甘肅省蘭州市蘭州第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

甘肅省蘭州市蘭州第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若曲線(xiàn)：表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．若直線(xiàn)與平行，則與間的距離為（

）A． B．C． D．3．阿基米德(公元前年—公元前年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“通近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．4．等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前項(xiàng)和等于（

）A．160 B．180 C．200 D．2205．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．6．已知圓的半徑為，且，過(guò)點(diǎn)的2023條弦的長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，則其公差為（

）A． B． C． D．7．設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：和上的點(diǎn)，則的最小值和最大值分別為（

）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，128．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為是橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足.則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為10B．面積的最大值為C．的最小值為1D．橢圓的離心率為10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到原點(diǎn)與的距離之比為2，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為，直線(xiàn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的方程為B．直線(xiàn)被截得的弦長(zhǎng)為C．動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍為D．上存在三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為11．圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（）A．公共弦AB所在直線(xiàn)的方程為B．線(xiàn)段AB中垂線(xiàn)方程為C．公共弦AB的長(zhǎng)為D．P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線(xiàn)AB距離的最大值為12．設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列三、填空題13．一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為．14．定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為1，那么這個(gè)數(shù)列的前2023項(xiàng)和.15．已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交該橢圓于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓面積為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則的面積，的值為.四、解答題17．已知橢圓的離心率，求的值及橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)?焦點(diǎn)坐標(biāo).18．圓心在直線(xiàn)上的圓C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與直線(xiàn)相切(1)求圓C的方程；(2)圓C被直線(xiàn)分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段弧，求直線(xiàn)l的方程.19．在數(shù)列中，.(1)求的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．如圖，已知圓及點(diǎn).(1)若點(diǎn)在圓上，求直線(xiàn)與圓的相交弦的長(zhǎng)度；(2)若是直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，當(dāng)切線(xiàn)長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最小值.21．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于點(diǎn).證明：以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).22．已知數(shù)列{an}與{bn}滿(mǎn)足：，若{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝b2＋4.（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn＝(n∈N*)，Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，證明：Tn＜1.參考答案：1．B2．B3．A4．B5．A6．B7．C8．D9．ABD10．BD11．ABD12．CD13．14．101015．16．6317．，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.【詳解】因?yàn)?，橢圓的焦點(diǎn)在軸上且，又因?yàn)?，可得，解得，所以橢圓方程為，可得，則所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為?焦點(diǎn)坐標(biāo)為.18．(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，解得，所以圓C的方程為；（2）設(shè)直線(xiàn)與圓C交于B?D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)閳AC被直線(xiàn)分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段弧，所以，則，即圓心C到直線(xiàn)l的距離為，且，因?yàn)橹本€(xiàn)l的方程為，所以，化簡(jiǎn)解得或，故所求直線(xiàn)l的方程為或.19．(1)a2=13,a3=33;(2)存在，-1.【詳解】（1）由題意，，，.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)，則，所以.此時(shí)，，而，則是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，即存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差是1的等差數(shù)列.20．(1)(2)，【詳解】（1）易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，半徑.將點(diǎn)代入圓的方程，得，所以，故直線(xiàn)的斜率.因此直線(xiàn)的方程為，即，所以圓心到直線(xiàn)的距離，所以.（2）因?yàn)椋援?dāng)最小時(shí)，最小，又當(dāng)與直線(xiàn)垂直時(shí)，最小，所以，所以.由題易得過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，得，所以.21．(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意知，，得，又離心率，，則橢圓的方程為.（2）由（1）得，

設(shè)，則，即.則直線(xiàn)，直線(xiàn)，將代入上述直線(xiàn)方程，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即，令橢圓的右焦點(diǎn)為，則，則所以，即，所以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).22．（1），bn＝2n－1(n∈N*)；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題意知，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn，①當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2bn－1，②①－②可