專練08 四邊形中線段的數(shù)量與位置關(guān)系-2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)高分突破訓(xùn)練（教師版含解析）

專練08四邊形中線段的數(shù)量與位置關(guān)系

1.在平行四邊形ABCD中，E是4D上一點(diǎn)，AE^AB,過點(diǎn)E作直線EF,在EF上取一點(diǎn)G,

使得乙EGB=Z.EAB,連接AG.

(1)如圖1,當(dāng)EF與AB相交時(shí)，當(dāng)NEAB=60°時(shí)，

請(qǐng)直接寫出ZC度數(shù)為；

(2)求證：EG=AG+BG；

(3)如圖2,當(dāng)EF與CD相交時(shí)，且Z.EAB=90°,請(qǐng)你寫出線段EG,AG,BG之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴①60°

⑵在GE上取H,使GH=GB,連接HB、EB

'：Z.EGB=乙EAB=60°,AE=AB

，4HGB、△EAB是等邊三角形

,BE=BA,BH=BG,Z.GBA+/.ABH=60°,4HBE+乙ABH=60°

二4HBE=Z.GBA

：.△HBESAGBA

二HE=GA

：.GE=GH+HE=BG+AG

(3)連接AG,將t^AGE繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至4AHB處

HB=GE,AH=AG

'：乙EGB=Z.EAB=90。

:在四邊形ABGE中，/.ABG+/.AEG=180"

，，ABH+乙ABG=180°,即H,B,G三點(diǎn)共線

AEAG+/.BAG=90°

二乙HAB+^BAG=90°,B|JZ.HAG=90°

'/AH=AG

△AHG是等腰直角三角形

HG=V2AG

'：HG=HB+BG=EG+BG

EG+BG=y/2AG.

【解析】⑴平行四邊形ABCD中

**?AD“BC,AB“CD

：.Z.EAB+/.ABC=180°,zC+AABC=180°

；?Z.EAB=ZC

Z.EAB=60°

???ZC=60°

故答案為：60°

2.如圖，以△A3c的各邊為邊長，在邊3c的同側(cè)分別作正方形,正方形BCFE,正方形

ACHG連接4。,DEEG.

G

E

(1)求證：ABDE當(dāng)dBAC；

⑵求證：四邊形AOEG是平行四邊形；

(3)若四邊形AOEG是正方形，請(qǐng)直接寫出AC與AB的數(shù)量關(guān)系(不用寫證明過程)

【答案】(1)證明：???四邊形ABDI、四邊形BCFE是正方形

???BD=BA,BE=BC,ZDBA=ZEBC==90°

AZDBE+ZEBA=90°,ZABC+ZEBA=90°

，NDBE=NABC

/.△BDE^BAC

(2)證明：VABDE^BAC

:.DE=AC=AG

ZBAC=ZBDE

VAD是正方形ABDI的對(duì)角線，

???NBDA=NBAD=45°.

NEDA=ZBDE-NBDA=ZBDE-45°

ZDAG=360°-ZGAC-ZBAC-ZBAD

=360°-90°-ZBAC-45°

=225°-ZBAC

???ZEDA+ZDAG=ZBDE-45°+225°-ZBAC=180°

???DE〃AG,VDE=AG

???四邊形ADEG是平行四邊形.

(3)AC=V2AB

3汝口圖

A

(1)［方法呈現(xiàn)］

如圖①，△ABC中，AD為中線，已知AB=3,AC=5,求中線AD長的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：

延長AD至點(diǎn)E,使DE=AD,連結(jié)CE,則易證△DEC絲z^DAB,得到EC=AB=3,則可得AC-CE<

AE<AC+CE,從而可得中線AD長的取值范圍是.

(2)［探究應(yīng)用］

如圖②，在四邊形ABCD中，AB〃CD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是NBAD的平分線，試判斷AB,AD,

DC之間的等量關(guān)系，并寫出完整的證明過程.

