31函數(shù)的概念及其表示（1）學案高一上學期數(shù)學人教A版

3.1函數(shù)的概念及其表示（1）【學習目標】1.理解函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的三要素（數(shù)學抽象）2.能正確使用區(qū)間表示數(shù)集（數(shù)學運算）3.會求一些簡單函數(shù)的定義域（數(shù)學運算）【重點難點】重點：函數(shù)的概念，區(qū)間難點：函數(shù)的概念導問引領(lǐng)，新知生成：初中我們是如何定義函數(shù)的？一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，就說y是x的函數(shù)。其中x是自變量，y是因變量。那么，正方形的周長與邊長之間的函數(shù)關(guān)系與一次函數(shù)相同嗎？與是否相同？【自主學習】閱讀課本60頁到62頁，完成下列各問題問題1：某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時.這段時間內(nèi),列車行進的路程S(單位:km)與運行時間t(單位:h)的關(guān)系可以表示為S=350t.

t和S是兩個變量，對于t的每一個確定的值，S是否有唯一確定的值與之對應？故S是t的函數(shù)嗎？思考1:有人說“根據(jù)對應關(guān)系S=350t,這趟列車加速到350km/h后,每運行1h就前進了350km.”你認為這個說法正確嗎?

（此說法錯誤。根據(jù)問題1的條件，我們不能判斷列車以350????/?運行半小時后的情況，所以上述說法不正確.顯然，其原因是沒有關(guān)注到??的變化范圍）思考2:如何用更精確的語言來描述列車行進路程S與運行時間t的關(guān)系？（列車前進的路程S與運行時間t的對應關(guān)系是S=350t.①

其中，t的變化范圍是數(shù)集A1={t|0≤t≤0.5}，

S的變化范圍是數(shù)集B1={S|0≤S≤175}.

對于數(shù)集A1中的任一時刻t，按照對應關(guān)系①，在數(shù)集B1中都有唯一確定的路程S和它對應.）問題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超過6天.如果公司確定的工資標準是每人每天350元,而且每周付一次工資,那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資?一個工人的工資w(單位:元)是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎?

（工資w是一周工作天數(shù)d的函數(shù),其對應關(guān)系是________②（）

其中，d的變化范圍是數(shù)集A2={1,2,3,4,5,6}，

w的變化范圍是數(shù)集B2={350，700，1050，1400，1750，2100}.

那么，對于數(shù)集A2中的任一個工作天數(shù)d，按照對應關(guān)系②，在數(shù)集B2中都有唯一確定的工資w與它對應.）

思考3：問題1、2中的函數(shù)有相同的對應關(guān)系，你認為它們是同一個函數(shù)嗎?為什么?

（S=350t和w=350d不是同一個函數(shù)，因為t與d的取值集合不同.

兩個函數(shù)具有相同的對應關(guān)系(解析式)，但兩個函數(shù)中的變量范圍不一樣，所以它們不是同一個函數(shù).）

問題3：下圖是北京市2016年11月23日的空間質(zhì)量指數(shù)(AQI)變化圖.如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻t

?的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I？你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？

（在這個情境中，兩個變量的對應關(guān)系由圖象的形式給出，每一個橫坐標上的時間都對應著一個具體的空氣質(zhì)量指數(shù)值.

從圖中曲線可知，t的變化范圍是數(shù)集A3={t|0≤t≤24}，AQI的值I都在數(shù)集B3={I|0<I<150}中.對于數(shù)集A3中的任一時刻t，按照圖中曲線所給定的對應關(guān)系，在數(shù)集B3中都有唯一確定AQI的值I與之對應.因此，這里的I是t的函數(shù).）

問題4.國際上常用恩格爾系數(shù)r(r=食物支出金額/總支出金額)反映一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低,恩格爾系數(shù)越低,生活質(zhì)量越高.下表是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況,從中可看出該省城鎮(zhèn)居民生活質(zhì)量越來越高.年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數(shù)r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8728.8929.3528.57思考4：你認為按上表給出的對應關(guān)系,恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎?如果是,你會用怎樣的語言來刻畫這個函數(shù)?

對于數(shù)集A4=_（）的任一年份y，按照表格給定的對應關(guān)系，在數(shù)集B4=__________（）中都有唯一確定的工資w和它對應．故r是y的函數(shù).

問題5：上述問題1——問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？（上述問題的共同特征有：

(1)都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；

(2)都有一個對應關(guān)系；

(3)盡管對應關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應.）1、函數(shù)的概念設(shè)A、B為非空實數(shù)集，若對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，則稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f(x),x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做定義域，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。我們把函數(shù)的定義域、對應關(guān)系、值域稱為函數(shù)的三要素.符號x∈Ay=f(x)ff(x)f(a)含義函數(shù)的定義域為A函數(shù)符號,表示x在對應關(guān)系f的作用下可得對應的函數(shù)值y對應法則，表示對x實施“對應”操作的方式函數(shù)值y，或函數(shù)y=f

(x)的簡記當x=a時函數(shù)f(x)的取值備注見函數(shù)先看定義域不能理解為“y等于f

乘x”可為解析式、圖象、表格、Venn圖等?(x)=x

g(x)=x3f(a)是f(x)的一個特殊值,是一個相對確定的數(shù).“y=f(x),x∈A”的理解：問題6：請同學們思考我們所熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域.

定義域RRR值域R2、區(qū)間的含義：研究函數(shù)時常會用到區(qū)間的概念.

設(shè)a,b是兩個實數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：(1)滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；

(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；

(3)滿足不等式a≤x<b或a<x≤b實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a,b)，(a,b].

這里的實數(shù)a與b都叫做相應區(qū)間的端點.這些區(qū)間的幾何表示如下表所示.在數(shù)軸表示時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點.

特別地，實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(?∞,+∞)，“∞”讀作“無窮大”，“?∞”讀作“負無窮大”，“+∞”讀作“正無窮大”.

滿足x≥a，x>a，x≤b，x<b的實數(shù)x的集合，可以用區(qū)間分別表示為[a,+∞)，(a,+∞)，(?∞,b]，(?∞,b).這些區(qū)間的幾何表示如表所示.

展示交流，新知應用：例題1.下列圖象中，不是函數(shù)圖象的是（

）

A．

B．

C．D．

【及時訓練】1、已知A={(x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4)}，下列對應法則不可以作為從A到B的函數(shù)的是（

）

A．f:x→y=2x B．f:x→y=x2 C．f:x→y=1/x D．f:x→y=|x?4|例題2.用區(qū)間表示下列集合：

（1）{x|?1≤x≤2}； （2）{x|1<x≤3}；（3）{x|x>2}； （4）{x|x≤?2}．

【及時訓練】2.若[0,3a?1]為一確定區(qū)間，求a的取值范圍．

【及時訓練】3.將集合A={x|1≤x<?5,x≠3)}用區(qū)間表示為.

【例3】函數(shù)f(x)=√4?x^2/x?1的定義域為（

）

A．[?2,2] B．(?2,3) C．[?2,1)?(1,2] D．(?2,1)∪(1,2)

方法總結(jié)，新知升華：(1)根據(jù)函數(shù)的解析式求定義域時，常有以下幾種情況：①如果解析式是整式，那么定義域為R；如果解析式是分式，那么定義域是使分母不為零的一切實數(shù)的集合，如