2025《初中數(shù)學》專題突破專題63 二次函數(shù)背景下的倍、半角角度問題（含答案及解析）

例題精講例題精講【例1】．如圖1，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點，其中點A的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點D為y軸上一點，如果直線BD與直線BC的夾角為15°，求線段CD的長度；（3）如圖2，連接AC，點P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO，求點P的坐標．變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于點A、點B，交y軸于點C．直線y＝﹣x+2經(jīng)過于點C、點B，（1）求拋物線的解析式；（2）點D為第一象限拋物線上一動點，過點D作y軸的平行線交線段BC于點E，交x軸于點Q，當DE＝5EQ時，求點D的坐標；（3）在（2）的條件下，點M為第二象限拋物線上一動點，連接DM，DM交線段OC于點H，點F在線段OB上，連接HF、DF、DC、DB，當HF＝，∠CDB＝2∠MDF時，求點M的坐標．【例2】．如圖，直線y＝x+c與x軸交于點B（4，0），與y軸交于點C，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B，C，與x軸的另一個交點為點A．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BC下方的拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大時點P的坐標；（3）若點M是拋物線上一點，請直接寫出使∠MBC＝∠ABC的點M的坐標．變式訓練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一點，設P點的橫坐標為m．①當點P在第一象限時，過點P作PD⊥x軸，交BC于點D，過點D作DE⊥y軸，垂足為E，連接PE，當△PDE和△BOC相似時，求點P的坐標；②請直接寫出使∠PBA＝∠ABC的點P的坐標．【例3】．已知如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x軸于A、B兩點（A點在B點的左側），交y軸于點C．已知OA＝OC＝2OB．（1）求拋物線的解析式；（2）已知直線y＝2x+m，若直線與拋物線有且只有一個交點E，求△ACE的面積；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使∠PAB＝∠EAC，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．變式訓練【變3-1】．如圖，已知：拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）與x軸相交于A、B兩點，與y軸的交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式的一般式．（2）若拋物線上有一點P，滿足∠ACO＝∠PCB，求P點坐標．（3）直線l：y＝kx﹣k+2與拋物線交于E、F兩點，當點B到直線l的距離最大時，求△BEF的面積．1．如圖，已知直線AB：y＝x﹣3與x、y軸分別交于A、B兩點；拋物線y＝x2﹣2x﹣m與y軸交于C點，與線段AB交于D、E兩點（D在E左側）（1）若D、E重合，求m值；（2）連接CD、CE，若∠BCD＝∠BEC，求m值；（3）連接OD，若OD＝CE，求m值．2．如圖①，拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a與x軸交于A、B兩點（點A位于點B的左側），與y軸交于點C．已知△ABC的面積為6．（1）求這條拋物線相應的函數(shù)表達式；（2）在拋物線上是否存在一點P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖②，M是拋物線上一點，N是射線CA上的一點，且M、N兩點均在第二象限內，A、N是位于直線BM同側的不同兩點．若點M到x軸的距離為d，△MNB的面積為2d，且∠MAN＝∠ANB，求點N的坐標．3．如圖1，拋物線C1：y＝ax2+c的頂點為A，直線l：y＝kx+b與拋物線C1交于A，C兩點，與x軸交于點B（1，0），且OA＝2OB，S△OAC＝4．（1）求直線l的解析式；（2）求拋物線C1與x軸的交點坐標；（3）如圖2，將拋物線C1向下平移m（m＞0）個單位得到拋物線C，且拋物線C的頂點為P，交x軸負半軸于點M，交射線BC于點N，NQ⊥x軸于點Q，當NP平分∠MNQ時，求m的值．4．如圖，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是直線AB上方拋物線上的一動點，①求D到AB的距離最大值及此時的D點坐標；②若∠DAB＝∠BAC，求D點的坐標．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）D為拋物線上第一象限內一點，求△DCB面積的最大值；（3）點P是拋物線上的一動點，當∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標．6．已知：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（5，0）、B（﹣3，4），拋物線的對稱軸與x軸相交于點D．（1）求拋物線的表達式；（2）聯(lián)結OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果點P在線段BO的延長線上，且∠PAO＝∠BAO，求點P的坐標．7．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（2，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P是該拋物線上的動點，且位于y軸的左側．①如圖1，過點P作PD⊥x軸于點D，作PE⊥y軸于點E，當PD＝2PE時，求PE的長；②如圖2，該拋物線上是否存在點P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，請求出所有點P的坐標：若不存在，請說明理由．8．如圖1，拋物線y＝ax2+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，P為x軸下方拋物線上一點，若OC＝2OA＝4．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，若∠ABP＝∠ACO，求點P的坐標；（3）如圖3，點P的橫坐標為1，過點P作PE⊥PF，分別交拋物線于點E，F(xiàn)．求點A到直線EF距離的最大值．9．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）M是拋物線上第一象限上的一點，連接AM，正好將△ABC的面積分成相等的兩部分，求M點的坐標．