2023屆山東省日照市高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE12020級(jí)高三模擬考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)、用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先求出集合，再依據(jù)并集的定義求并集.〖詳析〗，又，所以故選：D2.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，然后求得.〖詳析〗，.故選：C3.在平面直角坐標(biāo)系中，角的大小如圖所示，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正切值的定義可以先算出，然后由兩角和的正切公式求出.〖詳析〗過作軸，垂足為，根據(jù)正切值的定義：，則，解得.故選：D4.紅燈籠，起源于中國的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個(gè)相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題利用勾股定理求出半徑，再求出高度，分別求出兩個(gè)球冠的面積，用球體的表面積減去兩個(gè)球冠的面積即可解決問題.〖詳析〗由題意得：，所以cm，所以cm，所以兩個(gè)球冠的面積為cm2，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：cm2，故選：C.5.已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A.13 B.12 C.8 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗以正六邊形ABCDEF中心O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示研究最值.〖詳析〗以正六邊形ABCDEF中心O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，AB、DE交y軸于G、H，則，設(shè)，，由正六邊形對(duì)稱性，不妨只研究y軸左半部分，（1）當(dāng)P在EH上時(shí)，則，，則；（2）當(dāng)P在AG上時(shí)，則，，則；（3）當(dāng)P在EF上時(shí)，則：，，則；（4）當(dāng)P在AF上時(shí)，則：，，則.綜上，所求最大值為12.故選：B.6.已知，，設(shè)命題：，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗取特值，，滿足，不滿足；運(yùn)用基本不等式得，即，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，運(yùn)用基本不等式和充分必要條件的定義判斷可得選項(xiàng).〖詳析〗解：當(dāng)時(shí)，滿足，但，不滿足，所以不是的充分條件；當(dāng)，，時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，所以是的必要條件，因此，是的必要不充分條件.故選：B7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，設(shè)，若存在正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)數(shù)列的遞推公式得出，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)項(xiàng)求解即可得出結(jié)果.〖詳析〗數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，，若存在正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，則，所以①因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，由，解得：，舍去；當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，，，所以，①式不成立，所以，則有，解得：，故選：.8.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線：上，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗先求出橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題得，解不等式得到，再解不等式即得解.〖詳析〗點(diǎn)在雙曲線：上，所以.所以橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因，所以,所以.因?yàn)?，所?點(diǎn)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，所以，所以或.綜上：.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)得5分.選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知分別為隨機(jī)事件的對(duì)立事件，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若互斥，則D.若獨(dú)立，則〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件的定義，根據(jù)條件概率公式判斷即可．〖詳析〗選項(xiàng)A中：由對(duì)立事件定義可知,選項(xiàng)正確；選項(xiàng)中：，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C中：A，B互斥，，,，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中：A，B獨(dú)立，則，則,故選項(xiàng)D正確.故選：.10.已知正方體過對(duì)角線作平面交棱于點(diǎn)，交棱于點(diǎn)F，則（）A.平面分正方體所得兩部分的體積相等B.四邊形一定是菱形C.四邊形的面積有最大值也有最小值D.平面與平面始終垂直〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗利用正方體的對(duì)稱性即可判斷A正確；由平行平面的性質(zhì)和的大小可判斷B錯(cuò)誤；結(jié)合異面直線距離說明四邊形的面積最小值和最大值取法，判斷C正確；只有當(dāng)平面時(shí)，才有平面平面，判斷D錯(cuò)誤.〖詳析〗對(duì)于A：由正方體的對(duì)稱性可知，平面分正方體所得兩部分的體積相等，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫?，平面平面，平面平面，?同理可證：，故四邊形是平行四邊形，當(dāng)E不是的中點(diǎn)時(shí)，,此時(shí)四邊形不是菱形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由B得四邊形一定是平行四邊形，所以四邊形的面積等于三角形面積的兩倍，而為定值，所以當(dāng)?shù)街本€距離最大時(shí)，三角形面積取最大值，因?yàn)闉槔庵悬c(diǎn)時(shí),到直線距離恰為異面直線距離，即為最小值，此時(shí)三角形面積取最小值，即四邊形的面積取最小值.