廣東省六校（廣州二中深圳實(shí)驗(yàn)珠海一中中山紀(jì)念東莞中學(xué)惠州一中）高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

2018屆廣東省六校第三次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】由題意得圓的圓心到直線的距離為，故直線和圓相切，即直線和圓有1個(gè)公共點(diǎn)，所以的元素個(gè)數(shù)為1．選B．2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，解得．∴．選A．3.若變量滿(mǎn)足約束條件，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】畫(huà)出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示）．由得，平移直線，結(jié)合圖形可得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z取得最大值，由題意得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0），∴．當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最小，此時(shí)z取得最小值，由，解得，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴．綜上可得，故的取值范圍是．選D．4.函數(shù)的部分圖象大致為A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)，由得，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?，∴函?shù)為奇函數(shù)，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．選A．5.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)滿(mǎn)足．若函數(shù)（其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）是偶函數(shù)，則等于A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．又，∴．選A．6.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的分別為1，2，3，輸出的,那么，判斷框中應(yīng)填入的條件為()A.B.C.D.【答案】C【解析】依次執(zhí)行程序框圖中的程序，可得：①，滿(mǎn)足條件，繼續(xù)運(yùn)行；②，滿(mǎn)足條件，繼續(xù)運(yùn)行；③，不滿(mǎn)足條件，停止運(yùn)行，輸出．故判斷框內(nèi)應(yīng)填，即．選C．7.已知（，為虛數(shù)單位），又?jǐn)?shù)列滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，為的虛部．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得，∴當(dāng)時(shí)，，又，故當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，．∴．選C．8.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，三個(gè)單位向量滿(mǎn)足條件：與的夾角為，且，與與的夾角為45°.若，則的值為()A.3B.C.D.【答案】B【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由知為銳角，且，故，．∴點(diǎn)B,C的坐標(biāo)為，∴．又，∴，∴，解得，∴．選B．9.四面體中，三組對(duì)棱的長(zhǎng)分別相等，依次為5，4，，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】由于四面體的三組對(duì)棱分別相等，故可構(gòu)造在長(zhǎng)方體內(nèi)的三棱錐(如圖所示)，其中．設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為，則有．（1）由②③得，又，∴，解得．（2）由②③得，又，∴，解得．綜上可得．故的取值范圍是．選C．點(diǎn)睛：由于長(zhǎng)方體的特殊性，因此解題時(shí)構(gòu)造長(zhǎng)方體中的四面體是解答本題的關(guān)鍵，借助幾何模型使得解題過(guò)程順利完成，這也是解答立體幾何問(wèn)題的常用方法．10.從2個(gè)不同的紅球、2個(gè)不同的黃球、2個(gè)不同的藍(lán)球共六個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)色的三個(gè)袋子中，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有()A.42種B.36種C.72種D.46種【答案】A【解析】分以下幾種情況：①取出的兩球同色，有3種可能，取出球后則只能將兩球放在不同色的袋子中，則共有種不同的方法，故不同的放法有種．②取出的兩球不同色時(shí)，有一紅一黃、一紅一藍(lán)、一黃一藍(lán)3種取法，由于球不同，所以取球的方法數(shù)為種；取球后將兩球放在袋子中的方法數(shù)有種，所以不同的放法有種．綜上可得不同的放法有42種．選A．11.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連．由于四邊形為矩形，故．在中，，由雙曲線的定義可得，∴．∵，∴，∴，∴．即雙曲線的離心率的取值范圍是．選D．點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍．12.已知是函數(shù)與圖象的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由得，設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故．設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴．∴，∴∵，故，且在上單調(diào)遞減，∴，即．由，得，故在上單調(diào)遞增．∴．設(shè)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴．綜上可得，即所求范圍為．選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則__________．【答案】,【解析】由定積分的運(yùn)算性質(zhì)可得．∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴．又．∴．答案：14.已知函數(shù)，若，則函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)___．【答案】【解析】∵，∴函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，∴，即，∴．在中，令，則．∴函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)．答案：15.已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為一正方形，則該幾何體的表面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】由三四圖可得，該幾何體為如圖所示的三棱錐．∵正方體的棱長(zhǎng)為2，∴,∴，∴該幾何體的表面積為．答案：16.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，，其中使得的最大值為0，則稱(chēng)函數(shù)是“柯西函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是“柯西函數(shù)”的為_(kāi)__．（填上所有正確答案的序號(hào)）【答案】①④【解析】設(shè)，由向量的數(shù)量積的可得，當(dāng)且僅當(dāng)向量共線（三點(diǎn)共線）時(shí)等號(hào)成立．故的最大值為0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)成立．所以函數(shù)是“柯西函數(shù)”等價(jià)于函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線．對(duì)于①，函數(shù)圖象上不存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)；對(duì)于②，函數(shù)圖象上存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)；對(duì)于③，函數(shù)圖象上存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)；對(duì)于④，函數(shù)圖象不存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)．圖①圖②圖③圖④故函數(shù)①④是“柯西函數(shù)”．答案：①④點(diǎn)睛：（1）本題屬于新定義問(wèn)題，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，因此在解題時(shí)得到“柯西函數(shù)”即為圖象上存在兩點(diǎn)A,B，使得O,A,B三點(diǎn)共線是至關(guān)重要的，也是解題的突破口．（2）數(shù)形結(jié)合是解答本題的工具，借助于圖形可使得解答過(guò)程變得直觀形象．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分.17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(Ⅰ)，，；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)在中，分別令可得到，然后可得到的值．