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖（1），拋物線y＝ax2+（a﹣5）x+3（a為常數(shù)，a≠0）與x軸正半軸分別交于A，B（A在B的右邊）．與y軸的正半軸交于點C．連接BC，tan∠BCO＝．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖（2），設拋物線的頂點為Q，P是第一象限拋物線上的點，連接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝∠ACB，求點P的坐標；（3）如圖（3），D是線段AC上的點，連接BD，滿足∠ADB＝3∠ACB，求點D的坐標．11．如圖，拋物線y＝（x﹣3）（x﹣2a）交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），＝．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖①，連接BC，點P在拋物線上，且∠BCO＝∠PBA．求點P的坐標；（3）如圖②，M是拋物線上一點，N為射線CB上的一點，且M、N兩點均在第一象限內，B、N是位于直線AM同側的不同兩點，tan∠AMN＝2，點M到x軸的距離為2L，△AMN的面積為5L，且∠ANB＝∠MBN，請問MN的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．12.在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3過點A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為直線CD上的一個動點，連接BC；①如圖1，是否存在點P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；②如圖2，點P在x軸上方，連接PA交拋物線于點N，∠PAB＝∠BCO，點M在第三象限拋物線上，連接MN，當∠ANM＝45°時，請直接寫出點M的坐標．13．如圖1，拋物線C：y＝ax2+bx經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（﹣1，3）兩點，G是其頂點，將拋物線C繞點O旋轉180°，得到新的拋物線C′．（1）求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點G的坐標；（2）如圖2，直線l：y＝kx﹣經(jīng)過點A，D是拋物線C上的一點，設D點的橫坐標為m（m＜﹣2），連接DO并延長，交拋物線C′于點E，交直線l于點M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG、AB，在直線DE下方的拋物線C上是否存在點P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．14．已知拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于點A（1，0）和點B（5，0），頂點為M．點C在x軸的負半軸上，且AC＝AB，點D的坐標為（0，3），直線l經(jīng)過點C、D．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線l在第三象限上的點，聯(lián)結AP，且線段CP是線段CA、CB的比例中項，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結AM、BM，在直線PM上是否存在點E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．15．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸的負半軸交于點C，已知拋物線的對稱軸為直線x＝，B、C兩點的坐標分別為B（2，0），C（0，﹣3）．點P為直線BC下方的拋物線上的一個動點（不與B、C兩點重合）．（1）求此拋物線的解析式；（2）如圖1，連接PB、PC得到△PBC，問是否存在著這樣的點P，使得△PBC的面積最大？如果存在，求出面積的最大值和此時點P的坐標；如果不存在，請說明理由．（3）如圖2，連接AP交線段BC于點D，點E為線段AD的中點，過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接EM、EN，則在點P的運動過程中，∠MEN的大小是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．（1）連接BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上一動點，當MN取得最大值時，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，當MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值時，把點P向上平移個單位得到點Q，連接AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標軸于點G．在旋轉過程中，是否存在一點G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q′的坐標；若不存在，請說明理由．17．如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象（記為拋物線L）與y軸交于點C，與x軸分別交于點A、B，點A、B的橫坐標分別記為x1，x2，且0＜x1＜x2．（1）若a＝c，b＝﹣3，且過點（1，﹣1），求該二次函數(shù)的表達式；（2）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判別式Δ＝4．求證：當b＜﹣時，二次函數(shù)y1＝ax2+（b+1）x+c的圖象與x軸沒有交點．（3）若AB2＝，點P的坐標為（﹣，﹣1），過點P作直線l垂直于y軸，且拋物線的L的頂點在直線l上，連接OP、AP、BP，PA的延長線與拋物線L交于點D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．

