曲線的切線，則（）A．或1 B．或2 C．或 D．或13．已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．4．如果直線與圓相交，則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)M在圓C上 B．點(diǎn)M在圓C外C．點(diǎn)M在圓C內(nèi) D．上述三種情況都有可能5．展開式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12806．為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個貧困縣的調(diào)研工作，每個縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣，則不同的派遣方案共有（）A．24 B．36 C．48 D．647．將函數(shù)的圖象分別向右平移個單位長度與向左平移(>0)個單位長度，若所得到的兩個圖象重合，則的最小值為()A． B． C． D．8．已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，給出下列四個結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②③在上沒有零點(diǎn)；④在上只有一個零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④9．過橢圓的左焦點(diǎn)的直線過的上頂點(diǎn)，且與橢圓相交于另一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，若，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，則的最小值為A． B． C． D．11．設(shè)，，則（）A． B． C． D．12．關(guān)于函數(shù)，有下列三個結(jié)論:①是的一個周期；②在上單調(diào)遞增；③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作圓C：的一條切線，切點(diǎn)為T.若，則的長是______.14．雙曲線的焦距為__________，漸近線方程為________．15．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則_______.16．已知，，，則的最小值是__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（I）若討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，且對于函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，存在，使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證：.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求，；（2）當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；②比較與的大小;（2）當(dāng)時，若對時，，且有唯一零點(diǎn)，證明：．21．（12分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.22．（10分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點(diǎn)，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域?yàn)椋Y(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域?yàn)?若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2、D【解析】

求得直線的斜率，利用曲線的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對于，令，解得，故切點(diǎn)為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積．4、B【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即．也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑．即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．5、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為：化簡求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個括號里出項(xiàng)，第二個括號里出項(xiàng)，或者第一個括號里出，第二個括號里出，具體為：化簡得到-1280x2故得到答案為：A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).6、B【解析】

根據(jù)題意，有兩種分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時，則有種不同的方案；當(dāng)按照進(jìn)行分配，則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.7、B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后，所得的兩個圖像重合，那么，利用的最小正周期為，從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為，那么(∈)，于是，于是當(dāng)時，最小值為，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系，屬于簡單題目.8、A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)情況得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，且，所以在上只有一個零點(diǎn).所以正確結(jié)論的編號②④故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9、D【解析】

求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由，得出，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、、的齊次等式，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件，圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來求解，考查計算能力，屬于中等題.10、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對稱軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．11、D【解析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【詳解】，，則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個判斷即可求出．【詳解】①因?yàn)椋允堑囊粋€周期，①正確；②因?yàn)?，，所以在上不單調(diào)遞增，②錯誤；③因?yàn)?，所以是偶函?shù)，又是的一個周期，所以可以只考慮時，的值域．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，的值域?yàn)?，③錯誤；綜上，正確的個數(shù)只有一個，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出圖像，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知可得，，且，可解出，計算即得.【詳解】如圖，設(shè)，圓心坐標(biāo)為，可得，，，，，解得，，即的長是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及求平面兩點(diǎn)間的距離，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.14、6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.15、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，將已知條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式，求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、．【解析】

因?yàn)?，展開后利用基本不等式，即可得到本題答案.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見證明【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論，以及，即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到，將證明轉(zhuǎn)化為證明即可，再令，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)方法判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）解：易得，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得?①當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.②當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；或時，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.③當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；此時，的減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為：當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.；當(dāng)時，增區(qū)間為.（2）證明：由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得由（1）中得.易知，導(dǎo)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，要證，只要證，即，即證.因?yàn)椋环亮?，則.所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以，即，即.故有（得證）.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值等即可，屬于?？碱}型.18、（1）；（2）【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，運(yùn)用可求得的值，再由在直線上，可求得的值；(2)由已知可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，討論和0的大小關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性求出最大值即可求得的范圍.【詳解】（1）由題得，因?yàn)樵邳c(diǎn)與相切所以，∴（2）由得，令，只需，設(shè)（），當(dāng)時，，在時為增函數(shù)，所以，舍；當(dāng)時，開口向上，對稱軸為，，所以在時為增函數(shù)，所以，舍；當(dāng)時，二次函數(shù)開口向下，且，所以在時有一個零點(diǎn)，在時，在時，①當(dāng)即時，在小于零，所以在時為減函數(shù)，所以，符合題意；②當(dāng)即時，在大于零，所以在時為增函數(shù)，所以，舍.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最小值，屬于中檔題．處理函數(shù)單調(diào)性問題時，注意利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，特別是已知單調(diào)性問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒不小于零，或恒小于零，再分離參數(shù)求解，求函數(shù)最值時分析好單調(diào)性再求極值，從而求出函數(shù)最值．19、（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調(diào)性，得到，再討論，，三種情況，計算得到答案.（2）計算得到，討論，兩種情況，分別計算單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到答案.【詳解】（1），①當(dāng)時恒成立，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以有唯一零點(diǎn)，即符合題意；②當(dāng)時，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)。（i）當(dāng)即,所以符合題意，（ii）當(dāng)即時，因?yàn)?，故存?所以不符題意（iii）當(dāng)時，因?yàn)?，設(shè)，所以,單調(diào)遞增，即，故存在，使得，不符題意；綜上，的取值范圍為。（2）。①當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，即符合題意；②當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以存在，使得，且?dāng)時，。即在上單調(diào)遞減，所以，不符題意。綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，恒成立問題，意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.20、（1）①見解析，②見解析；（2）見解析【解析】

（1）①把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到，再求出，利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；②令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．（2）由題意，，在上有唯一零點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時，在，上單調(diào)遞增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，則，再由在上恒成立，得在上單調(diào)遞減，進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增，由此可得．【詳解】解：（1）①當(dāng)時，，，，又，切線方程為，即；②令，則，在上單調(diào)遞減．又，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即．證明：（2）由題意，，而，令，解得．，，在上有唯一零點(diǎn)．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，在，上單調(diào)遞增．．在恒成立，且有唯一解，，即，消去，得，即．令，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又，，．在上單調(diào)遞增，．【點(diǎn)睛】本題考