2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題09利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題09利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有：①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.2、含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).3、函數(shù)零點(diǎn)的存在性（1）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得.①若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè)②若，那么在不一定有零點(diǎn)③若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào)(3)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一.二、典型題型1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)．(1)討論在區(qū)間上單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（），(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若恒成立，求函數(shù)的零點(diǎn)的取值范圍．3．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)，，．(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)若對(duì)任意的，，使得成立，求a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求a的最小值．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，討論曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（23-24高三下·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（23-24高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，，求證：當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).6．（23-24高三下·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).專題09利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有：①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.2、含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).3、函數(shù)零點(diǎn)的存在性（1）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得.①若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè)②若，那么在不一定有零點(diǎn)③若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào)(3)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一.二、典型題型1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)．(1)討論在區(qū)間上單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分區(qū)間討論即可；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值結(jié)合隱零點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）由，在時(shí)，，若，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；若，即在區(qū)間上單調(diào)遞減；若，令，令，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）根據(jù)題意可知恒成立，設(shè)，則，令，則定義域上單調(diào)遞增，易知，即，使得，即時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，所以，即2．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（），(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若恒成立，求函數(shù)的零點(diǎn)的取值范圍．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，進(jìn)而求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）由（1）的結(jié)論，按分段討論給定不等式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性建立不等式求解即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，而，由得，由得，因此函數(shù)在上遞減，在遞增，又當(dāng)時(shí)，恒成立，，因此函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.（2）由（1）知函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，且，①當(dāng)時(shí)，，由得：，即，設(shè)，求導(dǎo)得，在上單減，則，解得；②當(dāng)時(shí)，由得：，即，設(shè)，求導(dǎo)得，而，則，在上單增，則，解得，綜上得的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．3．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)，，．(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)若對(duì)任意的，，使得成立，求a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求a的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)1.【分析】（1）求出函數(shù)，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)即得.（2）求出函數(shù)在上的最小值，在上的最大值，再由給定恒成立建立不等式求解.（3）求出函數(shù)，由分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討值域即可得解.【詳解】（1）函數(shù)，則，由，求導(dǎo)得，所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是.（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，，，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是．又，則在上也是單調(diào)遞增，，由對(duì)任意的，，使成立，等價(jià)于，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的范圍是．（3）依題意，，由，得，令，，求導(dǎo)得，令，，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然，，則存在唯一的，使得，即，即，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，令，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，于是當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上遞減，值域?yàn)?，因此?dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)最大值，值域?yàn)?，函?shù)在的值域?yàn)?，要使在存在零點(diǎn)，則，所以a的最小值為1．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，①若，，總有成立，故；②若，，有成立，故；③若，，有成立，故；④若，，有，則的值域是值域的子集．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，討論曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)；(2)2．【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程，（2）求導(dǎo)，分類討論求解函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值求解.【詳解】（1）依題意，，故，而，故所求切線方程為，即．（2）令，故，令，，令，．①當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，即在上為減函數(shù)，又，在上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，即．在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．又，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，在內(nèi)恰有一零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，單調(diào)遞增，又，所以存在唯一，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．綜上所述，曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，求某點(diǎn)處的切線方程較為簡(jiǎn)單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無(wú)論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，進(jìn)行分類討論即可求出單調(diào)性.（2）先對(duì)證明式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再令新函數(shù)，求解函數(shù)的單調(diào)性和最小值即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，由得或．①?dāng)時(shí)，，所以或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，所以或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，即證，令，則．而，令，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，要先對(duì)證明式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，在求的單調(diào)性過(guò)程中，根據(jù)零點(diǎn)存在定理找到的隱零點(diǎn)，最后再求的最小值即可證明.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且在點(diǎn)處的切線的斜率為．設(shè)函數(shù)的最大值為．(1)求的值；(2)求證：；(3)若不等式，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)2.【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隱零點(diǎn)問(wèn)題，然后求導(dǎo)得最值，代入計(jì)算，即可證明；（3）根據(jù)題意，令，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理，轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合（2）中的結(jié)論，再由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即，所以．?）證明：由（1）可知，，且的定義域是，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可得，使得，即，即，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值在上單調(diào)遞增，所以．（3）令，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理可得，，使得，即，即即，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為．由（2）知，，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以的最小值．又不等式，所以，所以的最大值為2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問(wèn)題以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于將隱零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合的單調(diào)性和，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求得，設(shè)，求得，得到在上單調(diào)遞增，得出存在使得，得到，轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，結(jié)合，求得的取值范圍為，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由函數(shù)，可得，其中，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由零點(diǎn)存在定理得存在唯一的使得，即，即，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則只需，即，設(shè)函數(shù)，則，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，而，故由得，故的取值范圍為，而，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，故的值域?yàn)?，所以，故，所以?shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.4．（23-24高三下·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)定義域可化簡(jiǎn)函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，即求的解集即可，而，所以解集為．（2）引入隱零點(diǎn)x0，利用導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最后得到的范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)椤喈?dāng)時(shí)，，令，．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，則不等式的解集為．（2）當(dāng)時(shí)，，令，恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一的使，且，所以當(dāng)時(shí)，，由，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，由，（分開(kāi)考慮導(dǎo)函數(shù)符號(hào)）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，由題意則，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是構(gòu)造新的函數(shù)，并利用隱零點(diǎn)法求解的范圍..5．（23-24高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，，求證：當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)恒成立，在上沒(méi)有零點(diǎn).綜上所述，在只有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（23-24高三下·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)(3)有且僅有個(gè)零點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；（3）首先可得與是的兩個(gè)零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，