2024-2025學(xué)年山東省日照市日照一中高二（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年山東省日照一中高二（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.以3i?2的虛部為實(shí)部，以3i2+2i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是A.3?3i B.3+i C.?2+2i D.2+2i2.已知空間向量m=(1,2,3)，空間向量n滿足m//n且m?nA.(12,1,32) B.(?3.在下列條件中，使P與A，B，C一定共面的是(

)A.OP=OA?OB+2OC B.OP4.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1與B1DA.12a+12b+c

5.已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°.以DA.π2 B.22π C.6.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(sinA+sinB)(a?b)=sinC(b+c)，若角A的內(nèi)角平分線AD的長(zhǎng)為3，則b+c的最小值為(

)A.12 B.24 C.27 D.367.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使AD?BC=1，則三棱錐D?ABC的體積為A.423 B.2238.如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長(zhǎng)的一半，在該正方體側(cè)面CDD1C1上有一個(gè)小孔E，E點(diǎn)到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜(CD始終在桌面上)，則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面CDD1A.55 B.12 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.關(guān)于復(fù)數(shù)z，下列說法正確的是(

)A.i2023=?1

B.若|z|=1，則|z?2|的最小值為1

C.z2=|z|2

D.若?4+3i10.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，∠A.BDB.直線BD1與AC所成角的余弦值為66

C.D.直線BD1與平面AC11.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M，BC=4，M是AD的中點(diǎn)，將△ABM沿著直線BM翻折得到△A1BM.記二面角A1?BM?C的平面角為α，當(dāng)α的值在區(qū)間(0,π)范圍內(nèi)變化時(shí)，下列說法正確的有A.存在α，使得A1B⊥CM

B.存在α，使得A1B⊥CD

C.若四棱錐A1?BCDM的體積最大時(shí)，點(diǎn)B到平面A1MD的距離為26三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知空間向量a=(6,2,1)，b=(2,x,?3)，若(a?2b)⊥13.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a?c=1，b=7，B=60°，則ac=14.如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，CC1=C四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知z是復(fù)數(shù)，z+2i和z1?i均為實(shí)數(shù)，z1=z+1m?mm?1i，其中i是虛數(shù)單位．

(1)求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=AD=PD=12CD=1，PC=5，M為棱PC的中點(diǎn)．

(1)證明：BM//平面PAD；

(2)求平面17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，tanC=sinA+sinBcosA+cosB．

(1)求角C的大小；

(2)若△ABC是銳角三角形，且其面積為3，求邊c18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120°，∠ADC=45°．

(1)求證：平面PAB⊥平面PAD；

(2)設(shè)AB=AP．

①若直線PB與平面PCD所成角的正弦值為3344，求線段AB的長(zhǎng)．

②在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使得點(diǎn)P，C，D在以G19.(本小題17分)

在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，已知向量u=(a,b,c)，點(diǎn)P0(x0,y0,z0).若平面α以u(píng)為法向量且經(jīng)過點(diǎn)P0，則平面α的點(diǎn)法式方程可表示為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0，一般式方程可表示為ax+by+cz+d=0．

(1)若平面α1：x+2y?1=0，平面β1：2y?z+1=0，直線l為平面α1和平面β1的交線，求直線l的單位方向向量(寫出一個(gè)即可)；

(2)若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為α2、β2、γ，其中平面α2經(jīng)過點(diǎn)A(4,0,0)，點(diǎn)B(3,1,?1)，點(diǎn)C(?1,5,2)，平面β2：y+z=4，平面γ：mx+(m+1)y+(m+2)z+3=0，求出點(diǎn)B到平面γ的距離；

(3)已知集合P={(x,y,z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}，Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|≤2}，

T={(x,y,z)||x|+|y|≤2，|y|+|z|≤2，|z|+|x|≤2}.記集合Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為參考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.B

6.A

7.C

8.D

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.23413.3214.3415.解：(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z+2i=a+(b+2)i，

