2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題59 二次函數(shù)背景下的等腰三角形、直角三角形存在性問(wèn)題（含答案及解析）

模型介紹模型介紹一、如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,3），在x軸上取點(diǎn)C使得△ABC是等腰三角形．【幾何法】“兩圓一線”得坐標(biāo)（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．【注意】若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除．作圖并不難，問(wèn)題是還需要把各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)算出來(lái)，可通過(guò)勾股或者三角函數(shù)來(lái)求．同理可求，下求．顯然垂直平分線這個(gè)條件并不太適合這個(gè)題目，如果A、B均往下移一個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,2）時(shí)，可構(gòu)造直角三角形勾股解：而對(duì)于本題的，或許代數(shù)法更好用一些．【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等（1）表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），又A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1）、B點(diǎn)坐標(biāo)（4,3），（2）表示線段：，（3）分類討論：根據(jù)，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐標(biāo)為．小結(jié)幾何法：（1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長(zhǎng)，由線段長(zhǎng)得點(diǎn)坐標(biāo)．代數(shù)法：（1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、C；（2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．問(wèn)題總結(jié)：（1）兩定一動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)可在直線上、拋物線上；（2）一定兩動(dòng)：兩動(dòng)點(diǎn)必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長(zhǎng)度列方程求解；（3）三動(dòng)點(diǎn)：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．二、【問(wèn)題描述】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,3），在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形，求點(diǎn)C坐標(biāo)．【幾何法】?jī)删€一圓得坐標(biāo)（1）若∠A為直角，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（2）若∠B為直角，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）重點(diǎn)還是如何求得點(diǎn)坐標(biāo)，求法相同，以為例：【構(gòu)造三垂直】求法相同，以為例：構(gòu)造三垂直步驟：第一步：過(guò)直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線；第二步：過(guò)另外兩端點(diǎn)向該直線作垂線，即可得三垂直相似．例題精講例題精講考點(diǎn)一：二次函數(shù)中的直角三角形存在性問(wèn)題【例1】．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）直線l過(guò)點(diǎn)A與拋物線交于點(diǎn)P，當(dāng)∠PAB＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)二：二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問(wèn)題【例2】．如圖，拋物線y＝﹣x2+5x+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．（3）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變2-2】．如圖，拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸左側(cè)且位于x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m．（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；（2）將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段BD（點(diǎn)D是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)D是否在拋物線上；（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交直線BD于點(diǎn)M，試探究是否存在點(diǎn)P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，點(diǎn)P為第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求a、b、c的值；（2）連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．已知拋物線y＝﹣x2﹣x的圖象如圖所示：（1）將該拋物線向上平移2個(gè)單位，分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則平移后的解析式為．（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接AC，BD．（1）求點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，且△BEF與△AOC相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BDP是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A、E兩點(diǎn)，P是x軸上點(diǎn)B左側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若F是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在動(dòng)點(diǎn)M，使△MBF為等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；否則說(shuō)明理由．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且BO＝OC＝3AO．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)△MBC的面積最大時(shí)，求：①點(diǎn)M的坐標(biāo)，說(shuō)明理由；②MN+BN的最小值；（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸相交于點(diǎn)C，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M也是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且△MAC為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．9．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使以A，N，M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D．（1）求此拋物線的解析式．（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸．（3）探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）若M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，使得△MBC為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖1，P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，PD∥y軸交BC于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E點(diǎn)．設(shè)m＝PD+DE，求m的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．12．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在直線BC上方的拋物線上，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．已知如圖1，在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣1），連接AC，AO＝2CO，直線l過(guò)點(diǎn)G（0，t）且平行于x軸，t＜﹣1．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；（2）若D（﹣4，m）為拋物線y＝x2+bx+c上一定點(diǎn)，點(diǎn)D到直線l的距離記為d，當(dāng)d＝DO時(shí)，求t的值．