2023屆遼寧省沈陽市高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE12023年沈陽高中三年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)不等式求集合，進(jìn)而根據(jù)交集運算求解.〖詳析〗∵，，∴.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算求復(fù)數(shù)z，進(jìn)而可求模長.〖詳析〗∵，則，∴.故選：D.3.命題p：直線與拋物線有且僅有一個公共點，命題q：直線與拋物線相切，則命題p是命題q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由充分必要條件的概念結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得結(jié)果．〖詳析〗∵拋物線的對稱軸為軸，∴一條直線與拋物線有且僅有一個公共點，則該直線與拋物線相切或者該直線與軸垂直，∵直線存在斜率，與軸不垂直，∴“直線與拋物線有且僅有一個公共點”等價于“直線與拋物線相切”，則命題p是命題q的充要條件.故選：C.4.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．則正八面體（八個面均為正三角形）的總曲率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用正八面體的面積和減去六個頂點的曲率和可得結(jié)果.〖詳析〗正八面體每個面均為等比三角形，且每個面的面角和為，該正面體共個頂點，因此，該正八面體的總曲率為.故選：B.5.如圖是函數(shù)圖像的一部分，設(shè)函數(shù)，，則可以表示為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)圖象特征取特值分析排除.〖詳析〗由圖象可得：，但，故B不符合；，但，故A不符合；，但，故C不符合；故選：D.6.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（）A.24種 B.48種 C.72種 D.96種〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個，再安排乙丙2人，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側(cè)；安排在甲有3個位置的一側(cè)，最后安排其余3人，綜上可得〖答案〗.〖詳析〗先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個安排有種方法，而甲站好后一邊有2個位置，另一邊有3個位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側(cè)有種方法；安排在甲有3個位置的一側(cè)有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊方法有：種.故選：C.7.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗構(gòu)建，求導(dǎo)判斷單調(diào)性和最值可以的大小關(guān)系，構(gòu)建，求導(dǎo)判斷單調(diào)性可以判斷的大小關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果.〖詳析〗構(gòu)建，則，令，則；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，構(gòu)建，則，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，可得在上恒成立，則，即，故.故選：A.8.已知橢圓的右焦點為F，過F作傾斜角為的直線l交該橢圓上半部分于點P，以FP，F(xiàn)O（O為坐標(biāo)原點）為鄰邊作平行四邊形，點Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)出點P的坐標(biāo)，由給定條件及橢圓的對稱性可得點Q的坐標(biāo)，再借助斜率坐標(biāo)公式求出點P的坐標(biāo)即可求解作答.〖詳析〗設(shè)點，，中，，而點P，Q均在橢圓上，由橢圓對稱性得，令橢圓半焦距為c，，由得：，解得，而，因此，即，又，則，整理得，而，則有，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：B〖『點石成金』〗方法『點石成金』：橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見求法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（）A.越大，則產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越大B.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于的概率為C.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于的概率與小于的概率相等D.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等〖答案〗BC〖解析〗〖祥解〗利用與正態(tài)密度曲線的關(guān)系可判斷A選項；利用正態(tài)密度曲線的對稱性可判斷BCD選項.〖詳析〗設(shè)隨機(jī)變量.對于A選項，越大，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越小，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，由正態(tài)密度函數(shù)的對稱性可知，C對；對于D選項，，所以，，D錯.故選：BC.10.是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其公差，是等比數(shù)列，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗對于函數(shù)的零點為，分類討論結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，即可判斷結(jié)果.