雙曲線講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

雙曲線講義一、定義①焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn):F動(dòng)點(diǎn)Px,y則x化簡(jiǎn)得:x其中a>0,b>0這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1我們稱F1?c,0A1?a,0和A22c:焦距,2a:實(shí)軸長(zhǎng),2b:虛軸長(zhǎng)漸近線:y=±bax記憶方法:離心率:e注意1：如果不添絕對(duì)值若PF1?PF2=2a,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支(2)若注意2：如果a=則PF1?PF2=F1F(1)PF1?PF2=F1F(2)PF2?PF1=F1F注意3：如果a>則PF所以動(dòng)點(diǎn)P不可能存在②焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn):F動(dòng)點(diǎn)Px,y則x化簡(jiǎn)得:y其中a>0,b>0這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2我們稱F10,?c和A10,?a和A202c:焦距,2a:實(shí)軸長(zhǎng),2b:虛軸長(zhǎng)漸近線:y=±abx記憶方法:離心率:e注意1：如果不添絕對(duì)值(1)若PF1?PF2(2)若PF2?PF1注意2：如果a=則PF1?PF2=F1F(1)PF1?PF2=F1F(2)PF2?PF1=F1F注意3：如果a>則PF所以動(dòng)點(diǎn)P不可能存在二、等軸雙曲線:a=b,也即等軸雙曲線的離心率為e=2,漸近線方程為:y三、通徑x我們稱2b2四、雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離考慮雙曲線焦點(diǎn)F1?c,按照點(diǎn)到直線的距離公式得到:d所以雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長(zhǎng)五、雙曲線頂點(diǎn)到漸近線的距離考慮雙曲線頂點(diǎn)A1?a,按照點(diǎn)到直線的距離公式得到:d=六、焦半徑的范圍假設(shè)雙曲線:x2a2?y2b2=F2c,0證明:P==由于x≥a,所以同理,P七、關(guān)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形△PF1F2①若∠F1PF證明:由余弦定理得到:F假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支,由定義得:P兩邊平方得到:P所以4所以4所以P②焦點(diǎn)三角形的面積公式若∠F1PFS=③焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心軌跡設(shè)P為雙曲線:x2a則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心I的軌跡為無端點(diǎn)線段也即:x=a?b<y<b且y則A在x軸上由于P所以PM又因?yàn)镻M所以M又因?yàn)镸所以A所以A在雙曲線右支上又因?yàn)锳在x軸上所以A為雙曲線的右頂點(diǎn)(a,0)又因?yàn)镮A⊥x所以I在直線x=a又雙曲線x2a2?又由于y所以結(jié)合圖形知:△PF1F2的內(nèi)切圓圓心I的軌跡為無端點(diǎn)線段AB也即:x=a④橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題設(shè)橢圓:x2a12則橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)F1和F2,設(shè)橢圓和雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,證明:證明:P在△PF1F所以4所以4所以1因?yàn)閑所以sin八、中點(diǎn)弦問題(點(diǎn)差法)設(shè)A,B都在雙曲線:x2a2?y2b2=1a>0,b>0,AB的中點(diǎn)為證明:設(shè)Ax1,y兩式作差得到:x平方差因式分解得到:x所以y又由于k所以k九、過雙曲線焦點(diǎn)的弦過雙曲線:x2a2?y2b2=1A在第一象限,B在第四象限,直線AB的傾斜角為θ,分別求出A若設(shè)AF2BF2=t,直線AB的斜率為則