（3）如圖2，若E（﹣4，m）為上述拋物線上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．14．如圖①，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于O、A兩點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與y軸交于B點(diǎn)，與該拋物線交于A，D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)D橫坐標(biāo)為﹣1．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖①，在線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)H（不與O、A重合），過(guò)H作x軸的垂線分別交AB于P點(diǎn)，交拋物線于Q點(diǎn)，若x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，請(qǐng)求出H點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA＝OC＝3，頂點(diǎn)為D．（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2））在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作直線l∥y軸，交AC與點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為多少時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最大？最大是多少？（3）在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)K，在拋物線上有一點(diǎn)L，若使A，B，K，L為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出K，L點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．16．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，請(qǐng)問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C（3，1），二次函數(shù)y＝x2+bx﹣的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．（1）求二次函數(shù)的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)B落在拋物線上時(shí)，求△ABC掃過(guò)區(qū)域的面積；（3）在拋物線上是否存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)M在拋物線上，且∠NBM＝45°，直接寫(xiě)出點(diǎn)M坐標(biāo)；（4）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．如圖，已知直線y＝3x﹣3分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使△ABP的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)和P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．20．如圖，已知直線y＝3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（3）在拋物線上求一點(diǎn)Q，使得△ACQ為以AC為底邊的等腰三角形，并寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）除（3）中所求的Q點(diǎn)外，在拋物線上是否還存在其它的點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出一共有幾個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q（要求簡(jiǎn)要說(shuō)明理由，但不證明）；若不存在這樣的點(diǎn)Q，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．如圖，拋物線交x軸于A（﹣2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（m，0），請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝﹣x﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①當(dāng)△PCM是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)B'，則平面內(nèi)存在直線l，使點(diǎn)M，B，B′到該直線的距離都相等．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn)B不重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）23．如圖，直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）如圖①，連接BC，在y軸上存在一點(diǎn)D，使得△BCD是以BC為底的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，連接BC，在直線AC上是否存在點(diǎn)F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如圖④，若拋物線的頂點(diǎn)為H，連接AH，在x軸上是否存在一點(diǎn)K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（5）如圖⑤，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

模型介紹模型介紹一、如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,3），在x軸上取點(diǎn)C使得△ABC是等腰三角形．【幾何法】“兩圓一線”得坐標(biāo)（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．【注意】若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除．作圖并不難，問(wèn)題是還需要把各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)算出來(lái)，可通過(guò)勾股或者三角函數(shù)來(lái)求．同理可求，下求．顯然垂直平分線這個(gè)條件并不太適合這個(gè)題目，如果A、B均往下移一個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,2）時(shí)，可構(gòu)造直角三角形勾股解：而對(duì)于本題的，或許代數(shù)法更好用一些．【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等（1）表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），又A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1）、B點(diǎn)坐標(biāo)（4,3），（2）表示線段：，（3）分類討論：根據(jù)，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐標(biāo)為．小結(jié)幾何法：（1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長(zhǎng)，由線段長(zhǎng)得點(diǎn)坐標(biāo)．代數(shù)法：（1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、C；（2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．問(wèn)題總結(jié)：（1）兩定一動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)可在直線上、拋物線上；（2）一定兩動(dòng)：兩動(dòng)點(diǎn)必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長(zhǎng)度列方程求解；（3）三動(dòng)點(diǎn)：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．二、【問(wèn)題描述】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,3），在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形，求點(diǎn)C坐標(biāo)．【幾何法】?jī)删€一圓得坐標(biāo)（1）若∠A為直角，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（2）若∠B為直角，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）重點(diǎn)還是如何求得點(diǎn)坐標(biāo)，求法相同，以為例：【構(gòu)造三垂直】求法相同，以為例：構(gòu)造三垂直步驟：第一步：過(guò)直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線；第二步：過(guò)另外兩端點(diǎn)向該直線作垂線，即可得三垂直相似．例題精講例題精講考點(diǎn)一：二次函數(shù)中的直角三角形存在性問(wèn)題【例1】．