〖詳析〗由題意可設(shè)：等比數(shù)列的公比為，由，，可得，則，構(gòu)建，即，若，，則，即為函數(shù)的零點，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意；當(dāng)時，則，∵，則在上單調(diào)遞增，故在上至多有一個零點，當(dāng)在內(nèi)無零點，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多有一個零點，不合題意；當(dāng)在內(nèi)有零點，設(shè)為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，即，，A、D正確，B、C錯誤.故選：AD.11.已知圓，點是直線上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則下列說法正確的是（）A.切線長的最小值為B.四邊形面積的最小值為C.若是圓的一條直徑，則的最小值為D.直線恒過定點〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗利用勾股定理可求得切線長的最小值，可判斷A選項；利用三角形的面積公式可判斷B選項；利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)以及的最小值，可判斷C選項；設(shè)點，求出直線的方程，可求得直線恒過定點的坐標(biāo)，可判斷D選項.〖詳析〗圓心為，圓的半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，.對于A選項，，當(dāng)時，取最小值，且，所以，，A對；對于B選項，由切線長定理可知，，，，所以，，所以，，B對；對于C選項，易知為的中點，，C錯；對于D選項，設(shè)點，則，線段的中點為，，所以，以為直徑的圓的方程為，即圓的方程為，將圓的方程與圓的方程作差可得，即，故直線的方程為，變形可得.由可得，所以，直線恒過定點，D對.故選：ABD.12.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的為（）A.在上是增函數(shù)B.的最小正周期為C.的最大值為D.若，則．〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗由在上單調(diào)性判斷A；根據(jù)周期的定義判斷B；借助導(dǎo)數(shù)求出f(x)在周期長的區(qū)間上的最大值判斷C；由f(x)在周期長的區(qū)間上的最大最小值判斷D作答.〖詳析〗對A：∵，則，可得在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，A正確；對B：∵，∴的最小正周期不是，B錯誤；對C：，則為奇函數(shù)，的最小正周期分別為，故的最小正周期為∵，當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上的最大值為，由為奇函數(shù)可得：在上的最小值為，由周期函數(shù)可得：的最大值為，最小值為，C正確；對D：若，不妨設(shè)為最大值點，為最小值點，則，故，可得當(dāng)時，取到最小值，D正確.故選：ACD.〖『點石成金』〗關(guān)鍵點『點石成金』：根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和奇偶性分析的周期性和奇偶性，這與我們在處理問題時，只需分析在上單調(diào)性和最值即可.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，且，則等于______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求得，再根據(jù)兩角差的正切公式運算求解.〖詳析〗∵，則，則，可得，∴.故〖答案〗為：.14.若，則被5除的余數(shù)是______．〖答案〗4〖解析〗〖祥解〗分別取，兩式相加可求得，進(jìn)而根據(jù)二項式定理展開，判斷被5除的余數(shù).〖詳析〗由題知，時，①，時，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余數(shù)是4.故〖答案〗：4.15.三棱錐中，，，點E為CD中點，的面積為，則AB與平面BCD所成角的正弦值為______，此三棱錐外接球的體積為______．〖答案〗①.##②.##〖解析〗〖祥解〗設(shè)平面，垂足為，可證得在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為，，從而可求得，利用三角形面積公式可求得，結(jié)合已知條件與余弦定理，勾股定理可證得，從而為外接球直徑，利用球的體積計算即可．〖詳析〗設(shè)平面，垂足為，如圖，過作于點，過作于，連接，由平面，平面，得，又，平面，平面，平面，得，同理，從而均為直角三角形，∵，，∴，則在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為．∵，∴，又，，即，則AB與平面BCD所成角的正弦值為，又，解得，又，，，同理，，為外接球直徑，三棱錐外接球的體積為．故〖答案〗：，.16.已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由得，令，可解得，代入，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得〖答案〗.〖詳析〗由得，令，可解得，則，當(dāng)時等號成立．故的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17設(shè)，向量，，．（1）令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求證：．〖答案〗（1）證明見詳析（2）證明見詳析〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得，進(jìn)而可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）利用裂項相消法分析證明.