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AF與DC的延長線交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是

/BAF的平分線，試探究AB,AF,CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論

【答案】(1)1<AD<4

(2)解：延長AE,DC交于點(diǎn)F,

VAB/7CD,

；./BAF=/F,

在^ABE和4FCE中

CE=BE,ZBAF=ZF,ZAEB=ZFEC,

.,.△ABE^AFEC(AAS),

，CF=AB

：AE是ZBAD的平分線，

，/BAF=NFAD,

，NFAD=NF,

，AD=DF,

：DC+CF=DF,

Z.DC+AB=AD.

(3)解：延長AE,DF交于點(diǎn)G,

同⑵可得：AF=FG,△ABE^AGEC,；.AB=CG,；.AF+CF=AB

【解析】(1)解：(1)由題意知AC-CEVAEVAC+CE,即5-4VAEV5+3,

A1<AD<4,

故答案為：1<AD<4；

4.已知在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=kBC,直線I經(jīng)過點(diǎn)A,過點(diǎn)C、B分別向直線I作

垂線，垂足分別為E、F,CE交4B于點(diǎn)M.

(1)如圖，若k=l,求證：AE+BF=CE.

(2)如圖2,若k=2,則4E、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系是

F

BE

d

圖2

(3)在(2)的條件下，如圖3,連接CF,過點(diǎn)A作AG“CF,交CE延長線于點(diǎn)G,若CF=3追，

=5,求MG的長.

B

(-

【答案】(1)證明：如圖，過點(diǎn)C作CH_LBF,交FB的延長線于點(diǎn)H,

CH1BF,BFLEF,CE1.EF,

???LCHF=LHFE=Z.FEC=90°,

???四邊形CEFH是矩形，

，CE=HF,Z.HCE=90°,

/-HCE=^LACB=90°,

???Z.HCB+乙BCE=Z.ECA+乙BCE=90°,即(HCB=Z.ECA,

vAC=kBC,k=1,

/.AC=BC,

乙BHC=Z.AEC=90°

在△BHC和△AEC中，｛乙HCB=Z.ECA,

BC=AC

：.△BHC=△AEC^AAS)，

JBH=AE,

AE+BF=BH+BF=HF=CE,

即AE+BF=CE；

⑵CE=^AE+BF

(3)解：如圖，過C作CP_LBF,交.FB的延長線于點(diǎn)P,

由(2)可知，CP=EF,CE=PF,AE=2BP,EC=2PC,

：.PF=CE=2PC,

在Rt△CPF中，由勾股定理得：。。2+2尸2="2,

PC2+(2PC)2=(3V5)2,解得PC=3或PC=-3(不符題意，舍去)，

AEF=PC=3,PF=CE=2PC=6,BP=PF-BF=6-5=1,AE=2BP=2,

AF=EF+AE=5,

；CF//AG,

/.△AEGFEC,

?EGAEpartEG2

??一=—,RJ—=-,

ECFE63

解得EG=4,

???乙AEC=Z.AFB=90°,

???EM“BF,

/.△AEMAFB,

?MEAEME2

??——=一,nnKJ——=-,

BFAF55

解得ME=2,

??.MG=EG-i-ME=6,

故MG的長為6.

【解析】(2)如圖，過C作CP18尸，交FB的延長于點(diǎn)P,

CPLBF,BFLEF,CELEF,

，乙CPF=乙PFE=乙FEC=90°,

???四邊形CEFP是矩形,

CP=EF,CE=PF,4PCE=90°,

Z.ACB=乙PCE=90°,

Z.ECA+Z.BCE=乙PCB+乙BCE=90°,即^ECA=Z.PCB,

在和中，［端

*??△AEC~&BPC,

AEECACkBC.

——=—k-oL，

BPPCBCBC

???AE=2BP,EC=2PC,

CE=PF=BP+BF,AE+BF,

故答案為：CE=^AE+BF；

5.已知，正方形ABCD中，4MAN=45。，KMAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC

(或它們的延長線)于點(diǎn)M,N,AHLMN于點(diǎn)H.

