2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第七章平行線的證明專項(xiàng)突破19三角形內(nèi)角外角關(guān)系應(yīng)用的七種常見題型習(xí)題課件新版北師大版

第七章平行線的證明專項(xiàng)突破19三角形內(nèi)角、外角關(guān)系應(yīng)用的七種常見題型題型1三角形內(nèi)角和在疊放中的應(yīng)用1.

[2024舟山中學(xué)月考]如圖，有一塊直角三角尺

DEF

放置

在△

ABC

上，三角尺

DEF

的兩條直角邊

DE

，

DF

恰好分

別經(jīng)過點(diǎn)

B

，

C

.

請(qǐng)寫出∠

BDC

與∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ACD

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.2345671解：∠

BDC

＝∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ACD

.

理由如下：∵∠

BDC

＋∠

DBC

＋∠

DCB

＝180°，∠

A

＋∠

ABC

＋

∠

ACB

＝∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ACD

＋∠

DBC

＋∠

DCB

＝

180°，∴∠

BDC

＝∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ACD

.

2345671題型2三角形內(nèi)、外角關(guān)系和垂線結(jié)合中的應(yīng)用2.

[2024荊州期末]如圖，在△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，點(diǎn)

E

在射線

BC

上，

EF

⊥

AD

于點(diǎn)

F

，∠

B

＝40°，∠

ACE

＝76°，求∠

E

的度數(shù).2345671

∴∠

E

＝90°－∠

ADC

＝90°－58°＝32°.2345671題型3三角形內(nèi)角和在翻折中的應(yīng)用3.

【新視角·動(dòng)點(diǎn)探究題】[2024·紹興建功中學(xué)月考]如圖，

在△

ABC

中，∠

ABC

＝40°，

∠

ACB

＝90°，

AE

平分

∠

BAC

，且

AE

交

BC

于點(diǎn)

E

.

P

是邊

BC

上的動(dòng)點(diǎn)(

P

不與

B

，

C

重合)，連接

AP

，將△

APC

沿

AP

翻折得△

APD

，

連接

DC

，記∠

BCD

＝α.(1)如圖，當(dāng)

P

與

E

重合時(shí)，求α的度數(shù)；解：(1)α＝25°.23456713.

【新視角·動(dòng)點(diǎn)探究題】[2024·紹興建功中學(xué)月考]如圖，

在△

ABC

中，∠

ABC

＝40°，

∠

ACB

＝90°，

AE

平分

∠

BAC

，且

AE

交

BC

于點(diǎn)

E

.

P

是邊

BC

上的動(dòng)點(diǎn)(

P

不與

B

，

C

重合)，連接

AP

，將△

APC

沿

AP

翻折得△

APD

，

連接

DC

，記∠

BCD

＝α.(2)當(dāng)

P

與

E

不重合時(shí)，記∠

BAD

＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系.2345671解：(2)Ⅰ.如圖①，當(dāng)點(diǎn)

P

在線段

BE

上時(shí)，∵∠

ADC

＝∠

ACD

＝90°－α，∠

ADC

＋∠

BAD

＝∠

B

＋∠

BCD

，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°.2345671Ⅱ.如圖②，當(dāng)點(diǎn)

P

在線段

CE

上時(shí)，延長(zhǎng)

AD

交

BC

于點(diǎn)

F

.

∵∠

ADC

＝∠

ACD

＝90°－α，∠

ADC

＝∠

AFC

＋α＝∠

ABC

＋∠

BAD

＋α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°.2345671題型4三角形內(nèi)、外角關(guān)系與平行線結(jié)合中的應(yīng)用4.

已知：

AB

∥

CD

，∠

AEB

＝∠

BFC

.

(1)如圖①，求證：∠

AEB

＝∠

ABE

＋∠

DCF

；2345671(1)證明：如圖①，過點(diǎn)

F

作

FH

∥

AB

，則∠1＝∠2.∵

AB

∥

CD

，∴

FH

∥

CD

，∴∠3＝∠

FCD

.

∵∠2＝∠

ABE

，∴∠1＝

ABE

.

∵∠

BFC

＝∠1＋∠3，∴∠

BFC

＝∠

ABE

＋∠

FCD

.

∵∠

AEB

＝∠

BFC

，∴∠

AEB

＝∠

ABE

＋∠

DCF

.

2345671

4.

已知：

AB

∥

CD

，∠

AEB

＝∠

BFC

.

2345671(2)解：補(bǔ)全圖形如圖②，結(jié)論：2(∠

BMC

＋∠

AEB

)

＝3∠

CAB

.