例題精講例題精講【例1】．如圖1，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點，其中點A的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點D為y軸上一點，如果直線BD與直線BC的夾角為15°，求線段CD的長度；（3）如圖2，連接AC，點P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO，求點P的坐標．解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點A（1，0），與y軸交于點C（0，﹣3），∴，解得：，∴拋物線解析式為：y＝x2+2x﹣3；（2）∵拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點，∴點B（﹣3，0），∵點B（﹣3，0），點C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如圖1，當點D在點C上方時，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若點D在點C下方時，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，綜上所述：線段CD的長度為3﹣或3﹣3；（3）如圖2，在BO上截取OE＝OA，連接CE，過點E作EF⊥AC，∵點A（1，0），點C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如圖2，當點P在AB的下方時，設AP與y軸交于點N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴點N（0，﹣），又∵點A（1，0），∴直線AP解析式為：y＝x﹣，聯(lián)立方程組得：，解得：或，∴點P坐標為：（﹣，﹣），當點P在AB的上方時，同理可求直線AP解析式為：y＝﹣x+，聯(lián)立方程組得：，解得：或，∴點P坐標為：（﹣，），綜上所述：點P的坐標為（﹣，）或（﹣，﹣）．變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于點A、點B，交y軸于點C．直線y＝﹣x+2經(jīng)過于點C、點B，（1）求拋物線的解析式；（2）點D為第一象限拋物線上一動點，過點D作y軸的平行線交線段BC于點E，交x軸于點Q，當DE＝5EQ時，求點D的坐標；（3）在（2）的條件下，點M為第二象限拋物線上一動點，連接DM，DM交線段OC于點H，點F在線段OB上，連接HF、DF、DC、DB，當HF＝，∠CDB＝2∠MDF時，求點M的坐標．解：（1）針對于直線y＝﹣x+2，令x＝0，則y＝2，∴C（0，2），令y＝0，則0＝﹣x+2，∴x＝4，∴B（4，0），將點B，C坐標代入拋物線y＝ax2+x+c中，得∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）如圖1，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，設點D坐標為（m，﹣m2+m+2），∵DE⊥x軸交BC于E，直線BC的解析式為y＝﹣x+2，∴D（m，﹣m+2），∴DE＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，DQ＝﹣m+2，∵DE＝5EQ，∴﹣m2+m＝5（﹣m+2），∴m＝3或m＝4（點B的橫坐標，舍去），∴D（3，3）；（3）如圖2，由（2）知，D（3，3），由（1）知，B（4，0），C（0，2），∴DB＝，DC＝，BC＝2，∴DC＝DB，DB2+DC2＝BC2，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠BDC＝90°，∵BDC＝2∠FDM＝90°，∴∠FDM＝45°，過點D作DP⊥y軸于P，則DQ＝DP，OP＝3，∴CP＝1＝BQ，∴△DPC≌△DQB（SAS），在CP的延長線取一點G，使PG＝QF＝n，∴OF＝3﹣n，OG＝3+n，∴△DPG≌△DQF（SAS），∴DG＝DF，∠PDG＝∠QDF，∴∠FDG＝∠PDG+∠PDF＝∠QDF+∠PDG＝∠PDQ＝90°∴∠GDM＝90°﹣∠FDM＝45°＝∠GDM，∵DH＝DH，∴△GDH≌△FDH（SAS），∴GH＝FH＝，∴OH＝OG﹣GH＝3+n﹣＝n+，在Rt△HOF中，根據(jù)勾股定理得，（n+）2+（3﹣n）2＝，∴n＝1或n＝（此時，OH＝n+＝2，所以點H與點C重合，舍去），∴H（0，），∵C（3，3），∴直線CH的解析式為y＝x+①，∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2②，聯(lián)立①②解得，或（由于點M在第二象限，所以舍去），∴M（﹣，）．【例2】．如圖，直線y＝x+c與x軸交于點B（4，0），與y軸交于點C，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B，C，與x軸的另一個交點為點A．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BC下方的拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大時點P的坐標；（3）若點M是拋物線上一點，請直接寫出使∠MBC＝∠ABC的點M的坐標．解：（1）將點B坐標代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故拋物線的表達式為：y＝x2+bx﹣3，將點B坐標代入上式并解得：b＝﹣，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣3①；（2）過點P作PH∥y軸交BC于點H，設點P（x，x2﹣x﹣3），則點H（x，x﹣3），S四邊形ACPB＝S△ABC+S△PCB，∵S△ABC是常數(shù)，故四邊形面積最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH＝×4（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+6x，∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此時，點P（2，﹣）；（3）過點B作∠ABC的角平分線交y軸于點G，交拋物線于M′，設∠MBC＝∠ABC＝2α，過點B在BC之下作角度數(shù)為α的角，交拋物線于點M，過點G作GK⊥BC交BC于點K，延長GK交BM于點H，則GB＝BH，BC是GH的中垂線，OB＝4，OC＝3，則BC＝5，設：OG＝GK＝m，則CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，則OG＝GK＝，GH＝2OG＝，點G（0，﹣），在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，則cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，則點K（，﹣），點K是點GH的中點，則點H（，﹣），則直線BH的表達式為：y＝x﹣…②，同理直線BG的表達式為：y＝x﹣…③聯(lián)立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），則點M（，﹣）；聯(lián)立①③并解得：x＝﹣，故點M′（﹣，﹣）；故點M（，﹣）或（﹣，﹣）．變式訓練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一點，設P點的橫坐標為m．①當點P在第一象限時，過點P作PD⊥x軸，交BC于點D，過點D作DE⊥y軸，垂足為E，連接PE，當△PDE和△BOC相似時，求點P的坐標；②請直接寫出使∠PBA＝∠ABC的點P的坐標．