D

BM

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當(dāng)乙MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系:

(2)如圖②，當(dāng)乙MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM手DN時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？

如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明;

(3)如圖③，已知AMAN=45°,AH1MN于點(diǎn)H,且MH=2,NH=3,求AH的長.(可利用

(2)得到的結(jié)論)

【答案】(1)AH=AB

(2)解：(1)中的數(shù)量關(guān)系仍成立.理由如下:

如圖②，延長CB至E,使BE=DN

圖②

ABCD是正方形

二AB=AD,Z.D=4ABE=90"

在Rt△AEB和Rt△AND中

AB=AD

{/.ABE=4ADN

BE=DN

Rt△AEB=RtAND

：.AE=AN,/.EAB=乙NAD

：.LEAM=Z.NAM=45°

在和t^ANM中

AE=AN

{/.EAM=4NAM

AM=AM

△AEMANM

SAX&M=S—NM，，EM=MN

,/AB,4H是△4EM和△4NM對(duì)應(yīng)邊上的高

/.AB=AH

(3)解：如圖③分別沿AM,AN翻折AAMH和AANH,得到△ABM和AAND,

BM=2,ON=3,ZB=ZD=/.BAD=90°

分別延長BM和DN交于點(diǎn)C,得正方形ABCD

由(2)可知，AH=AB=BC=CD=AD

設(shè)=x,則MC=x-2,NC=x-3

在Rt△MCN中，由勾股定理，得

MN2=MC2+NC2

：.52=(x-2)2+(x-3)2

解得%i=6>x2=-1(不符合題意，舍去)

二AH=6.

【解析】解：(1)AH=AB

理由如下：

???四邊形ABCD是正方形，

二AB=AD,ZB=4。=90°,

在ZMBM與ZMDN中，

AB=AD

{NB=乙D

BM=DN

：.△ABM三2ADN

：.乙BAM=乙DAN,AM=AN

"：AH1MN

：.2LMAH=-^MAN=22.5°

2

乙BAM+Z.DAN=45°

，/.BAM=22.5°

在AABM與ZMHM中

ABAM=4HAM

{NB=乙4HM=90°

AM=AM

△ABM三&AHM

：.AB=AD=AH

故答案為：AH=AB

6.某學(xué)?；顒?dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程:

操作發(fā)現(xiàn):

(1)如圖1,分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE、CD,請(qǐng)你完成作圖

并證明BE=CD.(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡)

⑵類比探究：

如圖2,分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG,連接CE、BG,則線段CE、

BG有什么關(guān)系？說明理由.

(3)靈活運(yùn)用：

如圖3,在四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，AB=BC,ZABC=60°,ZADC=3O°,AD=3,BD=5,求

CD的長.

【答案】(I)作圖，如圖所示：

VAABD和4ACE都為等邊三角形,

，AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

:./BAD+/BAC=NCAE+NCAB,即NDAC=NEAB,

在4ACDflJAAEB中,

AD=AB

{/.DAC=/.EAB,

AC=AE

.,.△ACD^AAEB(SAS),

，BE=CD

(2)CE=BG,理由為：

證明：???四邊形ABDE與四邊形ACFG都為正方形，

；.AE=AB,AC=AG,ZEAB=ZCAG=90°,

，NEAB+/BAC=NCAG+NCAB,即NEAC=NBAG,

在^ACEABG中，

AE=AB

{Z.EAC=/.BAG,

AC=AG

.,.△ACE^AABG(SAS),

；.CE=BG

(3)VAB=BC,ZABC=60°,

.?.△ABC是等邊三角形，

；.AB=AC,ZACB=60°,

在CD夕卜側(cè)作等邊△CDE,則NADE=90。，DE=DC,NDCE=60。,

VZACB=ZDCE=60°,

.\ZACE=ZBCD,

在4ACE和^BCD中,

CD=CE

{/.BCD=/.ACE，

AB=AC

.,.△ACE^ABCD(SAS)

，AE=BD,

:在RSADE中，DE2=AE2-AD2=BD2-AD2=52-32=16,

ADEM,

7.如圖，正方形ABCD,點(diǎn)P在射線CB上運(yùn)動(dòng)(不包含點(diǎn)B、C),連接DP,交AB于點(diǎn)M,作BE,DP于

點(diǎn)E,連接AE,作/FAD=/EAB,FA交DP于點(diǎn)F.