因此當(dāng)E與A重合或重合時(shí)，三角形面積取最大值，即四邊形的面積即取最大值，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，所以只有?dāng)平面時(shí)，才有平面平面，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)變化時(shí)，函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大記為，則的值可以為（）A.3 B.5 C.7 D.9〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗將方程的根轉(zhuǎn)化為與直線的交點(diǎn)，并可知與均關(guān)于對(duì)稱，作出的圖像，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定不同取值時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合對(duì)稱性可求得結(jié)果.〖詳析〗為奇函數(shù)，圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由得：，則方程的根即為與直線的交點(diǎn)，作出圖像如圖所示，①當(dāng)，即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；②當(dāng)，即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；③當(dāng)，即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；④當(dāng)時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；⑤當(dāng)，即時(shí)，如圖中和所示時(shí)，與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，.綜上所述：取值的集合為.故選：ABC.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題考查利用函數(shù)對(duì)稱性、函數(shù)圖像求解方程根的個(gè)數(shù)問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒎匠谈膫€(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合的方式確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).12.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗A.先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到A選項(xiàng).B.先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C.通過，得到，進(jìn)而可得與大小關(guān)系,進(jìn)而可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.與C選項(xiàng)同樣的方法即可判斷.〖詳析〗A.令則，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故.令則，所以在上單調(diào)遞減，且即故選項(xiàng)A正確B.令則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故.令所以在上單調(diào)遞減，且即故選項(xiàng)B錯(cuò)誤C.又在單調(diào)遞增故選項(xiàng)C錯(cuò)誤D.由C可知，又在單調(diào)遞減故選項(xiàng)D正確故選：AD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中,的系數(shù)為___________.〖答案〗10〖解析〗〖祥解〗根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，賦值即可求出．〖詳析〗的展開式通項(xiàng)為，令，所以的系數(shù)為．故〖答案〗為：10．〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查二項(xiàng)展開式某特定項(xiàng)的系數(shù)求法，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出展開式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)最小正周期得到，利用對(duì)稱軸得到，然后代入計(jì)算即可求解.〖詳析〗因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，又因?yàn)橹本€是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以，解得：，因?yàn)?，所以，則函數(shù)，所以，故〖答案〗為：.15.對(duì)任意正實(shí)數(shù)，記函數(shù)在上的最小值為，函數(shù)在上的最大值為，若，則的所有可能值______.〖答案〗或〖解析〗〖祥解〗根據(jù)和函數(shù)圖像，對(duì)a分類討論求解即可.〖詳析〗和的圖像如圖：當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，；故〖答案〗為：或.16.設(shè)棱錐的底面為正方形，且，，如果的面積為1，則能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑為___________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗設(shè)球O是與平面MAD，ABCD，MBC都相切的球，求出與三個(gè)面MAD，ABCD，MBC都相切的球的半徑為，再證明O到平面MAB的距離大于球O的半徑r，O到面MCD的距離也大于球O的半徑r，即得解.〖詳析〗如圖，因?yàn)锳B⊥AD，AB⊥MA，平面MAD，所以，AB垂直于平面MAD，由此知平面MAD垂直平面ABCD.設(shè)E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，則ME⊥AD，所以，ME垂直平面ABCD，ME⊥EF.設(shè)球O是與平面MAD，ABCD，MBC都相切的球.不失一般性，可設(shè)O在平面MEF上.于是O為△MEF的內(nèi)心.設(shè)球O的半徑為r，則.設(shè)AD=EF=a，因?yàn)椋?，，且?dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)，所以，當(dāng)AD=ME=時(shí)，所以與三個(gè)面MAD，ABCD，MBC都相切的球的半徑為.作OG⊥ME于G，易證OG//平面MAB，G到平面MAB的距離就是O到平面MAB的距離.