《平面向量應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì)

21/212．5平面向量應(yīng)用舉例（廖俊宇）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)會用平面向量知識解決幾何問題、物理問題，體驗(yàn)向量在解決幾何問題、物理問題中的工具作用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．運(yùn)用向量的有關(guān)知識解決平面幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題．2．通過力的合成與分解、速度的合成與分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題的步驟，明了向量在物理中應(yīng)用的基本題型，進(jìn)一步加深對所學(xué)向量概念和運(yùn)算的認(rèn)識．（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何和物理問題．（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，將幾何問題或者物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題加以解決．二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）向量方法在幾何中的應(yīng)用：①證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0．②證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．③求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝＝．④求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|＝eq\r(x2＋y2)．（2）向量方法在物理中的應(yīng)用：①力、速度、加速度、位移都是向量．②力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減運(yùn)算，運(yùn)動的疊加亦用到向量的合成．③動量mν是數(shù)乘向量．④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．2．預(yù)習(xí)自測（1）在△ABC中，已知A(4，1)、B(7，5)、C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長是（）A．2eq\r(5)B．eq\f(5,2)eq\r(5) C．3eq\r(5) D．eq\f(7,2)eq\r(5)【知識點(diǎn)】平面向量的模長公式．【解題過程】BC中點(diǎn)為D，eq\o(AD,\s\up6(→))＝，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)eq\r(5)．【思路點(diǎn)撥】先求出向量eq\o(AD,\s\up6(→))的坐標(biāo)，再求出模長．【答案】B．（2）點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn)D．三條高的交點(diǎn)【知識點(diǎn)】向量的垂直關(guān)系，向量的減法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想．【解題過程】∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))．∴(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0．∴eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0．∴OB⊥AC．同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O為垂心．【思路點(diǎn)撥】將關(guān)系式eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，兩邊移到同側(cè)，利用向量減法運(yùn)算，得到eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，從而得到OB⊥AC．同理OA⊥BC，OC⊥AB．【答案】D．（3）用力F推動一物體水平運(yùn)動sm，設(shè)F與水平面的夾角為θ，則對物體所做的功為（）A．|F|·s B．Fcosθ·sC．Fsinθ·s D．|F|cosθ·s【知識點(diǎn)】向量的內(nèi)積，物理中功的定義．【解題過程】．【思路點(diǎn)撥】利用內(nèi)積公式可求得結(jié)果．【答案】D．（4）已知作用在點(diǎn)A的三個力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)且A(1，1)，則合力f＝f1＋f2＋f3的終點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．(9，1) B．(1，9) C．(9，0) D．(0，9)【知識點(diǎn)】向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算．【解題過程】f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，設(shè)合力f的終點(diǎn)為P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1)．【思路點(diǎn)撥】直接采用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【答案】A．(二)課堂設(shè)計(jì)1．知識回顧（1）平行四邊形法則：把這兩個向量置于同一起點(diǎn)上，以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形，從公共頂點(diǎn)出發(fā)的對角線所對應(yīng)的向量就表示這兩個向量的和，它適用于不共線的兩個向量求和．三角形法則：把兩個向量首尾相連，以第一個向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以第二個向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就表示兩個向量的和，它適用于任意兩個向量作和．（2）平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（3）a·b=|a||b|cosθ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·b=0．2．問題探究（1）水渠橫斷面是四邊形ABCD，，且，則這個四邊形為等腰梯形．類比幾何元素之間的關(guān)系，你會想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系?（2）兩個人提一個旅行包，夾角越大越費(fèi)力．為什么？教師：本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過程中的疑惑說出來．（設(shè)計(jì)意圖：步步導(dǎo)入，吸引學(xué)生的注意力，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)．）探究一：平面向量解決平面幾何中問題的優(yōu)越性①平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，如圖1，你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系嗎？圖1②你能利用所學(xué)知識證明你的猜想嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法？③你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？活動：①教師引導(dǎo)學(xué)生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系．利用類比的思想方法，猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系．指導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．