2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解三角形1.1正弦定理課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版必修5

PAGE正弦定理(20分鐘35分)1.在△ABC中,B=135°,C=15°,a=3,則邊b= ()A.5QUOTE B.4QUOTE C.3QUOTE D.2QUOTE【解析】選C.因?yàn)锽=135°,C=15°,所以A=180°-B-C=30°,所以由正弦定理QUOTE=QUOTE可得b=QUOTE=3QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,已知a=8,∠B=60°,∠C=75°,則b等于 ()A.4QUOTE B.4QUOTE C.4QUOTE D.QUOTE【解析】選C.A=180°-(B+C)=45°.然后利用正弦定理求出b=4QUOTE.2.在△ABC中,a=80,b=100,A=45°,則此三角形解的狀況是 ()A.一解 B.兩解C.一解或兩解 D.無(wú)解【解析】選B.由題意知,a=80,b=100,A=45°,所以bsinA=100×QUOTE=50QUOTE<80,如圖因?yàn)閎sinA<a<b,所以此三角形的解的狀況有2種.3.若滿(mǎn)意QUOTE=QUOTE=QUOTE,則△ABC為 ()A.等邊三角形B.有一個(gè)內(nèi)角為30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一個(gè)內(nèi)角為30°的等腰三角形【解析】選C.由正弦定理可知QUOTE=QUOTE=QUOTE,又QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cosB=sinB,cosC=sinC,有tanB=tanC=1.所以B=C=45°.所以A=180°-45°-45°=90°.所以△ABC為等腰直角三角形.4.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若B=QUOTE,C=QUOTE,a=2,則△ABC的面積為.

【解析】由題意可知,在△ABC中sinA=sin(B+C)=sinQUOTE+QUOTE=sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以b=QUOTE×sinB=QUOTE×QUOTE=3QUOTE-QUOTE,所以S=QUOTEabsinC=QUOTE×2×(3QUOTE-QUOTE)×QUOTE=3-QUOTE.答案:3-QUOTE5.在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,滿(mǎn)意2acosC+ccosA=b,則sinA+sinB的最大值是.

【解析】因?yàn)?acosC+ccosA=b,所以2sinAcosC+sinCcosA=sinB=sin(A+C),所以2sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+sinCcosA,所以sinAcosC=0,所以cosC=0,,即C=QUOTE,所以sinA+sinB=sinA+cosA=QUOTEsinQUOTE≤QUOTE當(dāng)且僅當(dāng)A=QUOTE時(shí)取等號(hào).答案:QUOTE6.已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.【解析】因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以a=QUOTE=QUOTE=10QUOTE.B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°.又因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=20sin75°=20×QUOTE=5(QUOTE+QUOTE).(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在銳角△ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,若2asinB=QUOTEb,則角A等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)?asinB=QUOTEb,由正弦定理可得:2sinAsinB=QUOTEsinB,又sinB≠0,所以sinA=QUOTE.因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以A=QUOTE.2.已知△ABC中,A=45°,a=1,若△ABC僅有一解,則b∈ ()A.{QUOTE} B.(QUOTE,+∞)C.{QUOTE}∪(0,1] D.{QUOTE}∪(0,1)【解析】選C.由題中已知△ABC中,A=45°,a=1,則角A所對(duì)的高線長(zhǎng)可表示為bsin45°=QUOTEb,因?yàn)槿切涡螒B(tài)唯一,所以三角形為直角三角形或鈍角三角形,則a=QUOTEb或a≥b>0,所以b=QUOTEa=QUOTE或0<b≤1.3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.下列關(guān)系式中肯定成立的是 ()A.a>bsinA B.a=bsinAC.a<bsinA D.a≥bsinA【解析】選D.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得a=QUOTE,在△ABC中,因?yàn)?<sinB≤1,所以QUOTE≥1,所以a≥bsinA.4.在△ABC中l(wèi)g(sinA+sinC)=2lgsinB-lg(sinC-sinA),則△ABC的形態(tài)為 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【解析】選B.因?yàn)閘g(sinA+sinC)=lgQUOTE,所以sin2C-sin2A=sin2B,結(jié)合正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC為直角三角形.【誤區(qū)警示】本題簡(jiǎn)單因?qū)?shù)運(yùn)算公式遺忘從而造成計(jì)算出錯(cuò).5.已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,已知C=45°,c=QUOTE,a=x,若滿(mǎn)意條件的三角形有兩個(gè),則x的取值范圍是 ()A.QUOTE<x<2 B.QUOTE<x<1C.1<x<2 D.1<x<QUOTE【解析】選A.在△ABC中,由C=45°,c=QUOTE,a=x,則asinC=xsin45°=QUOTEx,要使得三角形有兩個(gè),則滿(mǎn)意QUOTEx<c<x,即QUOTEx<QUOTE<x,解得QUOTE<x<2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(QUOTE,2).二、填空題(每小題5分,共15分)6.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A=QUOTE,B=QUOTE,a=3QUOTE,則b=.

【解析】在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE7.在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=csinA,則QUOTE的最大值為.

【解題指南】由正弦定理的邊化角公式以及兩角和的正弦公式整理得出C=90°,再次利用邊化角公式化簡(jiǎn)QUOTE,結(jié)合協(xié)助角公式得出QUOTE=QUOTEsinQUOTE,由B+QUOTE的范圍確定其最大值即可.【解析】由正弦定理邊化角公式得sinBcosC+cosBsinC=sinCsinA,則sin(B+C)=sinCsinA,即sinA=sinAsinC,因?yàn)?<A<π,所以sinA≠0,即sinC=1,C=90°,所以QUOTE=QUOTE=sinA+sinB=sin(90°-B)+sinB=sinB+cosB=QUOTEsinQUOTE,因?yàn)锽∈QUOTE,所以B+QUOTE∈QUOTE.所以當(dāng)B+QUOTE=QUOTE,即B=QUOTE時(shí),QUOTE取最大值QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,若C=2B,則QUOTE的取值范圍為.

【解析】因?yàn)锳+B+C=π,C=2B,所以A=π-3B>0,所以0<B<QUOTE,所以QUOTE<cosB<1.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=QUOTE=2cosB,所以1<2cosB<2,故1<QUOTE<2.答案:(1,2)三、解答題(每小題10分,共20分)9.在△ABC中,(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),試推斷△ABC的形態(tài).【解析】由(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),得a2[sin(A+B)-sin(A-B)]=b2[sin(A+B)+sin(A-B)],所以a2·cosAsinB=b2sinAcosB.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB.因?yàn)?<A<π,0<B<π,所以sinA>0,sinB>0,0<2A<2π,0<2B<2π,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=QUOTE.所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.10.已知下列各三角形中的兩邊及其中一邊的對(duì)角,推斷三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80°.(2)a=2QUOTE,b=6,A=30°.【解析】(1)a=10,b=20,a<b,A=80°<90°,探討如下:因?yàn)閎sinA=20sin80°>20sin60°=10QUOTE,所以a<bsinA,所以本題無(wú)解.(2)a=2QUOTE,b=6,a<b,A=30°<90°,因?yàn)閎sinA=6sin30°=3,a>bsinA,所以bsinA