《29.2 反比例函數(shù)與實際問題》講義

《29.2反比例函數(shù)與實際問題》講義同學(xué)們，咱們現(xiàn)在已經(jīng)到了九年級上冊的第二十九章，今天要重點講講29.2節(jié)反比例函數(shù)與實際問題。這反比例函數(shù)啊，就像一個調(diào)皮的小精靈，在很多實際情況里都能發(fā)現(xiàn)它的身影呢。咱們先來說說什么是反比例函數(shù)。簡單來說，如果兩個變量x和y之間的關(guān)系可以表示成y＝k/x（這里的k是一個常數(shù)，k不等于0哦），那這就是反比例函數(shù)。比如說，你去買糖果，假如你帶的錢數(shù)是固定的，設(shè)為k元，糖果的單價為x元，那你能買到的糖果數(shù)量y就和單價x成反比例關(guān)系，就可以寫成y＝k/x的形式。這就好比你有10元錢（k＝10），糖果單價是2元（x＝2）時，能買5個（y＝5）；要是單價變成5元，就只能買2個了。一、反比例函數(shù)在工程問題中的應(yīng)用咱先講個事兒啊。我有個朋友是搞工程的，他們要修一條路。原計劃呢，每天安排10個工人干活，30天就能完工。這里面就有反比例關(guān)系哦。設(shè)工人的工作效率是一定的，工人數(shù)量x和工作天數(shù)y就成反比例。咱們可以把總的工作量看成一個常數(shù)k，根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)系y＝k/x，這里k＝10×30＝300（這就是總的工作量，就像你買糖果總共的錢數(shù)一樣）。那如果有一天，有幾個工人請假了，只剩下5個工人干活，那需要多少天才能完工呢？咱們就可以把x＝5代入到y(tǒng)＝k/x中，也就是y＝300/5＝60天。你看，工人越少，需要的工作天數(shù)就越多，這就是反比例函數(shù)在工程問題中的體現(xiàn)。在工程問題里，經(jīng)常會遇到這樣的情況。比如說蓋房子、建橋梁，只要工作總量是固定的，參與工作的人數(shù)或者設(shè)備數(shù)量和工作時間就成反比例關(guān)系。這里面的重點就是要找到那個不變的總量k，難點呢，就是準確判斷哪些量是成反比例關(guān)系的。有時候，題目里會給出很多干擾信息，你得擦亮眼睛，把真正有用的信息挑出來。二、反比例函數(shù)在行程問題中的應(yīng)用再給你們講個我自己的觀察。我開車出去旅行的時候，發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象。假如我要去的地方距離是固定的，設(shè)為s千米，我的車速為v千米/小時，那我在路上花費的時間t就和車速v成反比例關(guān)系，也就是t＝s/v。這就像反比例函數(shù)y＝k/x一樣，這里s就相當于k。比如說，我要去一個距離我200千米（s＝200）的地方。如果我以50千米/小時（v＝50）的速度行駛，那根據(jù)公式t＝200/50＝4小時就能到達。但要是我想快點到，把速度提高到80千米/小時，那花費的時間t＝200/80＝2.5小時。速度越快，花費的時間就越少，這就是反比例關(guān)系。在行程問題里，像這樣的情況可多了。不管是汽車、火車還是飛機，只要路程是固定的，速度和時間就是反比例關(guān)系。這里的重點是要明確路程、速度和時間這三個量的關(guān)系，難點在于有時候題目里會涉及到往返路程、中途停車等復(fù)雜情況。比如說，我去的時候走了一條路，回來的時候走了另一條路，路程不一樣了，這時候你就得分別分析去程和回程的情況，不能亂用公式。三、反比例函數(shù)在面積問題中的應(yīng)用我還看到過這樣一個例子。有一塊長方形的土地，面積是100平方米（設(shè)為S）。設(shè)長方形的長為x米，寬為y米，那根據(jù)長方形的面積公式S＝xy，變形一下就是y＝S/x，這里的S是常數(shù)100，這就是一個反比例函數(shù)關(guān)系。假如長是10米（x＝10），那寬y＝100/10＝10米。要是長變成20米，寬就變成y＝100/20＝5米。長增加了，寬就減小了，它們成反比例關(guān)系。