②教師引導(dǎo)學(xué)生探究證明方法，并點(diǎn)撥學(xué)生對各種方法分析比較，平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形，在平面幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)生得到了它的許多性質(zhì)，有些性質(zhì)的得出比較麻煩，有些性質(zhì)的得出比較簡單．讓學(xué)生體會研究幾何可以采取不同的方法，這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法．證明：方法一：如圖2．圖2作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，則Rt△ADF≌Rt△BCE．∴AD＝BC，AF＝BE．由于AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BE2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BC2．BD2＝BF2＋DF2＝(AB－AF)2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AF2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AD2＝AB2－2AB·BE＋BC2．∴AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2)．方法二：如圖3．圖3以AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)B(a，0)，D(b，c)，則C(a＋b，c)．∴|AC|2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋2ab＋b2＋c2，|BD|2＝(a－b)2＋(－c)2＝a2－2ab＋b2＋c2．∴|AC|2＋|BD|2＝2a2＋2(b2＋c2)＝2(|AB|2＋|AD|2)．用向量方法推導(dǎo)了平行四邊形的兩條對角線與兩條鄰邊之間的關(guān)系．在用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時(shí)，常?？紤]用向量的數(shù)量積．通過以下推導(dǎo)學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，由于向量能夠運(yùn)算，因此它在解決某些幾何問題時(shí)具有優(yōu)越性，它把一個思辨過程變成了一個算法過程，學(xué)生可按一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問題的難度，同時(shí)也為計(jì)算機(jī)技術(shù)的運(yùn)用提供了方便．教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會向量帶來的優(yōu)越性．因?yàn)槠叫兴倪呅螌蔷€平行且相等，考慮到向量關(guān)系eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，教師可點(diǎn)撥學(xué)生設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，其他線段對應(yīng)向量用它們表示，涉及長度問題常常考慮向量的數(shù)量積，為此，我們計(jì)算|eq\o(AC,\s\up6(→))|2與|eq\o(DB,\s\up6(→))|2．因此有了方法三．方法三：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|a|2，|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝|b|2．∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝|a|2＋2a·b＋|b|2．①同理|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝|a|2－2a·b＋|b|2．②觀察①②兩式的特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，①＋②得|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2)，即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍．至此，為解決重點(diǎn)問題所作的鋪墊已經(jīng)完成，向前發(fā)展可以說水到渠成．教師充分讓學(xué)生對以上各種方法進(jìn)行分析比較，討論認(rèn)清向量方法的優(yōu)越性，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟．由于平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長度)、夾角問題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題．解決幾何問題時(shí)，先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素．然后通過向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積來研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系．最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論．這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”，即：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．探究二：平面幾何在物理中的應(yīng)用F2F1兩個人提一個旅行包，夾角越大越費(fèi)力．在單杠上做引體向上運(yùn)動，兩臂夾角越小越省力F2F1師：向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上就是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運(yùn)算解決向量問題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象．分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型．只要分析清楚F、G、θ三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力），就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋．解：不妨設(shè)|F1|=|F2|，由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=．通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)θ由逐漸變大時(shí)，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|由小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力．師：請同學(xué)們結(jié)合剛才這個問題，思考θ為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？答：θ=0時(shí)，|F1|最小，等于．探究三：應(yīng)用示例例1．如下圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到0.1min)？【知識點(diǎn)】向量的加法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合．【解題過程】(km/h)，所以，(min)．【思路點(diǎn)撥】如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時(shí)間最短．考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸．（用《幾何畫板》演示水流速度對船的實(shí)際航行的影響）本例關(guān)鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的船必須垂直于河岸行駛，這時(shí)船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸，分析清楚這種關(guān)系后，本例就容易解決了．