微積分06期末b分析和總結(jié)

對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)經(jīng)貿(mào)學(xué)院高等數(shù)學(xué)(上)期末考試試卷B

對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)

2005—2006學(xué)年第一學(xué)期

《高等數(shù)學(xué)(上)》期末考試試卷(B卷)

課程代碼及課序號(hào)：CMP—0

學(xué)號(hào)：______________姓名：_______________成績：______________

班級(jí)：______________課序號(hào)：_______________任課教師：______________

題號(hào)——四五六合計(jì)

得分

一、填空題：(每空2分，共12分)得分_____

/.函數(shù)“X)在x的某一去心鄰域內(nèi)有界是極限存在的條件，極限

°XTX

0

lim/(x)存在是/(x)在x的某一去心鄰域內(nèi)有界的條件。

XTX°

0

2.函數(shù)y=^3-x+arctg—的定義域?yàn)?-co,0)(0,3】。

x

1

4.設(shè)函數(shù)，則八幻的間斷點(diǎn)為_x=0_,屬于第_1一類間斷點(diǎn).

€x+1

4.設(shè)/(%)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且尸(0)=0Jim---=1,則f(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)

XTO2

增加o

f(x)

5.函數(shù)/(幻在x=2處連續(xù)，lim--=-1，則八2)=_-1?

.22%-2

6.已知J上=-+C,則/(尤)=衛(wèi)。

xX2

二、選擇題：(每題2分，共12分)得分__

1.當(dāng)XTO?時(shí),C與x是等價(jià)無窮小量.

(B)In(l-x)(C)小一工一Jl+x(D)X2(X+1)

2

2.曲線y=上對(duì)應(yīng)于點(diǎn)上=1處的切線方程為.

x

(A)y=-3x+5(B)y=-3x+1

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(C)y=x+1(D)y=-x+3

3.設(shè)f(x)在X=某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在工=。處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是()

limlimf(a+2h)-f(a+〃)

(A)存在

h

2+8h(/(a+〃)一f(a)口存在(B)/f_>o

(C)lim192少二￡俱上2(D)二色存在

存在

力TO〃一>0h

4.下列等式正確的是_______

(A)d\f(x)dx=/(x)d\f(x)dx=f(x)dx

(B)

(C)'f(x)dx=f(x)dxJf{x)dx=/(xi+c

(D)

dx'dx

5.設(shè)方程/一公，=孫確定)，是R的函數(shù)，則)，'(0)=_2

1-y

(A)e-y(B)1(C)-----(D)0

ey

6.J(———+1)t/sinx=

sin2x

(4)-ctgx+c(8)-ctgx+sinx+c

_L

(C)+sinx+c(D)~+sinJC+C

sinxsinx

三、計(jì)算題：(每題6分，共42分)得分,

1.求極限

2,求極限lim9tPI-

.v->0X

「ln(l+,v)l隹x

(1+x)1-e^ln(l^.v)

-In(l+x)

解lim?\=lim=lim__J_=lim(1+x)Tlt^v

X

x->0x-?OXx->0XTOX2

1-_-ln(l+x)

=lime—-幼----i-m-e--(-l十B1+,=e

I)2R(1+X)22

x->0X2XTO

3.設(shè)y=f(lnx)+ln/(x),其中f(x)二階可導(dǎo)，求y'。

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Jx=f2+ln2十"四div

4.設(shè)參數(shù)方程《確定了函數(shù)V=/(x)，求一■，巴2

[y=sin/-rcos/dxdx?

1

5.求不定積分J工工產(chǎn)

J---1--d=\—?—dx-f—---dr=x-ln(l+^x)+-----+。

解:

(1+ex)2(1+ex)(1+)21+如

Insinx.

6.求不定積分_____力

COS2X

rInsinxr

解J-sin.vJtanx=tanx-Insinr-x+c<>COS-X

國jx>0

7.設(shè)/(x)=4e問f(x)在x=0是否連續(xù)?

|L.J

[e2,x<0

解：lim/(x)=lime-2e-2=/(0),

x->0-0KTO-O

m+.r)ln(14-x)-x

因?yàn)?/p>

珪0_1

故limf(x)==Iime=er,。2x=e2=/(0),

x->0+0XTO+O

所以f。)在X=O連續(xù)。

四、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題(9分)：

2P2

設(shè)某商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)減少函數(shù)：Q=Q(P),其需求彈性n-j；-

192-Pi

(]R

(1)設(shè)R為總收益函數(shù)，證明__=e(l-n).

dP

(2)求P=6時(shí)總收益對(duì)價(jià)格的彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。

dR八ndQPdQ、、

解(1)R(P);PQ(P),兩邊同時(shí)對(duì)p求導(dǎo)得__=。+。__=。(1+____)=2(l-n).

dPdPQdP

(2)

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ER_PdR_°=1-9=I。？^尸-歐192-3x62_7*054

~EP~7^P~~PQ792-P2-麗16一一192^67--13

六（13分）求函數(shù)尸—口又?的單調(diào)區(qū)間與極值'曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、漸近線'并作

出函數(shù)的圖形，并將討論的結(jié)果填入表內(nèi)。

單調(diào)區(qū)間單增區(qū)間單減區(qū)間

極值

凹凸區(qū)間凹區(qū)間凸區(qū)間

拐點(diǎn)

漸近線

解：⑴定義域（-雙-1）11（-1,+8），X=-l為間斷點(diǎn)

（2）單調(diào)性、極值、凹向、拐點(diǎn)

y'=—-,yr=---令曠=0,得x=0,x=-3,yW）,得x=0,x=T時(shí)，y，與y，不存在.

（x+l）3（x+l）412

列表

Xy,-3)-3(-3,-1)(-1,0)0(0,+00)

y+0一間斷點(diǎn)++

V一—間斷點(diǎn)-0+

27

腆極大值（一二）間斷點(diǎn)拐點(diǎn)（0,0）

yn4JnrnTU

(3)漸進(jìn)線：/W=lim*=l,lim(#-x)=-2,所以y=x-2為

lim一

x-yxiXfMx+1)2…(x+l)2

斜漸進(jìn)線，lim_r__=-8,所以x=l為垂直漸進(jìn)線

x+l（X+l）2

（4）圖形略

五、證明題（共12分）得分

1.（6分）證明不等式：當(dāng)0<%<二時(shí)，sinx>￡xo

2n

證明：只需證?上>3。

X71

sinx2冗冗

令/?=-----,則/（x）在（0,_］內(nèi)連續(xù)，且/（_）=0,又

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xn22

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f\x)='COS"-sin”,再令g(x)=xcosx-sin.E,則g(?在［0「］上連續(xù)，

x22

7C

且g(0)=0；又g'(x)=cosx-xsinx-cosx=TSinx<0。所以在［0,—］內(nèi)

2

g(x)為單調(diào)減函數(shù)，故當(dāng)x>。時(shí)g(x)<g(0)=0,即xoosx-sin工<0。于是

當(dāng)0cxe;時(shí)，/'(幻<