在面積問題中，不管是長方形、三角形還是其他圖形，只要面積是固定的，相關(guān)的邊長或者高之類的量如果滿足y＝k/x這種形式，那就是反比例關(guān)系。重點是要根據(jù)圖形的面積公式找到反比例關(guān)系，難點在于有些圖形的面積計算比較復(fù)雜，像梯形的面積涉及到上底、下底和高三個量，你得準確處理這些量之間的關(guān)系，才能正確運用反比例函數(shù)。四、反比例函數(shù)在物理問題中的應(yīng)用我再給你們講個物理方面的事兒。在電學(xué)里，有個公式是I＝U/R（這里的I是電流，U是電壓，R是電阻）。當電壓U保持不變的時候，電流I和電阻R就成反比例關(guān)系。就好比一個電路里，電壓固定為10伏特（U＝10），電阻是5歐姆（R＝5）的時候，根據(jù)公式電流I＝10/5＝2安培。要是電阻變成10歐姆，那電流I＝10/10＝1安培。電阻越大，電流就越小，這就是反比例函數(shù)在電學(xué)中的體現(xiàn)。在物理中還有很多這樣的例子。比如在氣體壓強和體積的關(guān)系中，當溫度不變時，壓強P和體積V成反比例關(guān)系（PV＝常數(shù)）。這里的重點是要理解物理概念和公式之間的聯(lián)系，難點在于不同物理量的單位要搞清楚，不能混淆。要是單位弄錯了，計算就全錯了。五、反比例函數(shù)在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用我有個親戚是做生意的，他給我講過一個事兒。他生產(chǎn)一種產(chǎn)品，成本和產(chǎn)量之間就有反比例關(guān)系。假設(shè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本是固定的，設(shè)為C元，產(chǎn)量為x件，每件產(chǎn)品的成本為y元，那y＝C/x。比如說，總成本是1000元（C＝1000），如果生產(chǎn)100件產(chǎn)品（x＝100），那每件產(chǎn)品的成本y＝1000/100＝10元。要是產(chǎn)量增加到200件，每件產(chǎn)品的成本就變成y＝1000/200＝5元。產(chǎn)量越高，每件產(chǎn)品的成本就越低，這就是反比例函數(shù)在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用。在經(jīng)濟問題里，像利潤、售價、成本這些量之間有時候也會有反比例關(guān)系。重點是要根據(jù)實際的經(jīng)濟關(guān)系建立反比例函數(shù)模型，難點在于市場因素很多，成本可能會受到原材料價格、勞動力成本等多種因素的影響，你得準確分析這些因素對反比例關(guān)系的影響。六、解決反比例函數(shù)與實際問題的步驟1、分析問題首先要仔細讀題，找出題目里的變量和不變量。就像我們前面講的各個例子一樣，在工程問題里不變量是工作總量，行程問題里不變量是路程，要先確定這個不變量，它就相當于反比例函數(shù)里的k。2、建立函數(shù)關(guān)系根據(jù)變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)表達式。比如在前面長方形土地的例子中，根據(jù)面積公式建立y＝S/x的關(guān)系。這一步要注意各個量的實際意義和單位，不能弄錯。3、代入求解把已知的變量值代入到反比例函數(shù)表達式中，求出未知的變量。像在工程問題里，知道了工人數(shù)量求工作天數(shù)，或者在行程問題里，知道了速度求時間，就是代入求解的過程。4、檢驗答案求出答案后，要檢驗一下這個答案是否符合實際情況。比如說在經(jīng)濟問題中，算出的成本不能是負數(shù)，在行程問題里，算出的時間也不能是負數(shù)或者不合理的數(shù)值。七、總結(jié)同學(xué)們，反比例函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用可廣泛了，不管是工程、行程、面積，還是物理、經(jīng)濟等方面都能看到它的影子。在解決這