【答案】行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是3.1min．例2．如圖4，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？圖4【知識點(diǎn)】平面向量在平面幾何中的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想，方程思想．【解題過程】如圖4，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AR,\s\up6(→))＝r，eq\o(AT,\s\up6(→))＝t，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b．由于eq\o(AR,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以我們設(shè)r＝n(a＋b)，n∈R．又因?yàn)閑q\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(ER,\s\up6(→))與eq\o(EB,\s\up6(→))共線，所以我們設(shè)eq\o(ER,\s\up6(→))＝meq\o(EB,\s\up6(→))＝m(a－eq\f(1,2)b)．因?yàn)閑q\o(AR,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ER,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(1,2)b＋m(a－eq\f(1,2)b)．因此n(a＋b)＝eq\f(1,2)b＋m(a－eq\f(1,2)b)，即(n－m)a＋(n＋eq\f(m－1,2))b＝0．由于向量a、b不共線，要使上式為0，必須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－m＝0，,n＋\f(m－1,2)＝0.))解得n＝m＝eq\f(1,3)．所以eq\o(AR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))．同理eq\o(TC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))．于是eq\o(RT,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))．所以AR＝RT＝TC．【思路點(diǎn)撥】為了培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想能力，讓學(xué)生能動態(tài)地發(fā)現(xiàn)圖形中AR、RT、TC之間的相等關(guān)系，教學(xué)中可以充分利用多媒體，作出上述圖形，測量AR、RT、TC的長度，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)AR＝RT＝TC，拖動平行四邊形的頂點(diǎn)，動態(tài)觀察發(fā)現(xiàn)，AR＝RT＝TC這個規(guī)律不變，因此猜想AR＝RT＝TC．事實(shí)上，由于R、T是對角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關(guān)系即可．又因?yàn)锳R、RT、TC、AC共線，所以只需判斷eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AR,\s\up6(→))，eq\o(AT,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))之間的關(guān)系即可．探究過程對照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”很容易地可得到結(jié)論．第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：AR＝RT＝TC．【答案】AR＝RT＝TC．例3．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求eq\f(BE,EC)的值．【知識點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算，在平面幾何中的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想．【解題過程】方法一：(基向量法)設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2．a(chǎn)·b＝|a||b|cos60°＝1，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋b．設(shè)eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λb，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝λb－a．由AE⊥BD，得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0．即(λb－a)·(a＋b)＝0．解得λ＝，∴．方法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，設(shè)B(0，0)，C(2，0)，A，D．又設(shè)E(m，0)，則，．由AE⊥BD，得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0．即，得m＝，∴．【思路點(diǎn)撥】利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)．這兩種思路都是通過向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明．【答案】eq\f(BE,EC)＝eq\f(2,3)．同類訓(xùn)練已知兩恒力F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(6，－5)，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20，15)移動到點(diǎn)B(7，0)．(1)求F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功；(2)求F1，F(xiàn)2的合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功．【知識點(diǎn)】平面幾何在物理做功問題中的應(yīng)用．【解題過程】(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F1，F(xiàn)2對質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為－99J和－3J．(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up6(→))＝[(3,4)+(6,-5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功為－102J．【思路點(diǎn)撥】物體在力F作用下的位移為s，則W＝F·s＝|F|·|s|cosθ．其中θ為F與s的夾角．【答案】（1）力F1，F(xiàn)2對質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為－99J和－3J．（2）合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功為－102J．3．課堂總結(jié)知識梳理（1）用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．（2）利用向量解決物理問題的基本步驟:①問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；④回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題．重難點(diǎn)歸納用向量知識解決平面幾何、物理問題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合．一般先要作出向量示意圖，必要時(shí)可建立直角坐標(biāo)系，再通過解三角形或坐標(biāo)運(yùn)算，求有關(guān)量的值．