(Ⅱ)先由得到，再由可得，故可得，因此得到數(shù)列為等比數(shù)列，由此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．試題解析：（Ⅰ）∵，，∴；∵，∴；∵，∴．（Ⅱ）∵…①，∴…②，∴①②得，，又也滿(mǎn)足上式，∴…③，∴…④，③④得，∴．又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列．∴，∴．點(diǎn)睛：數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是．在應(yīng)用此結(jié)論解題時(shí)要注意：若當(dāng)n＝1時(shí)，a1若適合，則n＝1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)an；當(dāng)n＝1時(shí)，a1若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．18.某小店每天以每份5元的價(jià)格從食品廠購(gòu)進(jìn)若干份食品，然后以每份10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的食品還可以每份1元的價(jià)格退回食品廠處理.(Ⅰ)若小店一天購(gòu)進(jìn)16份，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：份，）的函數(shù)解析式；(Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量（單位：份），整理得下表：日需求量14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(i)小店一天購(gòu)進(jìn)16份這種食品，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(ii)以小店當(dāng)天利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你認(rèn)為一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)食品16份還是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案見(jiàn)解析；(ii)17份.【解析】試題分析：(Ⅰ)分和兩種情況分別求得利潤(rùn)，寫(xiě)成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i)由題意知的所有可能的取值為62，71，80，分別求出相應(yīng)的概率可得分布列和期望；(ii)由題意得小店一天購(gòu)進(jìn)17份食品時(shí)，利潤(rùn)的所有可能取值為58，67,76,85，分別求得概率后可得的分布列和期望，比較的大小可得選擇的結(jié)論．試題解析：（Ⅰ）當(dāng)日需求量時(shí)，利潤(rùn)，當(dāng)日需求量時(shí)，利潤(rùn)，所以關(guān)于的函數(shù)解析式為．（Ⅱ）（i）由題意知的所有可能的取值為62，71，80，并且，，．∴的分布列為：X627180P0．10．20．7∴元．（ii）若小店一天購(gòu)進(jìn)17份食品，表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么的分布列為Y58677685P0．10．20．160．54∴的數(shù)學(xué)期望為元．由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，即購(gòu)進(jìn)17份食品時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16份時(shí)的平均利潤(rùn)．∴所以小店應(yīng)選擇一天購(gòu)進(jìn)17份．19.如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，，，，，分別是，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）運(yùn)用幾何法和坐標(biāo)法兩種方法進(jìn)行證明可得結(jié)論．（Ⅱ）運(yùn)用幾何法和坐標(biāo)法兩種方法求解，利用坐標(biāo)法求解時(shí)，在得到兩平面法向量夾角余弦值的基礎(chǔ)上，通過(guò)圖形判斷出二面角的大小，最后才能得到結(jié)論．試題解析：解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連，∵，∴，∵是平行四邊形，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴平面，∴.∵分別是的中點(diǎn)，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角.,，，在中，根據(jù)余弦定理得，∴二面角的余弦值為．解法二：（Ⅰ）∵是平行四邊形，，，∴，∴是等邊三角形，∵是的中點(diǎn)，∴，∵∥，∴.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，設(shè)，由，，可得，，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．設(shè)是平面的法向量，由，得，令，則．又是平面的法向量，∴，由圖形知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.20.已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與交于不同的兩點(diǎn)、，試問(wèn)：在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2），定值為1.【解析】試題分析：.......................................，根據(jù)此式的特點(diǎn)可得當(dāng)時(shí)，為定值．試題解析：（Ⅰ）依題意得、，，∴，解得．∵，∴，∴，故橢圓的方程為．（Ⅱ）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn).當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，它與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意.因此直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去整理得，設(shè)、，則，，∵，∴要使對(duì)任意實(shí)數(shù)，為定值，則只有，此時(shí)．故在軸上存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率的和為定值．點(diǎn)睛：解決解析幾何中定值問(wèn)題的常用方法（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．（2）直接對(duì)所給要證明為定值的解析式進(jìn)行推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量得到常數(shù)，從而證明得到定值，這是解答類(lèi)似問(wèn)題的常用方法．21.已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)a，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅱ）求最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，不等式恒成立．【答案】（1）不能（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）假設(shè)函數(shù)的圖象能與軸相切．設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于的方程，然后判斷此方程是否有解即可得到結(jié)論．（Ⅱ）將不等式變形為,設(shè)，則問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，故只需函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此在R上恒成立即可，由可得，即為成立的必要條件，然后再證時(shí)，即可得到結(jié)論．試題解析：（Ⅰ）∵，∴．假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則有，即．顯然，將代入方程中可得．∵，∴方程無(wú)解．故無(wú)論a取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切．（Ⅱ）由題意可得原不等式可化為，故不等式在R上恒成立．設(shè)，則上式等價(jià)于，要使對(duì)任意恒成立，只需函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立．則，解得，∴在上恒成立的必要條件是：．下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．∴，即．則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．∴恒成立．所以實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值為3．點(diǎn)睛：（1）解決探索性問(wèn)題時(shí)，可先假設(shè)結(jié)論成立，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，若得到矛盾，則假設(shè)不成立；若得不到矛盾，則假設(shè)成立．（2）解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)遞增的問(wèn)題處理，然后轉(zhuǎn)化為恒成立，可求得實(shí)數(shù)a的值．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第2