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，∴，解得，，∴拋物線的解析式為：；（2）令x＝0，得＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），∴OB＝3，設直線BC的解析式為y＝kx+n（k≠0），則，解得，∴直線BC的解析式為：y＝，設P（m，），則D（m，），∴DP＝，DE＝m，∴，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∴當△PDE和△BOC相似時，有兩種情況：當△PDE∽△BOC時，則，即＝，解得，m＝，∴P（，）；當△PDE∽△COB時，則，即＝，解得，m＝2，∴P（2，4）．綜上，當△PDE和△BOC相似時，點P的坐標（，）或（2，4）；②過B作BP平分∠ABC，交拋物線于點P，交OC于點M，過M作MN⊥BC于點N，如圖1，則∠PBA＝∠ABC，OM＝MN，在Rt△BOM和Rt△BNM中，，∴Rt△BOM≌Rt△BNM（HL），∴BN＝BO＝3，設OM＝t，則MN＝MO＝t，CM＝4﹣t，CN＝BC﹣BN＝﹣3＝2，∵MN2+CN2＝MC2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，∴M（0，），設BM的解析式為：y＝mx+（m≠0），代入B（3，0）得，m＝，∴直線BM的解析式為：y＝﹣，解方程組得，，，∴P（，），取M（0，）關于x軸的對稱點，K（0，﹣），連接BK，延長BK，交拋物線于點P'，如圖2所示，則∠ABP＝∠ABC，設直線BK的解析式為y＝px（p≠0），代入B（3，0）得，p＝，∴直線BK的解析式為：y＝，解方程組得，，∴P'（，），綜上，使∠PBA＝∠ABC的點P的坐標為（，）或（，）．【例3】．已知如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x軸于A、B兩點（A點在B點的左側），交y軸于點C．已知OA＝OC＝2OB．（1）求拋物線的解析式；（2）已知直線y＝2x+m，若直線與拋物線有且只有一個交點E，求△ACE的面積；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使∠PAB＝∠EAC，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）對于拋物線y＝ax2+bx﹣4，令x＝0，則y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OA＝OC＝2OB，∴OA＝4，OB＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵點A，B在拋物線y＝ax2+bx﹣4上，∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣4；（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2+x﹣4①，∵直線y＝2x+m②與拋物線有且只有一個交點E，聯(lián)立①②得，，∴x2﹣x﹣（4+m）＝0，∴△＝1+4×（4+m）＝0，∴m＝﹣，∴x2﹣x﹣＝0，∴x1＝x2＝1，∴E（1，﹣），∴直線AE的解析式為y＝﹣x﹣2如圖1，記直線AE與y軸的交點為F，則F（0，﹣2），∴S△ACE＝CF×|xE﹣xA|＝×2×|1﹣（﹣4）|＝5；（3）由（2）知，E（1，﹣），Ⅰ、當點P在x軸上方時，如圖2，將線段AE以點E為旋轉中心順時針旋轉90°得到線段EG，連接AG，則∠EAG＝45°，在Rt△AOC中，OA＝OC，∴∠OAC＝45°＝∠EAG，∴∠CAE＝∠OAG，∴點P是AG與拋物線的交點，過點E作MN∥x，過點A作AM⊥MN于M，過點G作GN⊥MN于G，∵A（﹣4，0），E（1，﹣），∴AM＝，ME＝5，∴∠AME＝∠ENG＝90°，∴∠MAE+∠AEM＝90°，由旋轉知，AE＝EG，∠AEG＝90°，∴∠AEM+∠NEG＝90°，∴∠MAE＝∠NEG，∴△AME≌△ENG（AAS），∴EN＝AM＝，GN＝ME＝5，∴N（，﹣），G（，），∴直線AG的解析式為y＝x+③，∵拋物線的解析式為y＝x2+x﹣4④，聯(lián)立③④解得，或，∴P（，），Ⅱ、由Ⅰ知，點G的坐標為G（，），N（，﹣），∴點G與點N關于x軸對稱，∴點P是直線AN與拋物線的交點，∵A（﹣4，0），∴直線AN的解析式為y＝﹣x﹣⑤，聯(lián)立④⑤，解得，或，∴P（，﹣），即滿足條件的點P的坐標為P（，）或（，﹣）．變式訓練【變3-1】．如圖，已知：拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）與x軸相交于A、B兩點，與y軸的交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式的一般式．（2）若拋物線上有一點P，滿足∠ACO＝∠PCB，求P點坐標．（3）直線l：y＝kx﹣k+2與拋物線交于E、F兩點，當點B到直線l的距離最大時，求△BEF的面積．解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，所以拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）當點P在直線BC的下方時，如圖1，過點B作BE⊥BC交CP的延長線于點E，過點E作EM⊥x軸于點M，∵y＝（x+1）（x﹣3），∴y＝0時，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴，∵OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，BC＝3，∵∠ACO＝∠PCB，∴tan，∴BE＝，∵∠CBE＝90°，∴∠MBE＝45°，∴BM＝ME＝1，∴E（4，﹣1），設直線CE的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線CE的解析式為，∴，解得，∴，當點P在直線BC的上方時，過點B作BF⊥BC交CP于點F，如圖2，同理求出BF＝，F(xiàn)N＝BN＝1，∴F（2，1），求出直線CF的解析式為y＝2x﹣3，∴，解得：x1＝0，x2＝4，∴P（4，5）．綜合以上可得點P的坐標為（4，5）或（）；（3）∵直線l：y＝kx﹣k+2，∴y﹣2＝k（x﹣1），∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，∴直線y＝kx﹣k+2恒過定點H（1，2），如圖3，連接BH，當BH⊥直線l時，點B到直線l的距離最大時，求出直線BH的解析式為y＝﹣x+3，∴k＝1，∴直線l的解析式為y＝x+1，∴，解得：，，∴E（﹣1，0），F(xiàn)（4，5），∴＝10．1．如圖，已知直線AB：y＝x﹣3與x、y軸分別交于A、B兩點；拋物線y＝x2﹣2x﹣m與y軸交于C點，與線段AB交于D、E兩點（D在E左側）（1）若D、E重合，求m值；（2）連接CD、CE，若∠BCD＝∠BEC，求m值；（3）連接OD，若OD＝CE，求m值．