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）直線l過(guò)點(diǎn)A與拋物線交于點(diǎn)P，當(dāng)∠PAB＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖：設(shè)P（m，m2﹣4m﹣5），則PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），當(dāng)m2﹣4m﹣5＝m+1時(shí)，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合題意，舍去），當(dāng)m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合題意，舍去），∴P的坐標(biāo)是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由拋物線y＝x2﹣4x﹣5的對(duì)稱軸為直線x＝2，設(shè)Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此時(shí)Q坐標(biāo)為（2，﹣6）或（2，1）；當(dāng)BQ為斜邊時(shí)，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此時(shí)Q坐標(biāo)為（2，﹣7）；當(dāng)CQ為斜邊時(shí)，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此時(shí)Q坐標(biāo)為（2，3）；綜上所述，Q的坐標(biāo)為（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（﹣1，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+4；（2）連接OD，由題意知，四邊形OFDE是矩形，則OD＝EF，據(jù)垂線段最短，可知：當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝OA＝4，∴AC＝4．又∵D為AC的中點(diǎn)．∴DF∥OC，∴DF＝OC＝2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）；（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4）．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4﹣0）2＝m4﹣6m3+2m2+16m+32，CP2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m+4﹣4）2＝m4﹣6m3+10m2，AC2＝（0﹣4）2+（4﹣0）2＝32．分兩種情況考慮，①當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，AP2＝CP2+AC2，即m4﹣6m3+2m2+16m+32＝m4﹣6m3+10m2+32，整理得：m2﹣2m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）；②當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，CP2+AP2＝AC2，即m4﹣6m3+10m2+m4﹣6m3+2m2+16m+32＝32，整理得：m（m3﹣6m2+6m+8）＝0，∴m（m﹣4）（m2﹣2m﹣2）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去），（舍去），，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+，3+）．綜上所述，假設(shè)成立，即存在點(diǎn)P（2，6）或（1+，3+），使得△ACP是直角三角形．考點(diǎn)二：二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問(wèn)題【例2】．如圖，拋物線y＝﹣x2+5x+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．（3）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）由題意得，﹣1+5+n＝0，解得，n＝﹣4，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x﹣4；（2）y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，拋物線對(duì)稱軸為：x＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣4），∴OA＝1，OB＝4，在Rt△OAB中，AB＝＝，①當(dāng)PB＝BA時(shí)，PB＝，∴OP＝PB﹣OB＝﹣4，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣4），②當(dāng)PA＝AB時(shí)，OP＝OB＝4此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）把點(diǎn)A（4，0）代入二次函數(shù)有：0＝﹣16+4b+3得：b＝所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y＝﹣x2+x+3．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．（2）如圖：作AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，連接BP，則：BP＝AP設(shè)BP＝AP＝x，則OP＝4﹣x，在直角△OBP中，BP2＝OB2+OP2即：x2＝32+（4﹣x）2解得：x＝∴OP＝4﹣＝所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．【變2-2】．如圖，拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸左側(cè)且位于x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m．（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；（2）將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段BD（點(diǎn)D是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)D是否在拋物線上；（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交直線BD于點(diǎn)M，試探究是否存在點(diǎn)P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）把點(diǎn)A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入解析式y(tǒng)＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）如圖，作AC⊥y軸于點(diǎn)C，作DH⊥y軸于點(diǎn)H，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠HBD，在△ABC和△DBH中，，∴△ABC≌△BDH（AAS），∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，∴OH＝2，∴D（﹣3，2），把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，∴點(diǎn)D不在拋物線上；（3）存在點(diǎn)P，∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），∴直線BD的解析式為y＝﹣x﹣1，設(shè)P（m，m2+4m﹣1），則M（m，﹣m﹣1），由（2）知：∠BMP＝45°，當(dāng)△PBM是等腰三角形，且45°為底角時(shí)，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，則P與A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，則PB∥x軸，即P的縱坐標(biāo)為﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°為頂角，即MP＝MB，∵M(jìn)P＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB＝﹣＝﹣，∴﹣m2﹣5m＝﹣m，解得m＝0（舍）或m＝﹣5+，∴m的值為﹣3，﹣4，﹣5．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，點(diǎn)P為第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求a、b、c的值；（2）連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交AC于E，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC的解析式為y＝x+3，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣2m+3），則E（m，m+3），∴S△ACP＝PE?（xC﹣xA）＝×[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）＝﹣（m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S△PAC最大＝；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．