〖小問1詳析〗由題意可得：，則，可得，故數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列.〖小問2詳析〗由（1）可得：，則，∵，故.18.在中，角、、的對邊分別為、、．已知．（1）求角的大小；（2）給出以下三個條件：①，；②；③．若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）的角平分線交于點，求的長．〖答案〗（1）（2）（i）；（ii）.〖解析〗〖祥解〗（1）由已知條件可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由以及①或②或③解三角形，可得出正確的條件.（i）求出的值，利用正弦定理可求得的值；（ii）由結(jié)合三角形的面積公式可求得的長.〖小問1詳析〗解：因為，若，則，不滿足，所以，，，.〖小問2詳析〗解：由及①，由余弦定理可得，即，，解得；由及②，由余弦定理可得，由可得，可得；由及③，由三角形的面積公式可得，可得.經(jīng)分析可知①②不能同時成立，①③不能同時成立，正確條件為②③，故，.（i）將，代入②可得可得.在中，由正弦定理，故.（ii）因為，即，所以，.19.如圖，在矩形ABCD中，，E為邊CD上的點，，以BE為折痕把折起，使點C到達(dá)點P的位置，且使二面角為直二面角，三棱錐的體積為．（1）求證：平面平面PAE；（2）求二面角的余弦值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取BE中點，則，由三棱錐的體積得，可得，由平面ABCD得，故平面PBE，得，又，可得平面，進(jìn)而得證；（2）以D為原點，為x，y軸正向，過作軸垂直于平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BPA和平面DPA的法向量，由向量的夾角公式求解即可．〖小問1詳析〗設(shè)，由題意為等腰直角三角形，折疊后為等腰直角三角形，取BE中點，連接PF，則，由于二面角為直二面角，故平面ABCD，且，則，得，即．則，故，又平面ABCD，故，又PF與BE相交，故平面PBE，故，又，且PE與AE相交，故平面，又面PAB，故平面平面.〖小問2詳析〗以D為原點，為x，y軸正向，過作軸垂直于平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面BPA的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面DPA的法向量為，則，取，可得，則，由于二面角為鈍角，故其余弦值為．20.2022年12月初某省青少年乒乓球培訓(xùn)基地舉行了混雙選拔賽，其決賽在韓菲/陳宇和黃政/孫藝兩對組合間進(jìn)行，每場比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的贊助商提供了10000元獎金，并規(guī)定：①若其中一對贏的場數(shù)先達(dá)到4場，則比賽終止，同時這對組合獲得全部獎金；②若比賽意外終止時無組合先贏4場，則按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎金的概率之比給兩對組合分配獎金．已知每場比賽韓菲/陳宇組合贏的概率為，黃政/孫藝贏的概率為，且每場比賽相互獨立．（1）若在已進(jìn)行的5場比賽中韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場，求比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金的概率；（2）若比賽進(jìn)行了5場時終止（含自然終止與意外終止），則這5場比賽中兩對組合之間的比賽結(jié)果共有多少不同的情況？（3）若比賽進(jìn)行了5場時終止（含自然終止與意外終止），設(shè)，若贊助商按規(guī)定頒發(fā)獎金，求韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)X的分布列．〖答案〗（1）（2）28（3）分布列見詳析〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意結(jié)合對立事件的概率求法運算；（2）根據(jù)題意可得有四則可能，再結(jié)合組合數(shù)運算求解；（3）根據(jù)題意分析可得獎金數(shù)X的可能取值，結(jié)合（2）求相應(yīng)的概率，即可得結(jié)果.〖小問1詳析〗“比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金”的對立事件為“黃政/孫藝組合再連贏2場”，故比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金的概率.〖小問2詳析〗設(shè)5場比賽中韓菲/陳宇組合贏場、黃政/孫藝組合贏場，用表示比賽結(jié)果，若比賽進(jìn)行了5場時終止（含自然終止與意外終止），則有：，故共有種不同的情況.〖小問3詳析〗若韓菲/陳宇組合贏1場、黃政/孫藝組合贏4場，則韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)為0元；若韓菲/陳宇組合贏2場、黃政/孫藝組合贏3場，則韓菲/陳宇組合需再連贏2場，其概率為，故韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)為元；若韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場，則韓菲/陳宇組合需再贏1場，其概率為，故韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)為元；若韓菲/陳宇組合贏4場、黃政/孫藝組合贏1場，則韓菲/陳宇組合獲得獎金數(shù)為10000元；即獎金數(shù)X的可能取值有，則有，故獎金數(shù)X的分布列為：0250075001000021.已知雙曲線的離心率為2，右焦點F到漸近線的距離為，過右焦點F作斜率為正的直線l交雙曲線的右支于A，B兩點，交兩條漸近線于C，D兩點，點A，C在第一象限，O為坐標(biāo)原點．