過G作MH⊥MA于H，則GH是G到平面MAB的距離.，，又，，,.,故O到平面MAB的距離大于球O的半徑r，同樣O到面MCD的距離也大于球O的半徑r，故球O在棱錐M-ABCD內(nèi)，并且不可能再大.據(jù)此可得所求的最大球的半徑為.故〖答案〗為：四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：.〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得出的表達(dá)式，再驗(yàn)證的值是否滿足的表達(dá)式，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）計(jì)算得出，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可證得結(jié)論成立.〖小問1詳析〗解：因?yàn)?，①則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，②①②得，所以，也滿足，故對(duì)任意的，.〖小問2詳析〗證明：，所以．，，即結(jié)論成立.18.已知中，a，b，c是角A，B，C所對(duì)的邊，，且.（1）求角B；（2）若，在的邊AB，AC上分別取D，E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊到平面BCE后，頂點(diǎn)A正好落在邊BC（設(shè)為點(diǎn)P）上，求AD的最小值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理邊角互化得，又，可得，結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果；（2）由題意可知為等邊三角形，設(shè)，則，由余弦定理得，設(shè)，所以，利用基本不等式可求得〖答案〗.〖小問1詳析〗因?yàn)椋杂烧叶ɡ磉吔腔セ?，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，?〖小問2詳析〗因?yàn)椋詾榈冗吶切危?，設(shè)，則，所以在中，由余弦定理得，整理得，設(shè)，所以，由于，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以AD的最小值為．19.如圖，已知圓錐，AB是底面圓О的直徑，且長為4，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，.設(shè)二面角與二面角的大小分別為與.（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）作出，從而求得的值.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值．〖小問1詳析〗連結(jié)．因?yàn)辄c(diǎn)為圓錐的頂點(diǎn)，所以平面．分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，則在圓中，．由平面，得．又，故平面，所以．所以．同理，．于是．〖小問2詳析〗因?yàn)?，即所以即．在圓中，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，．又因?yàn)槠矫?，所以軸，從而．則，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，則，，此時(shí)．設(shè)平面的法向量為，則，即不妨取，則，，此時(shí)．所以．又二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：幾何法求解二面角，要根據(jù)二面角的定義來求解；向量法求解二面角，關(guān)鍵是求得二面角的兩個(gè)半平面的法向量，并且要注意二面角是銳角還是鈍角.20.已知拋物線：的焦點(diǎn)為為上的動(dòng)點(diǎn)，垂直于動(dòng)直線，垂足為，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.（1）求的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)正三角形得三角形的邊長，再根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解；（2）設(shè)，則，可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，設(shè)，，中點(diǎn)，由點(diǎn)差法可得，，從而可以求出.〖小問1詳析〗∵為等邊三角形時(shí)，其面積為，∴，解得，根據(jù)和拋物線的定義可知，落在準(zhǔn)線上，即，設(shè)準(zhǔn)線和軸交點(diǎn)為，易證，于是，∴的方程為；〖小問2詳析〗假設(shè)存在，使得，則線為段的中點(diǎn)，設(shè)，依題意得，則，由可得，所以切線的斜率為，設(shè)，，線段的中點(diǎn)，由，可得，所以，整理可得：，即，所以，可得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)三點(diǎn)共線，滿足為的中點(diǎn)，綜上，存在，使得點(diǎn)為的中點(diǎn)恒成立，.21.第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍．（1）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；（2）好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。即鸢浮剑?）分布列見〖解析〗；期望為（2）①證明見〖解析〗；②〖解析〗〖祥解〗（1）方法一：先計(jì)算門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；方法二：判斷，結(jié)合二項(xiàng)分布的分布列和期望公式確定結(jié)論；（2）①記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，由條件確定的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義完成證明；②由①求出，比較其大小即可.〖小問1詳析〗方法一：的所有可能取值為，在一次撲球中，撲到點(diǎn)球的概率，所以，，所以的分布列如下：0123方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)可能的取值為，易知，所以，故的分布列為：0123所以的期望．〖小問2詳析〗①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，即，又，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．②由①可知，所以，所以，故．22.已知函數(shù)，.（1）若直線是的切線，函數(shù)總存在，使得，求的取值范圍；（2）設(shè)，若恰有三個(gè)不等實(shí)根，證明：.〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義算出，然后分析出的范圍，最后將化成只含有的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解；（2）恰有三個(gè)不等實(shí)根，顯然不能的極小值非負(fù)，討論參數(shù)的范圍，當(dāng)極小值為負(fù)數(shù)的時(shí)候，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的圖像，只需就可使得恰有三個(gè)不等實(shí)根.〖小問1詳析〗由直線是的切線，可設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，于是.若，則，不符題意；若，則，不符題意；有一個(gè)取時(shí)均不成立，故只有才可以讓成立.于是，下設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，于是，也即，所以的取值范圍為；〖小問2詳析〗，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，下令，則，故為增函數(shù)，于是，即，.根據(jù)零點(diǎn)存在定理，，使得，當(dāng)，，遞減，當(dāng)，，遞增，故為極小值點(diǎn)，，由于，即，此時(shí)不可能有三個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，，使得，當(dāng)，，遞減，當(dāng)，，遞增，故為極小值點(diǎn)，，由于，此時(shí)不可能有三個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，在上遞增，注意到，，，遞減，當(dāng)，，遞增，故為極小值點(diǎn)，而，故不可能有三個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，，使得，當(dāng)，，遞減，當(dāng)，，遞增，故為極小值點(diǎn)，，而，故.由.由有三個(gè)根，則，即，由，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)推出，故，即〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題的難點(diǎn)在第二問，解決該問的關(guān)鍵是利用方程根的個(gè)數(shù)確定函數(shù)極值的范圍及參與與極值的關(guān)系.

高考模擬試題PAGEPAGE12020級(jí)高三模擬考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)、用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先求出集合，再依據(jù)并集的定義求并集.〖詳析〗，又，所以故選：D2.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，然后求得.〖詳析〗，.故選：C3.在平面直角坐標(biāo)系中，角的大小如圖所示，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正切值的定義可以先算出，然后由兩角和的正切公式求出.〖詳析〗過作軸，垂足為，根據(jù)正切值的定義：，則，解得.故選：D4.紅燈籠，起源于中國的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個(gè)相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題利用勾股定理求出半徑，再求出高度，分別求出兩個(gè)球冠的面積，用球體的表面積減去兩個(gè)球冠的面積即可解決問題.〖詳析〗由題意得：，所以cm，所以cm，所以兩個(gè)球冠的面積為cm2，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：cm2，故選：C.5.已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A.13 B.12 C.8 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗以正六邊形ABCDEF中心O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示研究最值.〖詳析〗以正六邊形ABCDEF中心O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，AB、DE交y軸于G、H，則，設(shè)，，由正六邊形對(duì)稱性，不妨只研究y軸左半部分，（1）當(dāng)P在EH上時(shí)，則，，則；（2）當(dāng)P在AG上時(shí)，則，，則；（3）當(dāng)P在EF上時(shí)，則：，，則；（4）當(dāng)P在AF上時(shí)，則：，，則.綜上，所求最大值為12.故選：B.6.已知，，設(shè)命題：，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗取特值，，滿足，不滿足；運(yùn)用基本不等式得，即，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，運(yùn)用基本不等式和充分必要條件的定義判斷可得選項(xiàng).〖詳析〗解：當(dāng)時(shí)，滿足，但，不滿足，所以不是的充分條件；當(dāng)，，時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，所以是的必要條件，因此，是的必要不充分條件.故選：B7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，設(shè)，若存在正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)數(shù)列的遞推公式得出，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)項(xiàng)求解即可得出結(jié)果.〖詳析〗數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，，若存在正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，則，所以①因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，由，解得：，舍去；當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，，，所以，①式不成立，所以，則有，解得：，故選：.8.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線：上，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗先求出橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題得，解不等式得到，再解不等式即得解.〖詳析〗點(diǎn)在雙曲線：上，所以.所以橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因，所以,所以.因?yàn)?，所?點(diǎn)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，所以，所以或.綜上：.