《平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、運(yùn)算》參考課件

2.3.2～2.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、運(yùn)算1、平面向量的坐標(biāo)表示與平面向量基本定理的關(guān)系。2、平面向量的坐標(biāo)是如何定義的？3、平面向量的運(yùn)算有何特點(diǎn)？平面向量的正交分解

類似地，由平面向量的基本定理，對于平面上的任意向量，均可以分解為不共線的兩個向量和使得

在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要是情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。思考：

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系，每一個點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量，如何表示？

在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便。

我們把（x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作

a=(x，y),

其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，（x,y）叫做向量的坐標(biāo)ayjiO圖1xxiyj平面向量的坐標(biāo)表示（1，0）（0，1）（0，0）

a=xi+yjayjiO圖1xxiyjyxOyxjA（x,y）a如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定。設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標(biāo)（x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)。因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示。i例1如圖，用基底i，j分別表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標(biāo)。jyxOiaA1AA2bcd解：由圖3可知a=AA1+AA2=2i+3j,

∴a=(2,3)

同理，b=-2i+3j=(-2,3)

c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考：已知，你能得出，，的坐標(biāo)嗎？已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則

a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即

a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得

a-b=(x1-x2,y1-y2)這就是說，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。結(jié)論：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如圖，已知A(x1,y1),B(x2,y2),則

AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)yxOB(x2,y2)A(x1,y1)你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為的P點(diǎn)嗎？P已知a=(x,y)和實(shí)數(shù)λ，那么

λa=λ(x,y)

即

λa=(λx,λy)這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等用這個實(shí)數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。例4已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b，a－b，3a+4b例5已知平行四邊形ABCD的三個定點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)練習(xí)

平行四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)O,且知道AD=（3，7），AB=（-2，1），求OB坐標(biāo)。練習(xí)：下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，正確的有（）（1）e