《三角恒等變換》章末復(fù)習課

I卷（選擇題，共60分）一．選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．cos215°－sin215°的值是（）A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)【知識點】二倍角的余弦值．【解題過程】cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．【思路點撥】熟悉二倍角的余弦公式及其逆用．【答案】C．2．已知則（）A． B． C． D．【知識點】兩角和的正切公式．【解題過程】由已知得．【思路點撥】明確兩角和的正切公式．【答案】B．若sin2α＝eq\f(1,4)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則cosα－sinα的值是（）A．eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)【知識點】(cosα－sinα)2＝1－sin2α 【解題過程】(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)．又∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，故cosα－sinα＝－eq\r(\f(3,4))＝－eq\f(\r(3),2)．【思路點撥】觀察所求式子和已知式子并找到兩者的關(guān)系，建立方程求解，同時要考慮結(jié)果的符號．【答案】B．函數(shù)的最小正周期是（）A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．πD．2π【知識點】三角恒等變換，三角函數(shù)的周期．【數(shù)學(xué)思想】計算能力【解題過程】∵，又∵，∴函數(shù)的最小正周期是．【思路點撥】先利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再求周期．【答案】C．5．tan19°＋tan41°＋eq\r(3)tan19°tan41°的值為（）A．1B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)【知識點】兩角和的正切值得應(yīng)用．【解題過程】∵tan19°＋tan41°＝tan60°(1－tan19°tan41°)＝eq\r(3)－eq\r(3)tan19°tan41°，∴原式＝eq\r(3)－eq\r(3)tan19°tan41°＋eq\r(3)tan19°＋tan41°＝eq\r(3)．【思路點撥】掌握兩角和差正切公式的變形應(yīng)用．【答案】D．6．已知tanθ＝eq\f(1,3)，則cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ等于（）A．－eq\f(6,5)B．－eq\f(4,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(6,5)【知識點】利用三角恒等變換化簡求值．【解題過程】原式＝eq\f(cos2θ＋sinθcosθ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(6,5)．【思路點撥】cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝eq\f(cos2θ＋sinθcosθ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1＋tan2θ)再帶值．【答案】D．7．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，則△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【知識點】二倍角正弦的應(yīng)用．【解題過程】∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝eq\f(π,2)．【思路點撥】利用二倍角的余弦值化簡方程，再確定角的關(guān)系進而得到三角形的特征.【答案】D．8．要得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向左平移個單位【知識點】三角恒等變換，三角函數(shù)圖像的平移.【解題過程】∵，∴將函數(shù)的圖像向左平移個單位可以得到函數(shù)的圖像．【思路點撥】利用三角恒等變換將函數(shù)變形成的形式，再利用函數(shù)圖像平移解題．【答案】D．9．的值為（）A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．4【知識點】三角恒等變換．【解題過程】原式＝．【思路點撥】觀察式子形式并利用三角恒等變換合理變形，進而化簡求值．【答案】C．10．若,則等于（）A．B．C．D．【知識點】二倍角公式，互余角的正弦和余弦的關(guān)系．【解題過程】【思路點撥】先找兩角的關(guān)系，再利用三角恒等變換化簡求值．【答案】A．已知θ為第二象限角，sin(π－θ)＝eq\f(24,25)，則coseq\f(θ,2)的值為（）A．eq\f(3,35)B．eq\f(4,5)C．±eq\f(3,5)D．±eq\f(4,5)【知識點】半角公式．【解題過程】由sin(π－θ)＝eq\f(24,25)，得sinθ＝eq\f(24,25)．∵θ為第二象限的角，∴cosθ＝－eq\f(7,25)．∴coseq\f(θ,2)＝±eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝±eq\r(\f(1－\f(7,25),2))＝±eq\f(3,5)．【思路點撥】先利用誘導(dǎo)公式化簡sin(π－θ)，再根據(jù)半角公式求值．【答案】C．12．若α，β為銳角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，則cosα的值為（）A．eq\f(56,65)B．eq\f(16,65)C.eq\f(56,65)或eq\f(16,65) D．以上都不對【知識點】兩角差的余弦值，三角函數(shù)給值求值.【數(shù)學(xué)思想】整體構(gòu)造的思想．【解題過程】∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)>0，∴0<α＋β<eq\f(π,2)，sin(α＋β)＝eq\f(5,13)．∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)>0，∴0<2α＋β<eq\f(π,2)，sin(2α＋β)＝eq\f(4,5)．∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65)．【思路點撥】觀察角的關(guān)系，用已知兩角構(gòu)造所求角，再利用兩角差的余弦值表示并求解，注意要準確判斷角的范圍進而確定結(jié)果的符號．【答案】A．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在題中橫線上）13．已知cosθ＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)，則cos(eq\f(π,2)＋2θ)的值為___________．【知識點】誘導(dǎo)公式，二倍角公式．