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)得5分.選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知分別為隨機(jī)事件的對(duì)立事件，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若互斥，則D.若獨(dú)立，則〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件的定義，根據(jù)條件概率公式判斷即可．〖詳析〗選項(xiàng)A中：由對(duì)立事件定義可知,選項(xiàng)正確；選項(xiàng)中：，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C中：A，B互斥，，,，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中：A，B獨(dú)立，則，則,故選項(xiàng)D正確.故選：.10.已知正方體過對(duì)角線作平面交棱于點(diǎn)，交棱于點(diǎn)F，則（）A.平面分正方體所得兩部分的體積相等B.四邊形一定是菱形C.四邊形的面積有最大值也有最小值D.平面與平面始終垂直〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗利用正方體的對(duì)稱性即可判斷A正確；由平行平面的性質(zhì)和的大小可判斷B錯(cuò)誤；結(jié)合異面直線距離說明四邊形的面積最小值和最大值取法，判斷C正確；只有當(dāng)平面時(shí)，才有平面平面，判斷D錯(cuò)誤.〖詳析〗對(duì)于A：由正方體的對(duì)稱性可知，平面分正方體所得兩部分的體積相等，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫?，平面平面，平面平面，?同理可證：，故四邊形是平行四邊形，當(dāng)E不是的中點(diǎn)時(shí)，,此時(shí)四邊形不是菱形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由B得四邊形一定是平行四邊形，所以四邊形的面積等于三角形面積的兩倍，而為定值，所以當(dāng)?shù)街本€距離最大時(shí)，三角形面積取最大值，因?yàn)闉槔庵悬c(diǎn)時(shí),到直線距離恰為異面直線距離，即為最小值，此時(shí)三角形面積取最小值，即四邊形的面積取最小值.因此當(dāng)E與A重合或重合時(shí)，三角形面積取最大值，即四邊形的面積即取最大值，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，所以只有?dāng)平面時(shí)，才有平面平面，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)變化時(shí)，函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大記為，則的值可以為（）A.3 B.5 C.7 D.9〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗將方程的根轉(zhuǎn)化為與直線的交點(diǎn)，并可知與均關(guān)于對(duì)稱，作出的圖像，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定不同取值時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合對(duì)稱性可求得結(jié)果.〖詳析〗為奇函數(shù)，圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由得：，則方程的根即為與直線的交點(diǎn)，作出圖像如圖所示，①當(dāng)，即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；②當(dāng)，即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；③當(dāng)，即時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；④當(dāng)時(shí)，如圖中所示時(shí)，與直線有個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于對(duì)稱，；⑤當(dāng)，即時(shí)，如圖中和所示時(shí)，與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，.綜上所述：取值的集合為.故選：ABC.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題考查利用函數(shù)對(duì)稱性、函數(shù)圖像求解方程根的個(gè)數(shù)問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒎匠谈膫€(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合的方式確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).12.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗A.先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到A選項(xiàng).B.先構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C.通過，得到，進(jìn)而可得與大小關(guān)系,進(jìn)而可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.與C選項(xiàng)同樣的方法即可判斷.〖詳析〗A.令則，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故.令則，所以在上單調(diào)遞減，且即故選項(xiàng)A正確B.令則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故.令所以在上單調(diào)遞減，且即故選項(xiàng)B錯(cuò)誤C.又在單調(diào)遞增故選項(xiàng)C錯(cuò)誤D.由C可知，又在單調(diào)遞減故選項(xiàng)D正確故選：AD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中,的系數(shù)為___________.〖答案〗10〖解析〗〖祥解〗根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，賦值即可求出．〖詳析〗的展開式通項(xiàng)為，令，所以的系數(shù)為．故〖答案〗為：10．〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查二項(xiàng)展開式某特定項(xiàng)的系數(shù)求法，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出展開式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)最小正周期得到，利用對(duì)稱軸得到，然后代入計(jì)算即可求解.