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．兩個大小相等的共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們夾角為90°時(shí)，合力大小為20N，則當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力大小為（）A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D．10eq\r(3)N【知識點(diǎn)】向量在力的合成中的應(yīng)用．【解題過程】|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10eq\r(2)，當(dāng)θ＝120°，由平行四邊形法則知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10eq\r(2)N．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形法則求解．【答案】B．2．共點(diǎn)力F1＝(lg2，lg2)，F(xiàn)2＝(lg5，lg2)作用在物體M上，產(chǎn)生位移s＝(2lg5，1)，則共點(diǎn)力對物體做的功W為（）A．lg2 B．lg5 C．1 D．2【知識點(diǎn)】向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量在物理做功問題中的應(yīng)用．【解題過程】F1＋F2＝(1，2lg2)．∴W＝(F1＋F2)·s＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2．【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算，先求合力，再利用功的公式求解．【答案】D．3．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【知識點(diǎn)】向量的運(yùn)算，向量在平面幾何中的應(yīng)用．【解題過程】∵|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴A，B，C是同一矩形的三個頂點(diǎn)，且∠BAC＝90°．∴△ABC是直角三角形．【思路點(diǎn)撥】利用向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化條件，并“翻譯”為幾何結(jié)論，判斷三角形形狀．【答案】B．4．已知點(diǎn)A(eq\r(3)，1)，B(0，0)，C(eq\r(3)，0)，設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，其中λ等于（）A．2 B．eq\f(1,2) C．－3 D．－eq\f(1,3)【知識點(diǎn)】平面向量共線．【解題過程】如圖所示，由題知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(|BC|,|CE|)＝3，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CE,\s\up6(→))．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合．【答案】C．5．如圖所示，兩根繩子把重1kg的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計(jì)，g＝10N/kg)．【知識點(diǎn)】力的合成分解，平面向量在物理中的應(yīng)用．【解題過程】設(shè)A、B所受的力分別為f1、f2，10N的重力用f表示，則f1＋f2＝f，以重力的作用點(diǎn)C為f1、f2、f的始點(diǎn)，作右圖，使eq\o(CE,\s\up6(→))＝f1，eq\o(CF,\s\up6(→))＝f2，eq\o(CG,\s\up6(→))＝f，則∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°．∴|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)．|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5．∴在A處受力為5eq\r(3)N，在B處受力為5N．【思路點(diǎn)撥】作出受力分析，結(jié)合向量的平行四邊形法則求解．【答案】在A處受力為5eq\r(3)N，在B處受力為5N．6．如圖所示，已知矩形ABCD，AC是對角線，E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作MN交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，試運(yùn)用向量知識證明AM＝CN．【知識點(diǎn)】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算．【解題過程】．又設(shè)M(x2，b)，N(x1，0)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x2，0)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝(x1－a，0)．∵eq\o(ME,\s\up6(→))∥eq\o(EN,\s\up6(→))，eq\o(ME,\s\up6(→))＝(eq\f(a,2)－x2，－eq\f(b,2))，eq\o(EN,\s\up6(→))＝(x1－eq\f(a,2)，－eq\f(b,2))，∴(eq\f(a,2)－x2)×(－eq\f(b,2))－(x1－eq\f(a,2))×(－eq\f(b,2))＝0．∴x2＝a－x1．∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\r(x\o\al(2,2))＝|x2|＝|a－x1|＝|x1－a|．而|eq\o(CN,\s\up6(→))|＝eq\r((x1－a)2)＝|x1－a|，∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(CN,\s\up6(→))|，即AM＝CN．【思路點(diǎn)撥】圖形非常規(guī)整，考慮先建系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，簡化運(yùn)算過程．【答案】略．能力型師生共研7．如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是________(寫出正確的所有序號)．①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷變小；③船的浮力不斷變?。虎艽母×Ρ３植蛔儯局R點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算，平面向量在物理中的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合．【解題過程】設(shè)水的阻力為f，繩的拉力為F，F(xiàn)與水平方向夾角為θ(0<θ<eq\f(π,2))．則|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝eq\f(|f|,cosθ)．∵θ增大，cosθ減小，∴|F|增大．∵|F|sinθ增大，∴船的浮力減?。舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)受力分析，求出繩的拉力為F和水的阻力為f之間的關(guān)系式，由此分析浮力的變化情況．【答案】①③．8．如圖，已知在等腰△ABC中，BB′、CC′是兩腰上的中線，且BB′⊥CC′，求頂角A的余弦值．【知識點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量在平面幾何中的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合．【解題過程】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，取A(0，a)，C(c，0)，則B(－c，0)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0，a)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(c，a)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(c，0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2c，0)．