解：（1）把y＝x﹣3代入拋物線y＝x2﹣2x﹣m中，得x2﹣3x+3﹣m＝0，∵D、E重合，∴△＝9﹣4（3﹣m）＝4m﹣3＝0，∴m＝；（2）∵y＝x﹣3與x、y軸分別交于A、B兩點；拋物線y＝x2﹣2x﹣m與y軸交于C點，∴B（0，﹣3），C（0，﹣m），∴BC＝3﹣m，解方程組得，，，∴，，∴BD＝，BE＝，∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴，即BC2＝BD?BE，∴，解得，m＝1或3，當m＝3時，B與C重合，不符合題意，舍去，∴m＝1；（3）∵OD＝CE，∴OD2＝CE2，∴+，即，解得，m＝0，或m＝5，當m＝0時，無意義，應舍去，當m＝5+時，C點在B點下方，不合題意，舍去，∴m＝5﹣，2．如圖①，拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a與x軸交于A、B兩點（點A位于點B的左側），與y軸交于點C．已知△ABC的面積為6．（1）求這條拋物線相應的函數(shù)表達式；（2）在拋物線上是否存在一點P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖②，M是拋物線上一點，N是射線CA上的一點，且M、N兩點均在第二象限內，A、N是位于直線BM同側的不同兩點．若點M到x軸的距離為d，△MNB的面積為2d，且∠MAN＝∠ANB，求點N的坐標．解：（1）當y＝0時，x2﹣（a+1）x+a＝0，解得x1＝1，x2＝a，∵點A位于點B的左側，∴點A坐標為（a，0），點B坐標為（1，0），當x＝0時，y＝a，∴點C坐標為（0，a），∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，∵△ABC的面積為6，∴，∴a1＝﹣3，a2＝4，∵a＜0，∴a＝﹣3，∴y＝x2+2x﹣3；（2）設直線BC：y＝kx﹣3，則0＝k﹣3，∴k＝3；①當點P在x軸上方時，直線OP的函數(shù)表達式為y＝3x，則，∴，，∴點P坐標為；②當點P在x軸下方時，直線OP的函數(shù)表達式為y＝﹣3x，則∴，，∴點P坐標為，綜上可得點P坐標為或；（3）過點A作AE⊥BM于點E，過點N作NF⊥BM于點F，設AM與BN交于點G，延長MN與x軸交于點H；∵AB＝4，點M到x軸的距離為d，∴S△AMB＝×AB×d＝×4×d＝2d，∵S△MNB＝2d，∴S△AMB＝S△MNB，∴，∴AE＝NF，∵AE⊥BM，NF⊥BM，∴四邊形AEFN是矩形，∴AN∥BM，∵∠MAN＝∠ANB，∴GN＝GA，∵AN∥BM，∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，∴∠AMB＝∠NBM，∴GB＝GM，∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，在△AMB和△NBM中∴△AMB≌△NBM（SAS），∴∠ABM＝∠NMB，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，又∵AN∥BM，∴∠ABM＝∠OAC＝45°，∴∠NMB＝45°，∴∠ABM+∠NMB＝90°，∴∠BHM＝90°，∴M、N、H三點的橫坐標相同，且BH＝MH，∵M是拋物線上一點，∴可設點M的坐標為（t，t2+2t﹣3），∴1﹣t＝t2+2t﹣3，∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），∴點N的橫坐標為﹣4，可設直線AC：y＝kx﹣3，則0＝﹣3k﹣3，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x﹣3，當x＝﹣4時，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，∴點N的坐標為（﹣4，1）．3．如圖1，拋物線C1：y＝ax2+c的頂點為A，直線l：y＝kx+b與拋物線C1交于A，C兩點，與x軸交于點B（1，0），且OA＝2OB，S△OAC＝4．（1）求直線l的解析式；（2）求拋物線C1與x軸的交點坐標；（3）如圖2，將拋物線C1向下平移m（m＞0）個單位得到拋物線C，且拋物線C的頂點為P，交x軸負半軸于點M，交射線BC于點N，NQ⊥x軸于點Q，當NP平分∠MNQ時，求m的值．解：（1）∵B（1，0），∴OB＝1，∵OA＝2OB，∴OA＝2，∴A（0，﹣2），設直線l的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線l的解析式為y＝2x﹣2；（2）∵S△OAC＝4，∴，∴xC＝4，∴y＝8﹣2＝6，∴C（4，6），將A（0，﹣2），C（4，6）代入y＝ax2+c，∴，解得，∴拋物線C1與的解析式為y＝；令y＝0，，解得x＝±2，∴拋物線C1與x軸的交點坐標為（2，0），（﹣2，0）．（3）設拋物線C表達式為：y＝x2﹣2﹣m，設點M（n，0），則n2﹣2﹣m＝0，拋物線C表達式為：y＝x2﹣n2…③，聯(lián)立②③并解得：x＝2﹣n或2+n，則點N（2﹣n，2﹣2n），則NQ＝2﹣2n，MQ＝2﹣2n，∴△MNQ為等腰直角三角形，則∠MNQ＝45°，又點P（0，﹣n2），即點M（n，0），設直線MN與y軸的交點為H，則OH＝OM，則點H（0，﹣n），作NK⊥y軸于點K，在△NKH中，NK＝KH，則NH＝（2﹣n），又HP＝OH+OP＝n2﹣n，∵PN為角平分線，則∠MNP＝∠PNQ＝22.5°，故NH＝HP，則（2﹣n）＝n2﹣n，解得：n＝2或﹣2（舍去2），∵n2﹣2﹣m＝0，解得：m＝2．4．如圖，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是直線AB上方拋物線上的一動點，①求D到AB的距離最大值及此時的D點坐標；②若∠DAB＝∠BAC，求D點的坐標．解：（1）由y＝x+2可得：當x＝0時，y＝2；當y＝0時，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐標代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣x+2；（2）①如圖1，過點D作DN⊥AC于N，交AB于F，作DH⊥AB于H，∵A（﹣4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝＝＝2，∵∠FAN+∠AFN＝90°，∠FDH+∠DFH＝90°，∠AFN＝∠DFH，∴∠FAN＝∠FDH，∴cos∠FAN＝cos∠FDH，∴，∴＝，∴DH＝DF，∴當DF有最大值時，DH有最大值，設點D，F(xiàn)，∴DF＝＝﹣（m+2）2+2，∴當m＝﹣2時，DF有最大值為2，∴DH的最大值為，∴當點D（﹣2，3）時，D到AB的距離最大值為；②如圖2，延長CB，AD交于點E，∵拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點A，點C，∴點C（1，0），∴OC＝1，∵＝，∠AOB＝∠BOC，∴△AOB∽△BOC，∴∠BAO＝∠CBO，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝90°，∴∠ABC＝90°，∵∠DAB＝∠BAC，AB＝AB，∠ABC＝∠ABE＝90°，∴△ABC≌△ABE（ASA），∴BC＝BE，∵B（0，2），點C（1，0），∴點E（﹣1，4），∴直線AE的解析式為y＝x+，聯(lián)立方程組：，解得：，，∴點D（﹣，）．