證明如下：設(shè)∠

BCP

＝∠

DCP

＝

x

，∠

ABE

＝∠

PBF

＝

y

，∠

PCF

＝

z

.∵∠

BCF

＝2∠

ABE

，∠

BCF

＝∠

BCP

＋∠

PCF

，∴

x

＋

z

＝2

y

，即2

y

－

z

＝

x

.由(1)知，∠

BFC

＝∠

AEB

＝∠

ABE

＋∠

DCF

＝∠

ABE

＋∠

DCP

－∠

PCF

＝

y

＋

x

－

z

，2345671∴∠

BMC

＝∠

PCF

＋∠

BFC

＝

z

＋

y

＋

x

－

z

＝

x

＋

y

，∴∠

BMC

＋∠

AEB

＝

x

＋

y

＋

y

＋

x

－

z

＝3

x

.∵∠

CAB

＝∠

AEB

＋∠

ABE

＝

x

＋

y

－

z

＋

y

＝2

x

，

∴2(∠

BMC

＋∠

AEB

)＝3∠

CAB

.

2345671題型5三角形內(nèi)角、外角關(guān)系在整體思想中的應(yīng)用5.

[2024南昌外國(guó)語學(xué)校月考]如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

，∠

ACB

的平分線交于點(diǎn)

O

，

D

是外角∠

ACH

與內(nèi)角

∠

ABC

的平分線的交點(diǎn)，∠

BOC

＝120°.(1)求∠

A

的度數(shù)；2345671解：(1)∵∠

BOC

＝120°，∴∠

OBC

＋∠

OCB

＝60°.∵∠

ABC

，∠

ACB

的平分線交于點(diǎn)

O

，∴∠

ABC

＝2∠

OBC

，∠

ACB

＝2∠

OCB

.

∴∠

ABC

＋∠

ACB

＝2(∠

OBC

＋∠

OCB

)＝120°.∴∠

A

＝180°－(∠

ABC

＋∠

ACB

)＝60°.

2345671(2)求∠

D

的度數(shù).5.

[2024南昌外國(guó)語學(xué)校月考]如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

，∠

ACB

的平分線交于點(diǎn)

O

，

D

是外角∠

ACH

與內(nèi)角

∠

ABC

的平分線的交點(diǎn)，∠

BOC

＝120°.2345671

2345671題型6三角形內(nèi)角、外角關(guān)系在方程思想中的應(yīng)用6.

如圖，

AD

平分∠

BAC

，∠

EAD

＝∠

EDA

.

(1)求證：∠

EAC

＝∠

B

；(1)證明：∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

CAD

.

又∵∠

EAD

＝∠

EDA

，∴∠

EAC

＝∠

EAD

－∠

CAD

＝∠

EDA

－∠

BAD

＝∠

B

.

2345671(2)若∠

B

＝50°，∠

CAD

∶∠

E

＝1∶3，求∠

E

的度數(shù).(2)解：設(shè)∠

CAD

＝

x

，則∠

E

＝3

x

.由(1)知∠

EAC

＝∠

B

＝50°，∴∠

EDA

＝∠

EAD

＝

x

＋50°.在△

EAD

中，∵∠

E

＋∠

EAD

＋∠

EDA

＝180°，6.

如圖，

AD

平分∠

BAC

，∠

EAD

＝∠

EDA

.

∴3

x

＋2(

x

＋50°)＝180°，解得

x

＝16°.∴3

x

＝48°，即∠

E

＝48°.2345671題型7三角形內(nèi)角和在類比思想中的應(yīng)用7.

[教材P185復(fù)習(xí)題T9變式]如圖，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

，

AE

平分∠

BAC

，∠

B

＝70°，∠

C

＝30°.(1)求∠

DAE

的度數(shù).2345671解：(1)∵

AD

⊥

BC

，∴∠

ADE

＝90°.∵∠

ADE

＝∠

B

＋∠

BAD

，∴∠

BAD

＝90°－∠

B

＝90°－70°＝20°.

∵∠

B

＋∠

C

＝70°＋30°＝100°，

2345671(2)探究：小明認(rèn)為如果條件∠

B

＝70°，∠

C

＝30°改

成∠

B

－∠

C

＝40°，也能得出∠

DAE

的度數(shù)，你認(rèn)

為能嗎？若能，請(qǐng)你寫出求解過程；若不能，請(qǐng)說明

理由.7.

[教材P185復(fù)習(xí)題T9變式]如圖，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

，

AE

平分∠

BAC

，∠

B

＝70°，∠

C

＝30°.23