∵z+2i為實(shí)數(shù)，∴b+2=0，解得b=?2，

∴z1?i=a?2i1?i=(a?2i)(1+i)(1+i)(1?i)=a+22+a?22i為實(shí)數(shù)，

∴a?22=0，解得a=2，

∴z=2?2i，

∴z?=2+2i；

(2)由16.解：(1)證明：取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，

因?yàn)辄c(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，所以MN/?/CD，MN=12CD，

又因?yàn)锳B/?/CD，AB=12CD，

所以AB/?/MN，AB=MN，

所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM/?/AN，

因?yàn)锽M?平面PAD，AN?平面PAD，

所以BM/?/平面PAD．

(2)因?yàn)镻C=5，PD=1，CD=2，

所以PC2=PD2+CD2，所以PD⊥DC，

因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD=DC，PD?平面PDC，

所以PD⊥平面ABCD，

又因?yàn)锳D?平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以PD⊥AD，PD⊥CD，因?yàn)锳D⊥DC，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，因?yàn)辄c(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，可得M(0,1,12)，

所以DM=(0,1,12),DB=(1,1,0)，

設(shè)平面BDM的法向量為n=(x,y,z)，

則n?DM=y+1217.解：(1)因?yàn)閠anC=sinA+sinBcosA+cosB，所以sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB，

所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，

即sinCcosA?cosCsinA=cosCsinB?sinCcosB，

所以sin(C?A)=sin(B?C)，

所以C?A=B?C或C?A=π?(B?C)(不成立，舍去)，

所以2C=A+B，

又A+B+C=π，所以C=π3．

(2)由(1)知A+B=2π3，

因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以0<A<π20<2π3?A<π2，解得π6<A<π2，

由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，

所以a=csinAsinC，b=csinBsinC，

所以S△ABC=1218.解：(1)在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，

AB?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以AB⊥平面PAD，

又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

(2)如圖以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立如圖所示直角空間坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

設(shè)AB=t，則AP=t，由AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120°，∠ADC=45°，

則B(t,0,0)，P(0,?t2,3t2)，因?yàn)锳D=5?t，則D(0,5?t,0)，C(1,4?t,0)，

所以CP=(?1,t2?4,3t2)，CD=(?1,1,0)，

①設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，由n⊥CP，n⊥CD，

得?x+t?82y+3t2z=0?x+y=0，

可取n=(1,1,10?t3t)，

設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，

則sinθ=|cosn,BP|，BP=(?t,?t2,3t2)，

即3344=|?t?t2+10?t21+1+(10?t3t)2t2+t24+3t24|，

化簡(jiǎn)得：23t2?116t+140=0，19.解：(1)∵平面α1：x+2y?1=0的法向量為u1=(1,2,0)，

平面β1：2y?z+1=0的法向量為u2=(0,2,?1)，

設(shè)平面α1與平面β1的交線l的方向向量為v=(x,y,z)，

則u1?v=x+2y=0u2?v=2y?z=0，

故可取v=(2,?1,?2)，

故直線l的一個(gè)單位方向向量為v0=(23,?13,?23)(答案不唯一)．

(2)設(shè)平面α2：ax+by+cz+1=0，

∵平面α2經(jīng)過點(diǎn)A(4,0,0)，點(diǎn)B(3,1,?1)，

點(diǎn)C(?1,5,2)，故有4a+1=03a+b?c+1=0?a+5b+2z+1=0，解得a=?14b=?14c=0，

即α2：x+y=4，

記平面α2、β2、γ的法向量分別為：α2=(1,1,0)，β2=(0,1,1)，γ=(m,m+1,m+2)，

設(shè)平面α2、β2的交線l′的方向向量為v′=(x′,y′,z′)，

則α2?v′=x′+y′=0β2?v′=y′+z′=0，故v′=(1,?1,1)，

依題，v?γ=(1,?1,1)?(m,m+1,m+2)=m+1=0，

解得m=?1，故得γ：x?z?3=0，其法向量為γ=(1,0,?1)，

在平面γ內(nèi)取點(diǎn)A(3,0,0)，

則AB=(0,1,?1)，

于是，點(diǎn)B到平面γ的距離為d=|AB?γ||γ|=12=22；

(3)(i)記集合Q，P∩Q