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）D為拋物線上第一象限內一點，求△DCB面積的最大值；（3）點P是拋物線上的一動點，當∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），∴，解得：，∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+4；（2）如圖，過點D作DE∥y軸交BC于點E，交x軸于點F，∵B（8，0），C（0，4），∴直線BC解析式為y＝﹣x+4，設D（m，﹣m2+m+4），則E（m，﹣m+4），∵D為拋物線上第一象限內一點，∴DE＝DF﹣EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴△DCB面積＝8×DE＝4（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，∴當m＝4時，△DCB面積最大，最大值為16；（3）①當點P在BC上方時，如圖，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴點C，P的縱坐標相等，∴點P的縱坐標為4，令y＝4，則﹣x2+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②當點P在BC下方時，如圖，設PC交x軸于點H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．設HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．設直線PC的解析式為y＝kx+n，∴，解得：，∴y＝﹣x+4，∴，解得：，，∴P（，﹣）．綜上所述，點P的坐標為（6，4）或（，﹣）．6．已知：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（5，0）、B（﹣3，4），拋物線的對稱軸與x軸相交于點D．（1）求拋物線的表達式；（2）聯(lián)結OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果點P在線段BO的延長線上，且∠PAO＝∠BAO，求點P的坐標．解：（1）將A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得：，解得：，∴所求拋物線的表達式為y＝x2﹣x．（2）∵拋物線的表達式為y＝x2﹣x，∴拋物線的對稱軸為直線x＝，∴點D的坐標為（，0）．過點B作BC⊥x軸，垂足為點C，如圖1所示．∵點B的坐標為（﹣3，4），點D的坐標為（，0），∴BC＝4，OC＝3，CD＝3+＝，∴cot∠BDO＝＝．（3）設點P的坐標為（m，n），過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q，如圖2所示．則PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cot∠BAC＝＝＝2．∵∠PAO＝∠BAO，∴cot∠PAO＝＝＝2，即m﹣2n＝5①．∵BC⊥x軸，PQ⊥x軸，∴∠BCO＝∠PQA＝90°，∴BC∥PQ，∴＝，∴＝，即4m＝﹣3n②．由①、②得：，解得：，∴點P的坐標為（，﹣）．7．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（2，0），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P是該拋物線上的動點，且位于y軸的左側．①如圖1，過點P作PD⊥x軸于點D，作PE⊥y軸于點E，當PD＝2PE時，求PE的長；②如圖2，該拋物線上是否存在點P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，請求出所有點P的坐標：若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（2，0），∴，解得：，∴拋物線解析式為：y＝x2+x﹣6；（2）①設點P（a，a2+a﹣6），∵點P位于y軸的左側，∴a＜0，PE＝﹣a，∵PD＝2PE，∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）∴PE＝2或；②存在點P，使得∠ACP＝∠OCB，理由如下，∵拋物線y＝x2+x﹣6與y軸交于點C，∴點C（0，﹣6），∴OC＝6，∵點B（2，0），點A（﹣3，0），∴OB＝2，OA＝3，∴BC＝＝＝2，AC＝＝＝3，如圖，過點A作AH⊥CP于H，∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，∴△ACH∽△BCO，∴，∴＝，∴AH＝，HC＝，設點H（m，n），∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，∴或，∴點H（﹣，﹣）或（﹣，），當H（﹣，﹣）時，∵點C（0，﹣6），∴直線HC的解析式為：y＝﹣x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），∴點P的坐標（﹣2，﹣4）；當H（﹣，）時，∵點C（0，﹣6），∴直線HC的解析式為：y＝﹣7x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），∴點P的坐標（﹣8，50）；綜上所述：點P坐標為（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．8．如圖1，拋物線y＝ax2+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，P為x軸下方拋物線上一點，若OC＝2OA＝4．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，若∠ABP＝∠ACO，求點P的坐標；（3）如圖3，點P的橫坐標為1，過點P作PE⊥PF，分別交拋物線于點E，F(xiàn)．求點A到直線EF距離的最大值．解：（1）∵CO＝4，故c＝﹣4，則拋物線的表達式為y＝ax2﹣4，∵OC＝2OA＝4，故點A（﹣2，0），則0＝4a﹣4，解得a＝1，故拋物線的表達式為y＝x2﹣4；（2）過點A作x軸的垂線交BP的延長線于點Q，在△BAQ和△COA中，，∴△BAQ≌△COA（AAS），∴AQ＝OA＝2，∴Q（﹣2，﹣2），由點B、Q的坐標得，直線BQ解析式為y＝x﹣1，聯(lián)立，解得x1＝2（舍去），x2＝，∴P（，）；（3）設E（x1，x12﹣4），F(xiàn)（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），由點P、E的坐標得，yPE＝（x1+1）x﹣4﹣x1，同理可得yPF＝（x2+1）x﹣4﹣x2，又∵PE⊥PF，∴（x1+1）（x2+1）＝﹣1，∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1，x1x2＝﹣2﹣（x1+x2）（這里可以構造三垂模型如圖3，利用相似三角形的性質得到）．同理可得EF的解析式為：yEF＝（x1+x2）x﹣4﹣x1x2，∴yEF＝（x1+x2）x﹣4+2+（x1+x2）＝（x1+x2）（x+1）﹣2，∴直線EF恒過定點（﹣1，﹣2），設該點為R，連接點AR，則AR為點A到直線EF距離的最大值，∴AR＝．