如圖2，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線對(duì)稱軸為x＝﹣1，設(shè)點(diǎn)Q（﹣1，n），則AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，∵△QAC為直角三角形，∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，①當(dāng)∠CAQ＝90°時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，解得：n＝﹣2，∴Q1（﹣1，﹣2）；②當(dāng)∠ACQ＝90°時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，解得：n＝4，∴Q2（﹣1，4）；③當(dāng)∠AQC＝90°時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，解得：n1＝，n2＝，∴Q3（﹣1，），Q4（﹣1，）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．2．已知拋物線y＝﹣x2﹣x的圖象如圖所示：（1）將該拋物線向上平移2個(gè)單位，分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則平移后的解析式為y＝﹣x2﹣x+2．（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）將該拋物線向上平移2個(gè)單位，得y＝﹣x2﹣x+2，故答案為：y＝﹣x2﹣x+2；（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，即B（﹣4，0），A（1，0）．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，即C（0，2）．AB＝1﹣（﹣4）＝5，AB2＝25，AC2＝（1﹣0）2+（0﹣2）2＝5，BC2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2＝20，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）y＝﹣x2﹣x+2的對(duì)稱軸是直線x＝﹣，設(shè)P（﹣，n），AP2＝（1+）2+n2＝+n2，CP2＝+（2﹣n）2，AC2＝12+22＝5當(dāng)AP＝AC時(shí)，AP2＝AC2，+n2＝5，方程無(wú)解；當(dāng)AP＝CP時(shí)，AP2＝CP2，+n2＝+（2﹣n）2，解得n＝0，即P1（﹣，0），當(dāng)AC＝CP時(shí)AC2＝CP2，+（2﹣n）2＝5，解得n1＝2+，n2＝2﹣，P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．綜上所述：使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．3．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接AC，BD．（1）求點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，且△BEF與△AOC相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BDP是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）對(duì)于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，則y＝3，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），則函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝（6﹣2）＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣x2+x+3＝4，即點(diǎn)D（2，4）；（2）tan∠CAO＝，當(dāng)△BEF與△AOC相似時(shí)，則，即，解得：EF＝6或，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（2，6）或（2，﹣6）或或；（3）存在，理由：△BDP是直角三角形只要可能是∠DBP和∠BDP為直角，①當(dāng)∠DBP為直角時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線，交過(guò)點(diǎn)P與x軸的平行線于點(diǎn)H，交過(guò)點(diǎn)D與x軸的平行線于點(diǎn)G，∵DG＝BG＝4，則△BDG為等腰三角形，∠DBG＝45°，則∠PBH＝45°，即△PBH為等腰直角三角形，則設(shè)PH＝BH＝m，則點(diǎn)P（6﹣m，﹣m），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：﹣m＝﹣（6﹣m）2+（6﹣m）+3，解得：m＝0（舍去）或12，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣12）；②當(dāng)∠BDP為直角時(shí)，∵AD＝BD＝3，AB＝64，則△ABD為等腰直角三角形，即∠ADB＝90°，即點(diǎn)P于點(diǎn)A重合，故點(diǎn)P（﹣2，0）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣6，﹣12）．4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A、E兩點(diǎn)，P是x軸上點(diǎn)B左側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若F是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在動(dòng)點(diǎn)M，使△MBF為等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；否則說(shuō)明理由．解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）聯(lián)立直線AE和拋物線的函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：，解得：，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∵C（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直線AE的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則PB＝3﹣m，∵以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（﹣，0）；（3）∵∠CBO＝45°，∴存在兩種情況（如圖2）．①取點(diǎn)M1與點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)M1作M1F1∥y軸，交直線BC于點(diǎn)F1，∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，∴此時(shí)△BM1F1為等腰直角三角形，∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（﹣1，0）；②取點(diǎn)C′（0，﹣3），連接BC′，延長(zhǎng)BC′交拋物線于點(diǎn)M2，過(guò)點(diǎn)M2作M2F2∥y軸，交直線BC于點(diǎn)F2，∵點(diǎn)C、C′關(guān)于x軸對(duì)稱，∠OBC＝45°，∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，∴△CBC′為等腰直角三角形，∵M(jìn)2F2∥y軸，∴△M2BF2為等腰直角三角形．∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C′（0，﹣3），∴直線BC′的函數(shù)關(guān)系式為y＝x﹣3，聯(lián)立直線BC′和拋物線的函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：，解得：，，∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（﹣2，﹣5），綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且BO＝OC＝3AO．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3，∴c＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵BO＝OC＝3AO，∴BO＝3，AO＝1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，（2）存在，理由：設(shè)P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC＝3，PB＝，PC＝，∵△PBC是等腰三角形，①當(dāng)PB＝PC時(shí)，∴＝，∴m＝﹣1，∴P（1，﹣1），②當(dāng)PB＝BC時(shí)，∴3＝，∴m＝±，∴P（1，）或P（1，﹣），③當(dāng)PC＝BC時(shí)，∴3＝，∴m＝﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)△MBC的面積最大時(shí)，求：①點(diǎn)M的坐標(biāo)，說(shuō)明理由；②MN+BN的最小值；（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵∠ABC＝45°，∴OB＝OC，∵OA：OB＝1：3，AB＝4，∴OA＝1，OB＝3，∴OC＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），將A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（2）①設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