專題16相似三角形（6類重點考向）（原卷版）

主題四平面幾何專題16相似三角形目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一黃金分割?考向二平行線分線段成比例?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)?考向四相似三角形的應(yīng)用?考向五位似變換?考向六相似形綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段；通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割；2.掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例；3.了解相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理；4.通過具體實例認識圖形的相似；了解相似多邊形和相似比；5.會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題．該板塊內(nèi)容主要考查相似的性質(zhì)和判定，2024年各地中考仍以考查基礎(chǔ)為主，在選擇題中單獨考查，是廣大考生的得分點，相似應(yīng)用的考查，主要體現(xiàn)在綜合題中，作為綜合題的一部分，在解決求線段長問題時和勾股定理、三角函數(shù)一起運用，此時解答題的難度變大，綜合性就較強了，分值在15分左右，為避免丟分，應(yīng)扎實掌握，靈活應(yīng)用。?考向一黃金分割1．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a2．（2023?泰安）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于FG的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結(jié)論：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④當AC＝2時，AD＝﹣1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當m＝1時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．?考向二平行線分線段成比例解題技巧/易錯易混1．比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項．2．對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．4．（2022?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．25．（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為．6．（2023?岳陽）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長是（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)解題技巧/易錯易混1．相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．3.相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；4.相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．5．如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．7．（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：168．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點（不與點B，C重合）．過點D作DE∥AB交AC于點E；過點D作DF∥AC交AB于點F、N是線段BF上的點，BN＝2NF：M是線段DE上的點，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積9．（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長．?考向四相似三角形的應(yīng)用10．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m11．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個卡鉗（AD＝BC，＝＝）測量某個零件的內(nèi)孔直徑AB，量得CD長度為6cm，則AB等于cm．12．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．?考向五位似變換解題技巧/易錯易混位似圖形與坐標：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或–k．13．（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應(yīng)點A′的坐標是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）14．（2023?綏化）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，點A是位似中心，已知點A（2，0），點C（a，b），∠C＝90°．則點C′的坐標為.（結(jié)果用含a，b的式子表示）15．（2023?盤錦）如圖，△ABO的頂點坐標是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點A′的坐標為?考向六相似形綜合題16．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．【問題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長BC到點H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長．17．（2023?湖州）【特例感知】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點P在邊AB的延長線上，連結(jié)PD，過點D作DM⊥PD，交BC的延長線于點M．求證：△DAP≌△DCM．【變式求異】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D在邊AB上，過點D作DQ⊥AB，交AC于點Q，點P在邊AB的延長線上，連結(jié)PQ，過點Q作QM⊥PQ，交射線BC于點M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點P在邊AB的延長線上，點Q在邊AC上（不與點A，C重合），連結(jié)PQ，以Q為頂點作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的邊QM交射線BC于點M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．1．（2023?濟南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．2．（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能是（）A． B． C．10 D．3．（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．214．（2023?東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.25．（2023?東營）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點G，M．P是線段AG上的一個動點，過點P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個結(jié)論：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③6．（2023?浙江）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）7．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（）A．4 B．5 C．6 D．78．（2023?達州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為cm．（結(jié)果保留根號）9．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．10．（2023?懷化）在平面直角坐標系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△A1OB1邊長的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長為，點A2023的坐標為．11．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點B′的坐標為．12．（2023?黑龍江）如圖①，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接DC，點F，G，H分別是DE，DC和BC的中點，連接FG，F(xiàn)H．易證：FH＝FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如圖②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如圖③；其他條件不變，判斷FH和FG之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明．13．（2023?婁底）鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標準五角星，為了增強學(xué)生的國家榮譽感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對五角星進行了較深入的研究，延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標準五角星，如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長線相交于點F，∠EAF的平分線交EF于點M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長；（3）求的值．14．（2023?江西）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．定