9．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）M是拋物線上第一象限上的一點，連接AM，正好將△ABC的面積分成相等的兩部分，求M點的坐標．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）作BC的中點N，連接AN并延長交拋物線于M，如圖：∵N為BC中點，∴直線AN將△ABC的面積分成相等的兩部分，即M是滿足條件的點，在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），∵B（3，0），N為BC中點，∴N（，），設直線AN解析式為y＝mx+n，將A（﹣1，0），N（，）代入得：，解得，∴直線AN解析式為y＝x+，解得或，∴M（，），答：M點的坐標（，）；（3）存在點P，使∠PAB＝∠ABC，理由如下：過A作AP∥BC交拋物線于P，交y軸于S，作S關于x軸的對稱軸點T，作直線AT交拋物線于P'，如圖：∵AP∥BC，∴∠PAB＝∠ABC，P是滿足條件的點，∵S關于x軸的對稱軸點為T，∴∠P'AB＝∠PAB＝∠ABC，即P'是滿足條件的點，由（2）知C（0，3），設直線BC解析式為y＝tx+3，將B（3，0）代入得：3t+3＝0，∴t＝﹣1，∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，由AP∥BC設直線AP解析式為y＝﹣x+d，將A（﹣1，0）代入得：1+d＝0，解得d＝﹣1，∴直線AP解析式為y＝﹣x﹣1，S（0，﹣1），解得或，∴P（4．﹣5），∵S（0，﹣1），S關于x軸的對稱軸點為T，∴T（0，1），設直線AT解析式為y＝ex+1，將A（﹣1，0）代入得：﹣e+1＝0，解得e＝1，∴直線AT解析式為y＝x+1，解得或，∴P'（2，3），綜上所述，點P的坐標為（4，﹣5）或（2，3）．10．如圖（1），拋物線y＝ax2+（a﹣5）x+3（a為常數(shù)，a≠0）與x軸正半軸分別交于A，B（A在B的右邊）．與y軸的正半軸交于點C．連接BC，tan∠BCO＝．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖（2），設拋物線的頂點為Q，P是第一象限拋物線上的點，連接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝∠ACB，求點P的坐標；（3）如圖（3），D是線段AC上的點，連接BD，滿足∠ADB＝3∠ACB，求點D的坐標．解：（1）∵拋物線y＝ax2+（a﹣5）x+3與y軸的正半軸交于點C，∴C（0，3），∴OC＝3，∵tan∠BCO＝，∴＝，∴OB＝1，∴B（1，0），將B（1，0）代入y＝ax2+（a﹣5）x+3，得a+a﹣5+3＝0，解得：a＝1，∴拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）如圖（2）設PQ與x軸交于N．∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點Q（2，﹣1），∵A（3，0），B（1，0），C（0，3），∴AB＝2，OC＝OA＝3，∴∠CAO＝45°，AC＝3，過Q作QH⊥x軸于H，則QH＝AH＝1，∴∠QAH＝45°，AQ＝，∴∠CAO＝∠QAH＝45°，∵∠AQP＝∠ACB，∴△CAB∽△QAN，∴＝，即＝，∴AN＝，∴ON＝3﹣＝，∴N（，0），又Q（2，﹣1），∴直線PQ解析式為：y＝3x﹣7，聯(lián)立方程組，解得：，；∴P（5，8）；（3）如圖（3）作BM⊥AC于M，當點D在線段CM上時，則∠ADB＝3∠ACB，∴∠CBD＝2∠ACB，作∠CBD的平分線BE交CD于點E，∴∠CBD＝2∠CBE，∴∠ACB＝∠CBE，∴BE＝CE，∵y＝x2﹣4x+3，∴A（3，0），B（1，0），C（0，3），∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，∠OAC＝∠OCA＝45°，設E（a，﹣a+3），則（a﹣1）2+（a﹣3）2＝a2+a2，解得：a＝，∴E（，），設D（m，﹣m+3），∵∠BCD＝∠EBD，∠BDC＝∠EDB，∴△BCD∽△EBD，∴BD2＝CD?ED，∴（m﹣1）2+（m﹣3）2＝（m﹣）?m，解得：m＝，∴D（，）．11．如圖，拋物線y＝（x﹣3）（x﹣2a）交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），＝．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖①，連接BC，點P在拋物線上，且∠BCO＝∠PBA．求點P的坐標；（3）如圖②，M是拋物線上一點，N為射線CB上的一點，且M、N兩點均在第一象限內，B、N是位于直線AM同側的不同兩點，tan∠AMN＝2，點M到x軸的距離為2L，△AMN的面積為5L，且∠ANB＝∠MBN，請問MN的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．解：（1）把y＝0代入拋物線y＝（x﹣3）（x﹣2a），得x＝3或x＝2a，∵點A在點B的左側，∴A（2a，0），B（3，0），∵∴∴a＝﹣1∴拋物線的函數(shù)表達式為：y＝x2﹣x﹣6；（2）如圖①，作線段BC的垂直平分線交y軸于點D，此時DC＝DB∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DCB+∠DBC＝2∠BCO，∵∠BCO＝∠PBA∴∠PBA＝2∠BCO，∴∠ODB＝∠PBA，∴tan∠ODB＝tan∠PBA，設P（m，m2﹣m﹣6），DC＝DB＝n，∵C（0，﹣6），B（3，0），∴OC＝6，OB＝3，∴OD＝6﹣n，在Rt△BOD中，（6﹣n）2+32＝m2，解得，∴，∵tan∠ODB＝tan∠PBA∴即，解得，∴∴點P的坐標為；（3）MN的為定值，定值為5∵A（﹣2，0），B（3，0），點M到x軸的距離為2L∴，∵S△AMN＝5L∴S△ABM＝S△AMN∵△ABM和△AMN同底AM，∴點B、N到直線AM的距離相等，∴AM∥BN，∴∠MAN＝∠ANB，∠AMB＝∠MBN，∠ABC＝∠MAB∴∠ANB＝∠MBN∴∠MAN＝∠AMB∵tan∠ABC＝＝＝2，tan∠AMN＝2∴△MAB≌△AMN（ASA），∴MN＝AB＝5∴MN的為定值，定值為5．12.在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3過點A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為直線CD上的一個動點，連接BC；①如圖1，是否存在點P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；②如圖2，點P在x軸上方，連接PA交拋物線于點N，∠PAB＝∠BCO，點M在第三象限拋物線上，連接MN，當∠ANM＝45°時，請直接寫出點M的坐標．解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），解得：a＝1，故拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3；（2）由拋物線的表達式知，點C、D的坐標分別為（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），由點C、D的坐標知，直線CD的表達式為：y＝x﹣3①；tan∠BCO＝，則cos∠BCO＝；①當點P（P′）在點C的右側時，∵∠P'BC＝∠BCO，故P′B∥y軸，則點P′（1，﹣2）；當點P在點C的左側時，設直線PB交y軸于點H，過點H作HN⊥BC于點N，∵∠P'BC＝∠BCO，∴△BCH為等腰三角形，則BC＝2CH?cos∠BCO＝2×CH×＝，解得：CH＝，則OH＝3﹣CH＝，故點H（0，﹣），由點B、H的坐標得，直線BH的表達式為：y＝x﹣②，聯(lián)立①②并解得：，故點P的坐標為（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，故設直線AP的表達式為：y＝x+s，將點A的坐標代入上式并解得：s＝1，故直線AP的表達式為：y＝x+1③，聯(lián)立拋物線與③并解得：，故點N（，）；設△AMN的外接圓為圓R，當∠ANM＝45°時，則∠ARM＝90°，設圓心R的坐標為（m，n），∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，∴∠RMH＝∠GAR，∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，∴點M（m+n，n﹣m﹣3），將點M的坐標代入拋物線表達式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，由題意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m﹣）2+（﹣n）2⑤，聯(lián)立④⑤并解得：，故點M（﹣，﹣）．13．如圖1，拋物線C：y＝ax2+bx經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（﹣1，3）兩點，G是其頂點，將拋物線C繞點O旋轉180°，得到新的拋物線C′．（1）求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點G的坐標；（2）如圖2，直線l：y＝kx﹣經(jīng)過點A，D是拋物線C上的一點，設D點的橫坐標為m（m＜﹣2），連接DO并延長，交拋物線C′于點E，交直線l于點M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG、AB，在直線DE下方的拋物線C上是否存在點P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）將A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴拋物線C解析式為：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴頂點為：G（﹣2，4）；（2）∵拋物線C繞點O旋轉180°，得到新的拋物線C′．∴新拋物線C′的頂點為：G′（2，﹣4），二次項系數(shù)為：a′＝1∴新拋物線C′的解析式為：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x將A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直線l解析式為y＝x﹣，設D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E關于原點O對稱，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，過點D作DF⊥x軸于F，過M作MR⊥x軸于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m＝?（﹣2m）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值為：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如圖3，連接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x軸下方過點O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，過點E作ET⊥y軸于T，連接EH交拋物線C于點P，點P即為所求的點；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），設直線EH解析式為y＝px+q，則，解得∴直線EH解析式為y＝﹣x，解方程組，∴x＝或，∴點P的橫坐標為：或．14．已知拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于點A（1，0）和點B（5，0），頂點為M．點C在x軸的負半軸上，且AC＝AB，點D的坐標為（0，3），直線l經(jīng)過點C、D．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線l在第三象限上的點，聯(lián)結AP，且線段CP是線段CA、CB的比例中項，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結AM、BM，在直線PM上是否存在點E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于點A（1，0），B（5，0），∴，解得．∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x+5．（2）∵A（1，0），B（5，0），∴OA＝1，AB＝4．∵AC＝AB且點C在點A的左側，∴AC＝4．∴CB＝CA+AB＝8．∵線段CP是線段CA、CB的比例中項，∴＝．∴CP＝4．又∵∠PCB是公共角，∴△CPA∽△CBP．∴∠CPA＝∠CBP．過P作PH⊥x軸于H．∵OC＝OD＝3，∠DOC＝90°，∴∠DCO＝45°．∴∠PCH＝45°∴PH＝CH＝CP＝4，∴H（﹣7，0），BH＝12．∴P（﹣7，﹣4）．∴tan∠CBP＝＝，tan∠CPA＝．（3）∵拋物線的頂點是M（3，﹣4），又∵P（﹣7，﹣4），∴PM∥x軸．當點E在M左側，則∠BAM＝∠AME．過點A作AN⊥PM于點N，則N（1，﹣4）．∵∠AEM＝∠AMB，∴△AEM∽△BMA．∴＝．∴＝．∴ME＝5，∴E（﹣2，﹣4）．當點E在M右側時，記為點E′，∵∠AE′N＝∠AEN，∴點E′與E關于直線AN對稱，則E′（4，﹣4）．綜上所述，E的坐標為（﹣2，﹣4）或（4，﹣4）．15．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸的負半軸交于點C，已知拋物線的對稱軸為直線x＝，B、C兩點的坐標分別為B（2，0），C（0，﹣3）．點P為直線BC下方的拋物線上的一個動點（不與B、C兩點重合）．（1）求此拋物線的解析式；（2）如圖1，連接PB、PC得到△PBC，問是否存在著這樣的點P，使得△PBC的面積最大？如果存在，求出面積的最大值和此時點P的坐標；如果不存在，請說明