【解題過程】∵sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2\r(2),3)，∴cos(eq\f(π,2)＋2θ)＝－sin2θ＝－2sinθ·cosθ＝－eq\f(4\r(2),9)．【思路點撥】先利用誘導(dǎo)公式化簡，再用二倍角公式變形求值.【答案】－eq\f(4\r(2),9)．14．eq\f(sin(α＋30°)＋cos(α＋60°),2cosα)＝___________．【知識點】兩角和的正余弦，特殊角的三角函數(shù)值．【數(shù)學(xué)思想】計算能力【解題過程】∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，∴原式＝eq\f(cosα,2cosα)＝eq\f(1,2)．【思路點撥】利用兩角和的正弦和余弦將分子進行運算化簡，進而達到整體化簡求值的目的．【答案】eq\f(1,2)．15．若eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2012，則eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝___________．【數(shù)學(xué)思想】三角恒等變換，給值求值．【解題過程】eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝eq\f(1＋sin2α,cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1＋2tanα,1－tan2α)＝eq\f((tanα＋1)2,1－tan2α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2012．【思路點撥】將所求式子通分，再利用二倍角公式變形，將所求式子構(gòu)造成用已知式子表示的形式，從而達到求值的目的．【答案】2012．16．函數(shù)y＝cos2xcoseq\f(π,5)－2sinxcosxsineq\f(6π,5)的遞增區(qū)間是__________________．【知識點】三角恒等變換，三角函數(shù)的單調(diào)性．【數(shù)學(xué)思想】化歸的思想．【解題過程】y＝cos2xcoseq\f(π,5)－2sinxcosxsineq\f(6π,5)＝cos2xcoseq\f(π,5)＋sin2xsineq\f(π,5)＝cos(2x－eq\f(π,5))，由－π＋2kπ≤2x－eq\f(π,5)≤2kπ，得x∈[－eq\f(2π,5)＋kπ，eq\f(π,10)＋kπ]（k∈Z）即為單調(diào)遞增區(qū)間．【思路點撥】先利用三角恒等變換將函數(shù)變形成的形式，再確定三角函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】[－eq\f(2π,5)＋kπ，eq\f(π,10)＋kπ]（k∈Z）．三．解答題（本大題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，其中0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π．求：（1）tan(α－β)；（2）α＋β的值．【知識點】兩角和與差的正切值【解題過程】（1）∵tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2＋\f(1,3),1－\f(2,3))＝7．（2）∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，且0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2)．∴α＋β＝eq\f(5π,4)．【思路點撥】（1）利用兩角差的正切值求tan(α－β)；（2）利用兩角和的正切值求tan(α＋β)，注意要確定α＋β的范圍，進而確定α＋β的值．【答案】（1）7；（2）eq\f(5π,4)．18．（12分）已知α、β為銳角，cosα＝eq\f(4,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，求cosβ的值．【知識點】兩角差的余弦值．【數(shù)學(xué)思想】整體構(gòu)造的思想．【解題過程】∵α是銳角，cosα＝eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(3,4)．∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tan(α－β),1＋tanαtan(α－β))＝eq\f(13,9)．∵β是銳角，故cosβ＝eq\f(9\r(10),50)．【思路點撥】觀察已知角和所求角的關(guān)系，用已知角構(gòu)造所求角，并將所求的式子變形，注意相關(guān)角的三角函數(shù)值需要根據(jù)角的范圍定符號．【答案】cosβ＝eq\f(9\r(10),50)．19．（12分）已知銳角α，β滿足tan(α－β)＝sin2β，求證：2tan2β＝tanα＋tanβ．【知識點】兩角差的正切公式，二倍角的正弦和正切公式．【解題過程】證明：∵tan(α－β)＝sin2β，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，sin2β＝2sinβcosβ＝eq\f(2sinβcosβ,sin2β＋cos2β)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β)，∴eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β)，整理得：tanα＝eq\f(3tanβ＋tan3β,1－tan2β)．∴tanα＋tanβ＝eq\f(3tanβ＋tan3β＋tanβ－tan3β,1－tan2β)＝eq\f(2×2tanβ,1－tan2β)＝2tan2β．【思路點撥】將式子中可化簡的兩角差的正切、二倍角的正弦和正切利用公式變形，再將等式進行等價變形，從而達到證明的目的．【答案】見解題過程．20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當時，求的最大值，并求此時對應(yīng)的的值.【知識點】三角恒等變形，三角函數(shù)的周期、單調(diào)性和最值．【數(shù)學(xué)思想】計算能力【解題過程】（1）∵，∴周期,因為，所以，當],即時函數(shù)單調(diào)遞減；∴的單調(diào)遞減區(qū)間為：．∵當，．∴當時，取最大值1．【思路點撥】（1）化簡函數(shù)解析式可得，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先求的范圍，可得的取值范圍，即可求的最大值，并求出此時對應(yīng)的的值．【答案】（1），遞減區(qū)間為；（2）當時，函數(shù)的最大值為1．21．（12分）已知函數(shù)f(x)＝2asineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋sin2eq\f(x,2)－cos2eq\f(x,2)（a∈R）．（1）當a＝1時，求函數(shù)f(x)的最小正周期及圖象的對稱軸；（2）當a＝2時，在f(x)＝0的條件下，求eq\f(cos2x,1＋sin2x)的值．【知識點】三角恒等變形，二倍角公式，三角函數(shù)的周期、對稱軸，給值求值．【解題過程】f(x)＝asinx－cosx