(1)如圖a,當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)，

①求證：DF=BE；

②請(qǐng)判斷DE、BE、AE之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

(2)如圖b,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，DE、BE、AE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出答案，不必證明；

(3)如果將已知中的正方形ABCD換成矩形ABCD,且AD：AB=g：1,其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P在射線

CB上時(shí)，DE、BE、AE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出答案，不必證明.

【答案】(1)證明：①正方形ABCD中，AD=AB,ZADM+ZAMD=90°

VBE1DP,

，ZEBM+ZBME=90°,

VZAMD=ZBME,

，NEBM=NADM,

在^ABE△ADF中，

々FAD:ZEAB

{NEBM-ADM'

AD=AB

.?.△ABE絲△ADF,

；.DF=BE；

②DE=BE+V2AE,

理由：由(1)有△ABE絲4ADF,

，AE=AF,ZBAE=ZDAF,

ANBAE+/FAM=NDAF+NFAM,

/.ZEAF=ZBAD=90°,

AEF=y[2AE,

VDE=DF+EF,

?，?DE=BE+V2AE；

(2)解：DE=V2AE-BE；

(3)DE=2AE+百BE或DE=2AE-用BE.

【解析】(2)證明：正方形ABCD中，AD=AB,ZBAD=ZBAE+ZDAE=90°,

VZFAD=ZEAB,

.\ZEAF=ZBAD=90o,

???ZAFE+ZAEF=90°

?.?BE_LDP,

???ZBEA+ZAEF=90°,

AZBEA=ZAFE,

VZFAD=ZEAB,AD=AB

/.△ABE^AADF,

AAE=AF,BE=DF

???ZEAF=90°

：.EF=V2AE,

VEF=DF+DE=V2AE,

ADE=V2AE-DF=aAE-BE；

(3)證明：①如圖1所示時(shí)，

正方形ABCD中，ZADM+ZAMD=90°

VBE1DP,

AZEBM+ZBME=90°,

VZAMD=ZBME,

AZEBM=ZADM,

VZFAD=ZEAB

/.△ABE^AADF,

...-A-B----A-E----B-E-,

ADAFDF

VAD：AB=V3：1?

.AE_1_B￡

'"AF~yf3~DF，

AAF=V3AE,DF=百BE

VZFAD=ZEAB

:.ZEAF=ZEAB+ZBAF=ZFAD+ZBAF=ZBAD=90°,

22

AEF=VAE+AF=2AE=DE-DF=DE-痘BE,

Bp：DE=2AE+V3BE；

②如圖2所示，

VZDAF=ZBAE,

???ZEAF=ZBAD=90°,

VZDAF=ZBAE,

AABAE^ADAF,

...4-8--=—4E=--B-E-,

ADAFDF

VAD：AB=V3：H

.AE_BE_1

??AF~DF~43，

AF=V3AE,DF=1/3BE,

ZEAF=90°,

22

根據(jù)勾股定理得，EF=VAE+AF=2AE=DE+DF=DE+百BE,

，DE=2AE-V3BE.

8.在--次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重

合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖1）,其中NACB=NDFE=90。，BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,并進(jìn)行如下研究活

動(dòng)。

圖1圖2圖3圖4

活動(dòng)一:將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結(jié)AE,BD（如圖2）,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移。

活動(dòng)二:在圖3中，取AD的中點(diǎn)0,再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度（0WaW90）,連結(jié)OB,0E（如

圖4）。

（1）圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由。

（2）當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3）。求AF的長。

（3）當(dāng)EF平分NAEO時(shí)，探究0F與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

【答案】（1）解：四邊形ABDE是平行四邊形

如圖

圖I

VAABC^ADEF,

；.AB=DE,NBAC=NEDF,

；.AB〃DE,

???四邊形ABDE是平行四邊形

⑵解：如圖1,連接BE交AD于點(diǎn)0,

?.?四邊形ABDE為矩形，

，OA=OD=OB=OE,

設(shè)AF=x(cm),貝OA=OE=：(x+4),

/.OF=OA-AF=2--x,

2

在RtAOFE中，OF2+EF2=OE2,

.*.(2--x)2+32=-(x+4)2,

24

解得:

X=;4

???AA口F=9-cm

4

⑶解：BD=20F,

證明:如圖2,

延長OF交AE于點(diǎn)H,

丁四邊形ABDE為矩形，

:.ZOAB=ZOBA=ZODE=ZOED,OA=OB=OE=OD,

AZOBD=ZODB,ZOAE=ZOEA,

???ZABD+ZBDE+ZDEA+ZEAB=360°,

/.ZABD+2ZBAE=180°,

???AE〃BD,

AZOHE=ZODB,

TEF平分NOEH,

:.ZOEF=ZHEF,

VZEFO=ZEFH=90°,EF=EF,

AAEFO^AEFH(ASA),

，EO=EH,FO=FH,

，ZEHO=ZEOH=ZOBD=ZODB,

.,.△EOH^AOBD(AAS),

/.BD=OH=2OF

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)如圖2,點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，BP交EF于點(diǎn)0,點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)M落在線段EF

上時(shí)，則有0B=0M.請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,若點(diǎn)P是射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M,連接AM,DM,當(dāng)AAMD是

等腰三角形時(shí)，求AP的長.

【答案】(1)證明：：四邊形ABCD是矩形，

，AB=CD,AB/7CD,ZA=90°,

VAE=EB,DF=FC,

，AE=DF,AE〃DF,

.??四邊形AEFD是平行四邊形，

VNA=90。，

四邊形AEFD是矩形.

(2)解：如圖2中，連接PM.BM.

圖2

???四邊形AEFD是矩形,

，EF〃AD,

VBE=AE,

，BO=OP,

由翻折可知，ZPMB=ZA=90°,

???OM=OB=OP.

(3)解：如圖3-1中，當(dāng)MA=MD時(shí)，連接BM,過點(diǎn)M作MH_LAD于H交BC于F.

圖3-1

?.?MA=MD,MH1AD,

???AH=HD=4,

VZBAH=ZABF=ZAHF=90°,

???四邊形ABFH是矩形，

，BF=AH=4,AB=FH=5,

???NBFM=90。，

VBM=BA=5,

**-FM=7BM2—BF2—V52-42=3，

???HM=HF=FM=5-3=2,

VZABP+ZAPB=90°,NMAH+NAPB=900,

AZABP=ZMAH,

VZBAP=ZAHM=90°,

AAABP^AHAM,

?APAB

..—f

HMAH

.AP

..一=5-，

24

，AP=-.

2

如圖3-2中，當(dāng)AM=AD時(shí)，連接BM,設(shè)BP交AM于F.

D

??.AD=AM=8,BA=BM=5,BF±AM,

???AF=FM=4,

???BF=NAB?_AFz=752_z[2=3，

VtanZABF=—=—,

ABBF

?AP4

??T=5'

???AP=—,

3

如圖3-3中，當(dāng)DA=DM時(shí),此時(shí)點(diǎn)P與D重合，AP=8.

A____________________pfP)

圖3-3

如圖3-4中，當(dāng)MA=MD時(shí)，連接BM,過點(diǎn)M作MHJ_AD于H交BC于F.

圖3T

VBM=5,BF=4,

???FM=3,MH=3+5=8,

由△ABPs/\HAM,可得絲=絲，

HMAH

.AP5

??一=-，

84

Z.AP=10,

綜上所述，滿足條件的PA的值為|或g或8或10.

10.四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E是4B的中點(diǎn)，連結(jié)DE,點(diǎn)、F是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不

與點(diǎn)B重合)，連結(jié)4F,交DE于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：AABF三△04E；

圖I

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求AG的長;

圖2圖3（備用）

（3）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段BF為何值時(shí),AG=AE?請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明：?：四邊形ABCD是正方形,

???乙B=Z.DAE=90°,AB=AD=BC,

???點(diǎn)、E、F分別是AB,BC的中點(diǎn),

：.AE=-AB,BF=-BC,

???AE—BF,

ABF=△DAE.