（1）求雙曲線E的方程；（2）設(shè)，，的面積分別是，，，若不等式恒成立，求的取值范圍．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)離心率和焦點到漸近線的距離，列出的方程組，解得結(jié)果即可.（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)題目條件，寫出，根據(jù)的范圍即可求出結(jié)果.〖小問1詳析〗設(shè)雙曲線的右焦點，漸近線方程為，則右焦點到漸近線的距離又，則，∴雙曲線的方程為.〖小問2詳析〗設(shè)直線的方程為，設(shè)聯(lián)立方程得，漸近線方程為則A到兩條漸近線的距離滿足，聯(lián)立方程得聯(lián)立方程得.恒成立即恒成立，∴所求的取值范圍為22.已知，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求a的值．〖答案〗（1）見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）求導(dǎo)，通過，判斷導(dǎo)數(shù)方程兩根大小，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)單調(diào)性.（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可判斷函數(shù)有兩個零點時是極值為時，求出極值解方程可得.〖小問1詳析〗，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增.綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.〖小問2詳析〗情況一：若,即時,由的單調(diào)性,其在上恒為正,無零點,在增區(qū)間至多有一個零點,不符題意.情況二：若,即時,由于,由零點存在定理,在區(qū)間上存在一個零點，取,則,，當(dāng)時,,由于在區(qū)間上單調(diào)遞增,故在恒為正,無零點,由零點存在定理,在區(qū)間上存在一個零點,符合題意，情況三：若,即時,同情況二可得在增區(qū)間恒為正,無零點,僅有一個零點,不符題意，綜上,的取值范圍是.〖『點石成金』〗思路『點石成金』：本題第二問在于合理地分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，連續(xù)性，利用零點存在定理證明每類情況時的零點個數(shù).高考模擬試題PAGEPAGE12023年沈陽高中三年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)不等式求集合，進(jìn)而根據(jù)交集運算求解.〖詳析〗∵，，∴.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算求復(fù)數(shù)z，進(jìn)而可求模長.〖詳析〗∵，則，∴.故選：D.3.命題p：直線與拋物線有且僅有一個公共點，命題q：直線與拋物線相切，則命題p是命題q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由充分必要條件的概念結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得結(jié)果．〖詳析〗∵拋物線的對稱軸為軸，∴一條直線與拋物線有且僅有一個公共點，則該直線與拋物線相切或者該直線與軸垂直，∵直線存在斜率，與軸不垂直，∴“直線與拋物線有且僅有一個公共點”等價于“直線與拋物線相切”，則命題p是命題q的充要條件.故選：C.4.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．則正八面體（八個面均為正三角形）的總曲率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用正八面體的面積和減去六個頂點的曲率和可得結(jié)果.〖詳析〗正八面體每個面均為等比三角形，且每個面的面角和為，該正面體共個頂點，因此，該正八面體的總曲率為.故選：B.5.如圖是函數(shù)圖像的一部分，設(shè)函數(shù)，，則可以表示為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)圖象特征取特值分析排除.〖詳析〗由圖象可得：，但，故B不符合；，但，故A不符合；，但，故C不符合；故選：D.6.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（）A.24種 B.48種 C.72種 D.96種〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個，再安排乙丙2人，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側(cè)；安排在甲有3個位置的一側(cè)，最后安排其余3人，綜上可得〖答案〗.〖詳析〗先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個安排有種方法，而甲站好后一邊有2個位置，另一邊有3個位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側(cè)有種方法；安排在甲有3個位置的一側(cè)有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊方法有：種.故選：C.7.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗構(gòu)建，求導(dǎo)判斷單調(diào)性和最值可以的大小關(guān)系，構(gòu)建，求導(dǎo)判斷單調(diào)性可以判斷的大小關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果.〖詳析〗構(gòu)建，則，令，則；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，構(gòu)建，則，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，可得在上恒成立，則，即，故.故選：A.8.