，過(guò)點(diǎn)M作MG∥y軸交BC于點(diǎn)G，設(shè)M（t，﹣t2+2t+3），則G（t，﹣t+3），∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴S△MBC＝×3×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，∵0＜t＜3，∴當(dāng)t＝時(shí)，S△MBC有最大值，此時(shí)M（，）；②過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸交于H，交BC于N，∵∠OBC＝45°，∴NH＝BN，∴MN+BN＝MN+NH≥MH，∵M(jìn)（，），∴MH＝，∴MN+BN的最小值為，故答案為：；（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，理由如下：設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），如圖2，當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作EF∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥EF交于E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥EF交于F，∴∠ECA+∠FCP＝90°，∵∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠FCP＝∠EAC，∴△ACE∽△CPF，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，）；如圖3，當(dāng)∠CAP＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作MN⊥x軸，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥MN交于M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥MN交于N，∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，∴∠NAP＝∠MCA，∴△ACM∽△PAN，∴＝，∴＝，解得m＝﹣1（舍）或m＝，∴P（，﹣）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．7．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）將A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，則y＝4，∴點(diǎn)C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），①當(dāng)AC＝CQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，連接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：舍去負(fù)值），∴點(diǎn)；②當(dāng)AC＝AQ時(shí)，則AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或m＝0（舍去0），∴點(diǎn)Q（1，3）；③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，則2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，3）或．8．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸相交于點(diǎn)C，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M也是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且△MAC為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，（2）如圖1，∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，∴連接BC交直線l于點(diǎn)P，由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，∴直線l：x＝1，C（0，﹣3），∵B（3，0），∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2，∴P（1，﹣2），（3）設(shè)點(diǎn)M（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，∵△MAC為直角三角形，∴當(dāng)∠ACM＝90°時(shí)，∴AC2+CM2＝AM2，∴10+m2+6m+10＝m2+4，∴m＝﹣，∴M（1，﹣）當(dāng)∠CAM＝90°時(shí)，∴AC2+AM2＝CM2，∴10+m2+4＝m2+6m+10，∴m＝，∴M（1，）當(dāng)∠AMC＝90°時(shí)，AM2+CM2＝AC2，∴m2+4+m2+6m+10＝10，∴m＝﹣1或m＝﹣2，∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），即：滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．9．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使以A，N，M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由拋物線y＝﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得，故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3．設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+n，將A（﹣1，0）、C（2，3）分別代入y＝kx+n中可得解得，故直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+1．（2）存在，理由：由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x＝1，設(shè)點(diǎn)M（1，m），∵A（﹣1，0），M（1，m），N（0，3），∴AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2．當(dāng)AM是斜邊時(shí)，則4+m2＝10+1+（m﹣3）2，解得；當(dāng)AN是斜邊時(shí)，4+m2+1+（m﹣3）2＝10，解得：m＝1或2；當(dāng)MN是斜邊時(shí)，4+m2+10＝1+（m﹣3）2，解得：．故點(diǎn)M的坐標(biāo)為或（1，1）或（1，2）或．10．拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D．（1）求此拋物線的解析式．（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸．（3）探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），∴，解得，即此拋物線的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，﹣4），對(duì)稱軸是直線x＝1；（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），當(dāng)PA＝PD時(shí)，則＝，解得y＝﹣，當(dāng)DA＝DP時(shí)，則＝，解得y＝﹣4±2，當(dāng)AD＝AP時(shí)，則＝，解得，y＝±4（舍去﹣4），由上可得，以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+2）或（1，4）．11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）若M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，使得△MBC為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖1，P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，PD∥y軸交BC于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E點(diǎn)．設(shè)m＝PD+DE，求m的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)代入解析式y(tǒng)＝ax2+bx+3，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）如圖，當(dāng)∠MCB＝90°時(shí)，延長(zhǎng)MC交x軸于點(diǎn)G，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，AB＝3﹣（﹣1）＝4∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠MCB＝90°，∴∠GCB＝90°，∠GCO＝45°，∴∠GCO＝∠CGO＝45°，∴OG＝OC＝3，∴G（﹣3，0），設(shè)直線GC的解析式為y＝kx+3，∴0＝﹣3k+3，解得k＝1，∴直線GC的解析式為y＝x+3，∴x＝1時(shí)，y＝x+3＝4，此時(shí)M（1，4）；如圖，當(dāng)∠MBC＝90°時(shí)，延長(zhǎng)BM交y軸于點(diǎn)H，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠MBC＝90°，∴∠HBO＝45°，∴∠HBO＝∠BHO＝45°，∴OH＝OB＝3，∴H（0，﹣3），設(shè)直線BH的解析式為y＝px﹣3，∴0＝3p﹣3，解得p＝1，∴直線BH的解析式為y＝x﹣3，∴x＝1時(shí)，y＝x﹣3＝﹣2，此時(shí)M（1，﹣2）；當(dāng)∠CMB＝90°時(shí)，設(shè)M（1，a），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴BC2＝32+32＝18，MC2＝1+（a﹣3）2，BM2＝4+a2，∵∠CMB＝90°，∴BC2＝MC2+BM2，∴18＝1+（a﹣3）2+4+a2，整理，得a2﹣3a﹣2＝0，解得，此時(shí)或；綜上所述，點(diǎn)M（1，4）或點(diǎn)M（1，﹣2）或點(diǎn)或點(diǎn)．