因?yàn)锽B′、CC′都是中線，所以eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(2c，0)＋(c，a)]＝(eq\f(3c,2)，eq\f(a,2))，同理eq\o(CC′,\s\up6(→))＝(－eq\f(3c,2)，eq\f(a,2))．因?yàn)锽B′⊥CC′，所以－eq\f(9,4)c2＋eq\f(a2,4)＝0，a2＝9c2．所以cosA＝＝eq\f(a2－c2,a2＋c2)＝eq\f(9c2－c2,9c2＋c2)＝eq\f(4,5)．【思路點(diǎn)撥】考慮利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，能很方便建立平面直角坐標(biāo)系，且圖形中的各個點(diǎn)的坐標(biāo)也容易寫出，然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算快捷地解決問題．【答案】eq\f(4,5)．探究型多維突破9．已知P是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，PFCE為矩形．求證：PA＝EF且PA⊥EF．【知識點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量在平面幾何中的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合．【解題過程】證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy(如圖所示)，設(shè)正方形邊長為1，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝λ，則A(0，1)，P，E，F(xiàn)，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝，eq\o(EF,\s\up6(→))＝．∵|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝＝eq\r(λ2－\r(2)λ＋1)，同理|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(λ2－\r(2)λ＋1)，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，∴PA＝EF．eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝＋＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))．∴PA⊥EF．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，先作圖．分析可知，能很方便建立平面直角坐標(biāo)系，且圖形中的各個點(diǎn)的坐標(biāo)也容易寫出，然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證得結(jié)論．【答案】略．10．如圖，在Rt△ABC中，已知BC＝a．若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問：eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角θ取何值時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))的值最大？并求出這個最大值．【知識點(diǎn)】向量的運(yùn)算，向量在平面幾何中的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合．【解題過程】方法一：∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AQ,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a2－eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝－a2＋eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－a2＋eq\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a2＋a2cosθ．當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的方向相同時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))最大，其最大值為0．方法二：如下圖，以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)|AB|＝c，|AC|＝b，則A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則Q(－x，－y)．∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－c，y)，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(－x，－y－b)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－c，b)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)．∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by．∵＝＝eq\f(cx－by,a2)，∴－by＝a2cosθ．∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝－a2＋a2cosθ．當(dāng)＝1，即θ＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的方向相同時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))最大，其最大值為0．【思路點(diǎn)撥】利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)．這兩種思路都是通過向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明．【答案】當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的方向相同時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))最大，其最大值為0．自助餐1．如圖，非零向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b且BC⊥OA，C為垂足，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa，則λ等于（）A．eq\f(a·b,|a|2) B．eq\f(a·b,|a||b|)C．eq\f(a·b,|b|2) D．eq\f(|a||b|,a·b)【知識點(diǎn)】向量的運(yùn)算，向量在平面幾何中的應(yīng)用．【解題過程】eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λa－b．∵BC⊥OA，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝(λa－b)·a＝0，即λa2－a·b＝0．∴λ＝eq\f(a·b,|a|2)．【思路點(diǎn)撥】由BC⊥OA，得到eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝(λa－b)·a＝0，然后轉(zhuǎn)化求解λ．【答案】A．2．已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝5．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝______．【知識點(diǎn)】向量的運(yùn)算，向量在平面幾何中的應(yīng)用．【解題過程】△ABC中，B＝90°，cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(4,5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\