已知橢圓的右焦點為F，過F作傾斜角為的直線l交該橢圓上半部分于點P，以FP，F(xiàn)O（O為坐標(biāo)原點）為鄰邊作平行四邊形，點Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)出點P的坐標(biāo)，由給定條件及橢圓的對稱性可得點Q的坐標(biāo)，再借助斜率坐標(biāo)公式求出點P的坐標(biāo)即可求解作答.〖詳析〗設(shè)點，，中，，而點P，Q均在橢圓上，由橢圓對稱性得，令橢圓半焦距為c，，由得：，解得，而，因此，即，又，則，整理得，而，則有，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：B〖『點石成金』〗方法『點石成金』：橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見求法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（）A.越大，則產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越大B.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于的概率為C.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于的概率與小于的概率相等D.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等〖答案〗BC〖解析〗〖祥解〗利用與正態(tài)密度曲線的關(guān)系可判斷A選項；利用正態(tài)密度曲線的對稱性可判斷BCD選項.〖詳析〗設(shè)隨機(jī)變量.對于A選項，越大，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越小，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，由正態(tài)密度函數(shù)的對稱性可知，C對；對于D選項，，所以，，D錯.故選：BC.10.是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其公差，是等比數(shù)列，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗對于函數(shù)的零點為，分類討論結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，即可判斷結(jié)果.〖詳析〗由題意可設(shè)：等比數(shù)列的公比為，由，，可得，則，構(gòu)建，即，若，，則，即為函數(shù)的零點，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意；當(dāng)時，則，∵，則在上單調(diào)遞增，故在上至多有一個零點，當(dāng)在內(nèi)無零點，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多有一個零點，不合題意；當(dāng)在內(nèi)有零點，設(shè)為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，即，，A、D正確，B、C錯誤.故選：AD.11.已知圓，點是直線上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則下列說法正確的是（）A.切線長的最小值為B.四邊形面積的最小值為C.若是圓的一條直徑，則的最小值為D.直線恒過定點〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗利用勾股定理可求得切線長的最小值，可判斷A選項；利用三角形的面積公式可判斷B選項；利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)以及的最小值，可判斷C選項；設(shè)點，求出直線的方程，可求得直線恒過定點的坐標(biāo)，可判斷D選項.〖詳析〗圓心為，圓的半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，.對于A選項，，當(dāng)時，取最小值，且，所以，，A對；對于B選項，由切線長定理可知，，，，所以，，所以，，B對；對于C選項，易知為的中點，，C錯；對于D選項，設(shè)點，則，線段的中點為，，所以，以為直徑的圓的方程為，即圓的方程為，將圓的方程與圓的方程作差可得，即，故直線的方程為，變形可得.由可得，所以，直線恒過定點，D對.故選：ABD.12.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的為（）A.在上是增函數(shù)B.的最小正周期為C.的最大值為D.若，則．〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗由在上單調(diào)性判斷A；根據(jù)周期的定義判斷B；借助導(dǎo)數(shù)求出f(x)在周期長的區(qū)間上的最大值判斷C；由f(x)在周期長的區(qū)間上的最大最小值判斷D作答.〖詳析〗對A：∵，則，可得在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，A正確；對B：∵，∴的最小正周期不是，B錯誤；對C：，則為奇函數(shù)，的最小正周期分別為，故的最小正周期為∵，當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上的最大值為，由為奇函數(shù)可得：在上的最小值為，由周期函數(shù)可得：的最大值為，最小值為，C正確；對D：若，不妨設(shè)為最大值點，為最小值點，則，故，可得當(dāng)時，取到最小值，D正確.故選：ACD.〖『點石成金』〗關(guān)鍵點『點石成金』：根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和奇偶性分析的周期性和奇偶性，這與我們在處理問題時，只需分析在上單調(diào)性和最值即可.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，且，則等于______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求得，再根據(jù)兩角差的正切公式運算求解.