（3）如圖，設(shè)PD與x軸的交點(diǎn)為F，點(diǎn)P（n，﹣n2+2n+3），∵B（3，0），C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝qx+3，∴0＝3q+3，解得q＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，∴D（n，﹣n+3），∴PD＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n；∵A（﹣1，0），C（0，3），∴，∴，連接AD，∴，∵S△ADC＝S△ABC﹣S△ADB，AB＝3﹣（﹣1）＝4∴，∴，∴∵拋物線開(kāi)口向下，∴m有最大值，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，且為，此時(shí)，故點(diǎn)．12．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在直線BC上方的拋物線上，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵點(diǎn)B（5，0），C（0，5）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得，，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x+5；（2）設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M′，連接MM′，BM′，則直線FM′為拋物線對(duì)稱軸關(guān)于直線BC的對(duì)稱直線，∵點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)E落在拋物線上，∴直線FM′與拋物線的交點(diǎn)E1，E2為D1，D2落在拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，∵對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴△MBF是等腰直角三角形，∴MB＝MF，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（2，3），∵點(diǎn)M關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M′，∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，∴△MBM′是等腰直角三角形，∴BM′＝BM＝3，∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（5，3），∴FM′∥x軸，∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1＝，x2＝，∴E1（，3），E2（，3），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，3）或（，3）；（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．設(shè)Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），①當(dāng)OP＝PQ，∠OPQ＝90°時(shí)，作PL⊥y軸于L，過(guò)Q作QK⊥x軸，交PL于K，∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，∴∠LOP＝∠KPQ，∵OP＝PQ，∴△LOP≌△KPQ（AAS），∴LO＝PK，LP＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），當(dāng)m1＝時(shí)，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；②當(dāng)QO＝PQ，∠PQO＝90°時(shí)，作PL⊥y軸于L，過(guò)Q作QK⊥x軸于T，交PL于K，同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），∴QT＝PK，TO＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），當(dāng)m1＝時(shí)，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；③當(dāng)QO＝OP，∠POQ＝90°時(shí)，作PL⊥y軸于L，過(guò)Q作QK⊥x軸于T，交PL于K，同理可得△OLP≌△QSO（AAS），∴SQ＝OL，SO＝LP，∴，解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），當(dāng)m1＝2+時(shí)，﹣m2+4m+5＝2，∴Q（，2）；綜上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．13．已知如圖1，在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣1），連接AC，AO＝2CO，直線l過(guò)點(diǎn)G（0，t）且平行于x軸，t＜﹣1．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；（2）若D（﹣4，m）為拋物線y＝x2+bx+c上一定點(diǎn)，點(diǎn)D到直線l的距離記為d，當(dāng)d＝DO時(shí)，求t的值．（3）如圖2，若E（﹣4，m）為上述拋物線上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．解：（1）∵C（0，﹣1），∴y＝x2+bx﹣1，又∵AO＝2OC，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣2，0），代入得：1﹣2b﹣1＝0，解得：b＝0，∴解析式為：y＝x2﹣1；（2）∵D（﹣4，m）為拋物線y＝x2﹣1上一定點(diǎn)，∴m＝×16﹣1＝3，∴D（﹣4，3），∴OD＝＝5，∴d＝5，∴t＝﹣（5﹣3）＝﹣2；（3）點(diǎn)E（﹣4，m）在拋物線y＝x2﹣1的上，∴m＝3，∴E（﹣4，3），∵B（2，0），∴直線BE為y＝﹣x+1，①如圖1，當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，則BF⊥BE，∴直線BF的斜率為2，設(shè)直線BF的解析式為y＝2x+n，把B（2，0）代入得2×2+n＝0，∴n＝﹣4，∴直線BF的解析式為y＝2x﹣4，解得或，∴F（6，8）；②當(dāng)F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)BE的平行線y＝﹣x+b與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，∴﹣x+b＝x2﹣1，整理得x2+2x﹣4b﹣4＝0，∴△＝4+4（4b+4）＝0，解得b＝﹣，∴平行線為y＝﹣﹣，∴x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，∴y＝﹣，∴平行線與拋物線的交點(diǎn)P為（﹣1，﹣），∵B（2，0），E（﹣4，3），∴BE＝＝3，∴BE的中點(diǎn)Q為（﹣1，），∴QP＝+＝＜＝BE，∴此種情況不存在，③當(dāng)E點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2，設(shè)點(diǎn)F（n，n2﹣1），而點(diǎn)E（﹣4，3），B（2，0），過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)N，交過(guò)點(diǎn)F與x軸的平行線于點(diǎn)M，則∠EBN＝∠MEF，則tan∠EBN＝tan∠MEF，即，∴，解得：n＝﹣4（舍去）或12，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（12，35）；故在拋物線上存在點(diǎn)F，使得△BEF是直角三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，8）或（12，35）．14．如圖①，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于O、A兩點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與y軸交于B點(diǎn)，與該拋物線交于A，D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)D橫坐標(biāo)為﹣1．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖①，在線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)H（不與O、A重合），過(guò)H作x軸的垂線分別交AB于P點(diǎn)，交拋物線于Q點(diǎn)，若x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，請(qǐng)求出H點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，在拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）解：y＝﹣x+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴B（0，3），把x＝﹣1代入y＝﹣x+3得：y＝4，∴D（﹣1，4），當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x+3，∴x＝3，∴A（3，0），∵拋物線過(guò)A（3，0），O（0，0），把D（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c＝a（x﹣0）（x﹣3）得：4＝a（﹣1﹣0）（﹣1﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣0）（x﹣3），即拋物線的解析式是y＝x2﹣3x．