〖詳析〗因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，又因?yàn)橹本€是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以，解得：，因?yàn)?，所以，則函數(shù)，所以，故〖答案〗為：.15.對(duì)任意正實(shí)數(shù)，記函數(shù)在上的最小值為，函數(shù)在上的最大值為，若，則的所有可能值______.〖答案〗或〖解析〗〖祥解〗根據(jù)和函數(shù)圖像，對(duì)a分類討論求解即可.〖詳析〗和的圖像如圖：當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，；故〖答案〗為：或.16.設(shè)棱錐的底面為正方形，且，，如果的面積為1，則能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑為___________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗設(shè)球O是與平面MAD，ABCD，MBC都相切的球，求出與三個(gè)面MAD，ABCD，MBC都相切的球的半徑為，再證明O到平面MAB的距離大于球O的半徑r，O到面MCD的距離也大于球O的半徑r，即得解.〖詳析〗如圖，因?yàn)锳B⊥AD，AB⊥MA，平面MAD，所以，AB垂直于平面MAD，由此知平面MAD垂直平面ABCD.設(shè)E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，則ME⊥AD，所以，ME垂直平面ABCD，ME⊥EF.設(shè)球O是與平面MAD，ABCD，MBC都相切的球.不失一般性，可設(shè)O在平面MEF上.于是O為△MEF的內(nèi)心.設(shè)球O的半徑為r，則.設(shè)AD=EF=a，因?yàn)?，所以，，且?dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)，所以，當(dāng)AD=ME=時(shí)，所以與三個(gè)面MAD，ABCD，MBC都相切的球的半徑為.作OG⊥ME于G，易證OG//平面MAB，G到平面MAB的距離就是O到平面MAB的距離.過G作MH⊥MA于H，則GH是G到平面MAB的距離.，，又，，,.,故O到平面MAB的距離大于球O的半徑r，同樣O到面MCD的距離也大于球O的半徑r，故球O在棱錐M-ABCD內(nèi)，并且不可能再大.據(jù)此可得所求的最大球的半徑為.故〖答案〗為：四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：.〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得出的表達(dá)式，再驗(yàn)證的值是否滿足的表達(dá)式，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）計(jì)算得出，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可證得結(jié)論成立.〖小問1詳析〗解：因?yàn)?，①則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，②①②得，所以，也滿足，故對(duì)任意的，.〖小問2詳析〗證明：，所以．，，即結(jié)論成立.18.已知中，a，b，c是角A，B，C所對(duì)的邊，，且.（1）求角B；（2）若，在的邊AB，AC上分別取D，E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊到平面BCE后，頂點(diǎn)A正好落在邊BC（設(shè)為點(diǎn)P）上，求AD的最小值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理邊角互化得，又，可得，結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果；（2）由題意可知為等邊三角形，設(shè)，則，由余弦定理得，設(shè)，所以，利用基本不等式可求得〖答案〗.〖小問1詳析〗因?yàn)?，所以由正弦定理邊角互化得，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，?〖小問2詳析〗因?yàn)椋詾榈冗吶切?，即，設(shè)，則，所以在中，由余弦定理得，整理得，設(shè)，所以，由于，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以AD的最小值為．19.如圖，已知圓錐，AB是底面圓О的直徑，且長為4，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，.設(shè)二面角與二面角的大小分別為與.（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）作出，從而求得的值.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值．〖小問1詳析〗連結(jié)．因?yàn)辄c(diǎn)為圓錐的頂點(diǎn)，所以平面．分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，則在圓中，．由平面，得．又，故平面，所以．所以．同理，．于是．〖小問2詳析〗因?yàn)?，即所以即．在圓中，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，．又因?yàn)槠矫?，所以軸，從而．則，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，則，，此時(shí)．設(shè)平面的法向量為，則，即不妨取，則，，此時(shí)．所以．又二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：幾何法求解二面角，要根據(jù)二面角的定義來求解；向量法求解二面角，關(guān)鍵是求得二面角的兩個(gè)半平面的法向量，并且要注意二面角是銳角還是鈍角.20.已知拋物線：的焦點(diǎn)為為上的動(dòng)點(diǎn)，垂直于動(dòng)直線，垂足為，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.（1）求的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)正三角形得三角形的邊長，再根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解；（2）設(shè)，則，可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，設(shè)，，中點(diǎn)，由點(diǎn)差法可得，，從而可以求出.〖小問1詳析〗∵為等邊三角形時(shí)，其面積為，∴，解得，根據(jù)和拋物線的定義可知，落在準(zhǔn)線上，即，設(shè)準(zhǔn)線和軸交點(diǎn)為，易證，于是，∴的方程為；〖小問2詳析〗假設(shè)存在，使得，則線為段的中點(diǎn)，設(shè)，依題意得，則，由可得，所以切線的斜率為，設(shè)，，線段的中點(diǎn)，由，可得，所以，整理可得：，即，