(2)在正方形ABCD中，AB//CD./-ADC=90。,A。=CD=2,

AC=\/AD2+CD2=V22+22=2魚，

vABHCD,

???△AGECGD

AGAE

CGAG

4G_1

即

2>12-AG2

2V2

AG=—3-

2>/2

故答案為:

3

（3）當(dāng)BF=|時(shí),AG=AE.理由如下:

由⑵知,當(dāng)點(diǎn)F與C重合（即BF=2）時(shí),

AG=—<1，

3

???點(diǎn)F應(yīng)在BC的延長線上（即BF>2）,

如圖所示，設(shè)力F交CD于點(diǎn)M,

若使AG=AE=1,

則有.Z1=Z2,

?:AB"CD,

:.zl=z.4,

又vz2=z3,

???z3=z4,

???DM=MG,

在RtLADM中，4M2-DM2=/ID2,

即(DM+l)2一DM2=22,

3

二DM=-,

2

31

-.CM=CD-DM=2--=-，

22

VAB11CD,

???△ABF-△MCF,

BF_AB

*'TF~'MC'

BF2

即月=丁,

2

BF=-,

3

o

.?.當(dāng)BF時(shí)，AG=AE.

故答案為：BF=1.

11.我們知道，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.利用這一性質(zhì)，可以為證明線段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系

提供幫助.

(1)重溫定理，識(shí)別圖形

如圖①，我們?cè)谔骄咳切沃形痪€DE和第三邊BC的關(guān)系時(shí)，所作的輔助線為“延長DE到點(diǎn)F,使EF=

DE,連接CF“，此時(shí)DE與DF在同一直線上且DE=：DF,又可證圖中的四邊形為平行四邊形,

可得BC與DF的關(guān)系是,于是推導(dǎo)出了“DE〃BC,DE=|BC”.

(2)尋找圖形，完成證明

如圖②，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，ZEBH=90°,連接CF、

CH.求證CF=V2BE.

(3)構(gòu)造圖形，解決問題

如圖③，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是菱形，ZABC-ZAEF=120°,連接BE、CF.直接自由CF與

BE的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(l)DBCF；BC〃DF,BC=DF

(2)解：在正方形ABCD和等腰直角三角形BEH中,

ZABC=ZEBH=90°,BA=BC,BE=BH.

AZABE=ZCBH.

AAABE^ACBH.

AAE=CH,ZAEB=ZCHB.

在正方形AEFG中，AE=EF,ZAEF=90°.

:.EF=CH.

在等腰直角三角形BEH中，NBEH=NBHE=45。.

AZAEB+ZFEH=360o-ZBEH-ZAEF=225°.

AZCHB+ZFEH=225°.

VZBHE=45°,

AZCHE+ZFEH=225°-45°=180°.

???EF〃CH.

???四邊形EHCF是平行四邊形.

，CF=EH.

?.?EH=>JBE2+BH2=y/BE2+BE2=V2BE,

ACF=V2BE.

(3)解:CF=V3BE.

作等腰△BEH,使BH=BE,ZEBH=120°,連接CH.

在菱形ABCD和等腰三角形BEH中,

VZABC=ZEBH=120°,

.??NABE=NCBH.

VBA=BC,BE=BH,

AAABE^ACBH.

.?.AE=CH,ZAEB=ZCHB.

在菱形AEFG中，???AE=EF,

，EF=CH.

VZBEH=(180°-ZEBH)：2=30°,ZAEF=120°,

JZAEB+ZFEH=360°-ZBEH-ZAEF=210°.

.\ZCHB+ZFEH=210°.

VZBHE=(180°-ZEBH)：2=30°,

AZCHE+ZFEB=210°-30°=180°.

:.EF〃CH.

???四邊形EHCF是平行四邊形.

ACF=EH.

在^BEH中，EH=BEtan60°=V3BE.

：,CF=V3BE.