〖詳析〗∵，則，則，可得，∴.故〖答案〗為：.14.若，則被5除的余數(shù)是______．〖答案〗4〖解析〗〖祥解〗分別取，兩式相加可求得，進(jìn)而根據(jù)二項式定理展開，判斷被5除的余數(shù).〖詳析〗由題知，時，①，時，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余數(shù)是4.故〖答案〗：4.15.三棱錐中，，，點E為CD中點，的面積為，則AB與平面BCD所成角的正弦值為______，此三棱錐外接球的體積為______．〖答案〗①.##②.##〖解析〗〖祥解〗設(shè)平面，垂足為，可證得在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為，，從而可求得，利用三角形面積公式可求得，結(jié)合已知條件與余弦定理，勾股定理可證得，從而為外接球直徑，利用球的體積計算即可．〖詳析〗設(shè)平面，垂足為，如圖，過作于點，過作于，連接，由平面，平面，得，又，平面，平面，平面，得，同理，從而均為直角三角形，∵，，∴，則在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為．∵，∴，又，，即，則AB與平面BCD所成角的正弦值為，又，解得，又，，，同理，，為外接球直徑，三棱錐外接球的體積為．故〖答案〗：，.16.已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由得，令，可解得，代入，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得〖答案〗.〖詳析〗由得，令，可解得，則，當(dāng)時等號成立．故的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17設(shè)，向量，，．（1）令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求證：．〖答案〗（1）證明見詳析（2）證明見詳析〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得，進(jìn)而可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）利用裂項相消法分析證明.〖小問1詳析〗由題意可得：，則，可得，故數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列.〖小問2詳析〗由（1）可得：，則，∵，故.18.在中，角、、的對邊分別為、、．已知．（1）求角的大??；（2）給出以下三個條件：①，；②；③．若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）的角平分線交于點，求的長．〖答案〗（1）（2）（i）；（ii）.〖解析〗〖祥解〗（1）由已知條件可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由以及①或②或③解三角形，可得出正確的條件.（i）求出的值，利用正弦定理可求得的值；（ii）由結(jié)合三角形的面積公式可求得的長.〖小問1詳析〗解：因為，若，則，不滿足，所以，，，.〖小問2詳析〗解：由及①，由余弦定理可得，即，，解得；由及②，由余弦定理可得，由可得，可得；由及③，由三角形的面積公式可得，可得.經(jīng)分析可知①②不能同時成立，①③不能同時成立，正確條件為②③，故，.（i）將，代入②可得可得.在中，由正弦定理，故.（ii）因為，即，所以，.19.如圖，在矩形ABCD中，，E為邊CD上的點，，以BE為折痕把折起，使點C到達(dá)點P的位置，且使二面角為直二面角，三棱錐的體積為．（1）求證：平面平面PAE；（2）求二面角的余弦值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取BE中點，則，由三棱錐的體積得，可得，由平面ABCD得，故平面PBE，得，又，可得平面，進(jìn)而得證；（2）以D為原點，為x，y軸正向，過作軸垂直于平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BPA和平面DPA的法向量，由向量的夾角公式求解即可．〖小問1詳析〗設(shè)，由題意為等腰直角三角形，折疊后為等腰直角三角形，取BE中點，連接PF，則，由于二面角為直二面角，故平面ABCD，且，則，得，即．則，故，又平面ABCD，故，又PF與BE相交，故平面PBE，故，又，且PE與AE相交，故平面，又面PAB，故平面平面.〖小問2詳析〗以D為原點，為x，y軸正向，過作軸垂直于平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面BPA的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面DPA的法向量為，則，取，可得，則，由于二面角為鈍角，故其余弦值為．20.2022年12月初某省青少年乒乓球培訓(xùn)基地舉行了混雙選拔賽，其決賽在韓菲/陳宇和黃政/孫藝兩對組合間進(jìn)行，每場比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的贊助商提供了10000元獎金，并規(guī)定：①若其中一對贏的場數(shù)先達(dá)到4場，則比賽終止，同時這對組合獲得全部獎金；②若比賽意外終止時無組合先贏4場，則按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎金的概率之比給兩對組合分配獎金．已知每場比賽韓菲/陳宇組合贏的概率為，黃政/孫藝贏的概率為，且每場比賽相互獨立．（1）若在已進(jìn)行的5場比賽中韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場，求比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金的概率；（2）若比賽進(jìn)行了5場時終止（含自然終止與意外終止），則這5場比賽中兩對組合之間的比賽結(jié)果共有多少不同的情況？（3）若比賽進(jìn)行了5場時終止（含自然終止與意外終止），設(shè)，