（2）解：設(shè)H（x，0），則P（x，﹣x+3），Q（x，x2﹣3x），∴PH＝﹣x+3，QH＝3x﹣x2，∵x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，∴＝或＝2，即＝或＝2，解得：x1＝2，x2＝3（舍去），x3＝3（舍去），x4＝，∴H點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）或（，0）．（3）解：分為三種情況：①若∠BAC＝90°，設(shè)C（x，x2﹣3x），∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°，∴∠OAC＝45°，∴tan∠OAC＝1，∴＝1，解得：x1＝1，x2＝3（舍去），∴C（1，﹣2）；②若∠ABC＝90°時(shí)，∵∠OBA＝45°，∴∠OBC＝45°，設(shè)直線BC交于x軸于E，其解析式是y＝kx+3，∴OE＝OB＝3，∴E（﹣3，0），代入得：0＝﹣3k+3，∴k＝1，∴y＝x+3，解方程組得：，，∴C（2+，5+）或（2﹣，5﹣）；③若∠ACB＝90°時(shí)，設(shè)C（n，k），AC2+BC2＝AB2，即（n﹣3）2+k2+n2+（k﹣3）2＝18，n2﹣3n+k2﹣3k＝0，∵k＝n2﹣3n，代入求出k1＝0，k2＝2，∴n2﹣3n＝0，n2﹣3n＝2，解得：n1＝0，n2＝3（舍去），n3＝，n4＝，∴C（0，0）或（，2）或（，2），綜合上述：存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣2）或（2+，5+）或（2﹣，5﹣）或（0，0）或（，2）或（，2）．15．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA＝OC＝3，頂點(diǎn)為D．（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2））在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作直線l∥y軸，交AC與點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為多少時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最大？最大是多少？（3）在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)K，在拋物線上有一點(diǎn)L，若使A，B，K，L為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出K，L點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴將其分別代入拋物線解析式，得，解得．故此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3；（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，設(shè)N的坐標(biāo)為（n，n2+2n﹣3），則M（n，﹣n﹣3），∴MN＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n2﹣3n＝﹣（n+）2+，把n＝﹣代入拋物線得，N的坐標(biāo)為（﹣，﹣），當(dāng)N的坐標(biāo)為（﹣，﹣），MN有最大值；（3）①當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，∴KL必過(guò)（﹣1，0），∴L必在拋物線上的頂點(diǎn)D處，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴L（﹣1，﹣4），K（﹣1，4）②當(dāng)以AB為邊時(shí)，AB＝KL＝4，∵K在對(duì)稱軸上x(chóng)＝﹣1，∴L的橫坐標(biāo)為3或﹣5，代入拋物線得L（﹣5，12）或L（3，12），此時(shí)K都為（﹣1，12），綜上，K（﹣1，4），L（﹣1，﹣4）或K（﹣1，12），L（﹣5，12）或K（﹣1，12），L（3，12）；（4）存在，∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），∴AD2＝（﹣3+1）2+（0+4）2＝20，設(shè)E（0，m），則AE2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣m）2＝9+m2，DE2＝（﹣1﹣0）2+（﹣4﹣m）2＝17+m2+8m，①AE為斜邊，由AE2＝AD2+DE2得：9+m2＝20+17+m2+8m，解得：m＝，②DE為斜邊，由DE2＝AD2+AE2得：9+m2+20＝17+m2+8m，解得：m＝，③AD為斜邊，由AD2＝ED2+AE2得：20＝17+m2+8m+9+m2，解得：m＝﹣1或﹣3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．16．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，請(qǐng)問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），∴，解得：．∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，如圖1，∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其對(duì)稱軸為，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，a），∴C（0，3），M（﹣1，0），PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，分類討論：（1）當(dāng)PC＝PM時(shí)，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（﹣1，）；（2）當(dāng)MC＝MP時(shí)，（﹣1）2+32＝a2，解得，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：或；（3）當(dāng)CM＝CP時(shí)，（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4（﹣1，6）．綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或或P（﹣1，6）或．（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如圖2，點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q．設(shè)直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+t（k≠0）．將點(diǎn)A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，解得，所以，直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+1．將x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．17．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C（3，1），二次函數(shù)y＝x2+bx﹣的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．（1）求二次函數(shù)的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)B落在拋物線上時(shí)，求△ABC掃過(guò)區(qū)域的面積；（3）在拋物線上是否存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵點(diǎn)C（3，1）在二次函數(shù)的圖象上，∴x2+bx﹣＝1，解得：b＝﹣，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣x+﹣）﹣＝（x﹣）2﹣（2）作CK⊥x軸，垂足為K．∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝AC．又∵∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠CAK＝90°．又∵∠CAK+∠ACK＝90°，∴∠BAO＝∠ACK．在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，∴△BAO≌△ACK．∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．∴A（1，0），B（0，2）．∴當(dāng)點(diǎn)B平移到點(diǎn)D時(shí)，D（m，2），則2＝m2﹣m﹣，解得m＝﹣3（舍去）或m＝．∴AB＝＝．∴△ABC掃過(guò)區(qū)域的面積＝S四邊形ABDE+S△DEH＝×2+××＝9.5（3）當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸，垂足為G．∵△APB為等腰直角三角形，∴PB＝AB，∠PBA＝90°．∴∠PBG+∠BAO＝90°．又∵∠PBG+∠BPG＝90°，∴∠BAO＝∠BPG．在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，∴△BPG≌△ABO．∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，∴P（﹣2，1）．當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y≠1，∴點(diǎn)P（﹣2，1）不在拋物線上．當(dāng)∠PAB＝90°，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F．同理可知：△PAF≌△ABO，∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，∴P（﹣1，﹣1）．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1，∴點(diǎn)P（﹣1，﹣1）在拋物線上．18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)M在拋物線上，且∠NBM＝45°，直接寫(xiě)出點(diǎn)M坐標(biāo)；（4）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）將點(diǎn)A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，得a+b+4＝0，∵對(duì)稱軸為直線x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣5a，∴a﹣5a+4＝0，∴a＝1，∴b＝﹣5，∴y＝x2﹣5x+4；（2）令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），令y＝0，則x2﹣5x+4＝0，∴x＝4或x＝1，∴A（1，0），B（4，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，∴，∴，∴y＝﹣x+4，設(shè)P（t，﹣t+4），則Q（t，t2﹣5t+4），∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最大，∴P（2，2），Q（2，﹣2），∴PQ＝4，OQ＝2，∵CO＝4，∴四邊形OCPQ是平行四邊形；（3）∵OB＝OC＝4，∴∠CBO＝45°，∵∠NBM＝45°，∴∠OBM＝∠CBN，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F，∵N（0，2），C（0，4），∴CN＝2，∴NF＝CF＝，∵B（4，0），∴OB＝4，∴NB＝2，∴BF＝3，∴tan∠CBN＝，∴tan∠OBG＝＝＝，∴OG＝，∴G（0，﹣），設(shè)直線OM的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，聯(lián)立方程組，解得x＝4（舍）或x＝，∴M（，﹣）；過(guò)B點(diǎn)作BK⊥BG交y軸于點(diǎn)K，此時(shí)∠NBK＝45°，∴∠OKB＝∠OBG，∵tan∠OBG＝＝＝＝，∴OK＝12，∴K（0，12），設(shè)直線KB的解析式為y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣3x+12，聯(lián)立方程組，解得x＝4（舍）或x＝﹣2，∴M（﹣2，18）；綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，18）或（，﹣）；（4）存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形，理由如下：過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥y軸交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作y軸的垂線ME，∵QM∥y軸，∴∠ODQ＝∠MQD，∵∠DQE＝2∠ODQ，∴∠MQE＝∠ODQ，∵C（0，4），D是OC的中點(diǎn)，∴D（0，2），∵Q（2，﹣2），∴tan∠ODQ＝＝，∴＝，設(shè)E（m，m2﹣5m+4），∴＝，解得m＝2（舍）或m＝5，∴E（5，4），∴BE＝，設(shè)F（0，y），①當(dāng)BF＝BE時(shí)，＝，∴y＝±1，∴F（0，1）或（0，﹣1）；②當(dāng)EF＝BE時(shí)，＝，此時(shí)y無(wú)解；③當(dāng)BF＝EF時(shí)，BE的中點(diǎn)T（，2），∴BF＝＝，∴y＝，∴F（0，），綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．19．如圖，已知直線y＝3x﹣3分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使△ABP的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)和P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：（1）在y＝3x﹣3中，令y＝0求得x＝1，令x＝0可得y＝﹣3，∴A（1，0），B（0，﹣3），把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴拋物線解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，∵A、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且A（1，0），∴MA＝MC，C（﹣3，0），∴MB+MA＝MB+MC，∴當(dāng)B、M、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)MB+MC最小，此時(shí)△ABM的周長(zhǎng)最小，∴連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則M即為滿足條件的點(diǎn)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，∵直線BC過(guò)點(diǎn)B（0，﹣3），C（﹣3，0），∴，解得：，∴直線BC的解析式y(tǒng)＝﹣x﹣3，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2，∴M（﹣1，﹣2），∴存在點(diǎn)M使△ABM周長(zhǎng)最短，其坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），最短周長(zhǎng)為+＝3+；（3）存在，理由如下：拋物線的對(duì)稱軸為：x＝﹣1，假設(shè)存在M（﹣1，m）滿足題意：討論：①當(dāng)MA＝AB時(shí)，∵OA＝1，OB＝3，∴AB＝，＝，解得：m＝±，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②當(dāng)MB＝BA時(shí)，＝，解得：M3＝0，M4＝﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（舍棄），③當(dāng)MB＝MA時(shí)，＝，解得：m＝﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4個(gè)點(diǎn)M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M5（﹣1，﹣1）使△ABM為等腰三角形．20．如圖，已知直線y＝3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（3）在拋物線上求一點(diǎn)Q，使得△ACQ為以AC為底邊的等腰三角形，并寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）除（3）中所求的Q點(diǎn)外，在拋物線上是否還存在其它的點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出一共有幾個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q（要求簡(jiǎn)要說(shuō)明理由，但不證明）；若不存在這樣的點(diǎn)Q，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）令x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．令y＝0得：3x+3＝0，解得x＝﹣1，∴A（﹣1，0）．設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）拋物線的對(duì)稱軸方程為x＝﹣＝1．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，a）．當(dāng)AB＝AP時(shí)，＝，整理得：10＝4+a2，解得a＝±∴P（1，）或（1，﹣）．當(dāng)BA＝BP時(shí)，＝，整理得：10＝1+（3﹣a）2，解得：a＝0或a＝6（舍去），∴P（1，0）．當(dāng)AP＝BP時(shí)，＝，整理得：6a＝6，解得a＝1，∴P（1，1）．綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，）或（1，﹣）或P（1，0）或P（1，1）．（3）當(dāng)點(diǎn)Q在AC的垂直平分線上時(shí)，則QA＝QC．由拋物線的對(duì)稱性可知：此時(shí)點(diǎn)Q為拋物線的頂點(diǎn)．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴Q（1，4）．（4）當(dāng)QA＝QC時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q．如圖所示：以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作⊙A，⊙A交拋物線于Q1、Q2、Q3，以C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作⊙C，交拋物線于點(diǎn)Q4、Q5、Q6．由圓的性質(zhì)可知：△ACQ1、△ACQ2、△ACQ3、△ACQ4、△ACQ