【解析】解：(1)如圖，延長DE到點(diǎn)F,使得EF=DE,連接CF

在^ADE和^CFE中,

AE=EC

UAED=^CEF,

DE=EF

/.△ADE^ACFE(SAS),

AZA=ZECF,AD=CF,

.??CF〃AB,

X*.,AD=BD,

ACF=BD,

???四邊形BCFD是平行四邊形,

，DE〃BC,DE=-BC.

2

故答案為：DBCF；BC〃DF,BC=DF；

12.已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，AB=AE,過

點(diǎn)B作DE的垂線交DE所在直線于F,連接CF.

提出問題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？

(1)探究問題：

首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合(如圖①)時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重合用等式表示線段CF與

線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：；

(2)然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：

情況1：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)(如圖②)時(shí)；

情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外部一點(diǎn)(如圖③)時(shí).

在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與(1)中的結(jié)論是否相同？如果都相同，請(qǐng)選擇一

種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請(qǐng)說明理由；

⑶拓展問題：

連接AF,用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：.

【答案】⑴解：DE=V2CF

(2)解：在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與(1)中結(jié)論相同；理由如下：

情況1：V四邊形ABCD是正方形，

,CD=CB=AD=AB=AE,ZBCD=ZDAB=NABC=90°,

過點(diǎn)C作CGLCF,交DF于G,如圖②所示:

困6

貝|JNBCD=NGCF=9O。，

.\ZDCG=ZBCF,

設(shè)BC交DF于P,

VBF1DE,

AZBFD=ZBCD=90°,

VZDPC=ZFPB,

???NCDP=NFBP,

在^CDG和ACBF中，

Z.DCG=LBCF

{CD=CB,

(CDG=^CBF

.,.△CDG^ACBF(ASA),

/.DG=FB,CG=CF,

???△GCF是等腰直角三角形，

：.FG=y[2CF,

連接BE,

設(shè)NCDG=a,則NCBF=a,ZADE=90°-a,

VAD=AE,

，ZDEA=ZADE=90°-a,

???ZDAE=180°-2(90°-a)=2a,

???ZEAB=90°-2a,

VAB=AE,

AZBEA=ZABE=1(1800-ZEAB)=1(180°-90°+2a)=45°4-a,

AZCBE=90°-(45°+a)=45°-a,

ZFBE=ZCBE+ZCBF=45°-a+a=45°,

VBF±DE,

???△BEF是等腰直角三角形，

JEF二BF,

:.EF=DG,

:.EF+EG=DG+EG,即DE=FG,

ADE=V2CF；

情況2：過點(diǎn)C作CGLCF交DF延長線于G,連接BE,設(shè)CD交BF于P,如圖③所示:

圖③

VZGCF=ZBCD=90°,

AZDCG=ZBCF,

■:ZFPD=ZBPC,

???NFDP=NPBC,

在^CDG和^CBF中,

乙DCG=CBCF

{CD=CB，

^LCDG=Z.CBF

：.ACDG^ACBF(ASA),

???DG=FB,CG=CF,

???△GCF是等腰直角三角形,

AFG=V2CF,

設(shè)NCDG=a,則NCBF=a,

同理可知：ZDEA=ZADE=90°-a,ZDAE=2a,

，ZEAB=90°+2a,

VAB=AE,

???ZBEA=ZABE=45°-a,

.\ZFEB=ZDEA-ZAEB=90o-a-(45o-a)=45°,

VBF1DE,

??.△BEF是等腰直角三角形，

???EF=BF,

AEF=DG,

ADE=FG,

???DE=V2CF；

⑶AF+CF=V2DF或|AF-CF|=6DF

【解析】解：(1)：四邊形ABCD是正方形，

；.CD=CB,ZBCD=90°,

...△BCD是等腰直角三角形，

ADB=V2CB,

當(dāng)點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合時(shí)，則DE=V2CF,

故答案為：DE=V2CF；

(3)①當(dāng)F在BC的右側(cè)時(shí)，作HD_LDF交FA延長線于H,如圖④所示: