2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題04解三角形(中線問題)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題04解三角形（中線問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1方法一：向量化(三角形中線向量化） 1方法二：角互補(bǔ) 3三、專項(xiàng)訓(xùn)練 4一、必備秘籍1、向量化(三角形中線問題）如圖在中，為的中點(diǎn)，(此秘籍在解決三角形中線問題時(shí)，高效便捷）2、角互補(bǔ)二、典型題型方法一：向量化(三角形中線向量化）1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求．(2)若，且邊上的中線，求的面積．2．（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求角；(2)若的中線，求面積的最大值．3．（23-24高一下·廣西河池·階段練習(xí)）如圖，在中，已知邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn).

(1)求AM的長度；(2)求∠MPB的正弦值.4．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）在中，滿足．(1)求；(2)若，邊BC上的中線，設(shè)點(diǎn)為的外接圓圓心．①求的周長和面積：②求的值．5．（2024·遼寧撫順·三模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為．(1)求；(2)若為的中線，且，求的面積．方法二：角互補(bǔ)1．（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）如圖，已知AM是中BC邊上的中線．求證：．

的面積等于．3．（22-23高一下·河北·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為.4．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且滿足，，則；的中線的最大值為.5．（22-23高一下·山東淄博·期中）已知在中，AD為BC邊上的中線，且，，則的最小值為．6．（22-23高一下·河南焦作·期中）已知在中，為邊上的中線，且=4，則的取值范圍為.7．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝2，，則BC邊上的中線AD長度的最大值為．8．（22-23高一下·遼寧大連·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.9．（22-23高一下·湖北武漢·期中）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大??；(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長的取值范圍．10．（22-23高一下·湖南長沙·期中）在銳角中，角的對(duì)邊分別是，，，若(1)求角的大??；(2)若，求中線長的范圍（點(diǎn)是邊中點(diǎn)）.專題04解三角形（中線問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1方法一：向量化(三角形中線向量化） 1方法二：角互補(bǔ) 6三、專項(xiàng)訓(xùn)練 9一、必備秘籍1、向量化(三角形中線問題）如圖在中，為的中點(diǎn)，(此秘籍在解決三角形中線問題時(shí)，高效便捷）2、角互補(bǔ)二、典型題型方法一：向量化(三角形中線向量化）1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求．(2)若，且邊上的中線，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及三角公式求，根據(jù)角的范圍可得（2）根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)面積公式求解可得【詳解】（1）由已知條件及正弦定理，得．整理，得，即．又，所以，即．因?yàn)椋裕?，所以．?）由題意得，，所以，即，所以．故2．（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求角；(2)若的中線，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式即可求解；（2）將兩邊平方，結(jié)合基本不等式和面積公式可解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，在中，所以，整理得，所以，因?yàn)椋?所以，．（2）因?yàn)榈闹芯€，，因?yàn)?，所以，即，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積，所以面積的最大值為．3．（23-24高一下·廣西河池·階段練習(xí)）如圖，在中，已知邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn).

(1)求AM的長度；(2)求∠MPB的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)AM是中線，由求解；（2）易知為向量的夾角，然后利用平面向量的夾角公式求解.【詳解】（1）解：因?yàn)锳M是中線，所以，所以，則；（2）由圖象知：為向量的夾角，因?yàn)?，所以，，則，又，，所以，因?yàn)?，所?4．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）在中，滿足．(1)求；(2)若，邊BC上的中線，設(shè)點(diǎn)為的外接圓圓心．①求的周長和面積：②求的值．【答案】(1)；(2)①周長為，面積為；②13.【分析】（1）由已知及正弦定理邊化角，借助和角的正弦理解即得.（2）①由中點(diǎn)向量公式、余弦定理、三角形面積公式列式計(jì)算即得；②邊的中點(diǎn)分別為，利用數(shù)量積的運(yùn)算律并結(jié)合圓的性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，顯然，因此，，則，得，解得，所以.（2）①由邊BC上的中線，得，兩邊平方得，則，即，在中，由余弦定理，得，解得，因此，所以的周長為，面積為.②令邊的中點(diǎn)分別為，由點(diǎn)為的外接圓圓心，得，，，所以.

5．（2024·遼寧撫順·三模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為．(1)求；(2)若為的中線，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合，求得，結(jié)合余弦的倍角公式，即可求解；（2）由（1）得到，根據(jù)，求得，再由由余弦定理得到，求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，因?yàn)?，可知，所以，又因?yàn)?，?lián)立方程組得，所以．（2）解：由（1）知，可得，因?yàn)闉榈闹芯€，且，所以，兩邊平方得，又由余弦定理得，即，兩式相減，可得，所以．方法二：角互補(bǔ)1．（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）如圖，已知AM是中BC邊上的中線．求證：．

【答案】證明過程見解析【分析】根據(jù)這一等式，利用余弦定理進(jìn)行證明即可.【詳解】因?yàn)锳M是中BC邊上的中線，所以，因?yàn)?，所以?2．（23-24高三上·北京西城·階段練習(xí)）在中，.(1)求；(2)求邊上的中線.【答案】(1)(2)【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)面積公式得到，再利用余弦定理計(jì)算得到答案.（2）是中點(diǎn)，連接，根據(jù)余弦定理結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，故，所以，解得，故，?（2）如圖所示，是中點(diǎn)，連接，，，，故，解得，即邊上的中線為.3．（2024·湖南益陽·一模）在①；②；③，這三個(gè)條作中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大?。?2)若，求的中線長度的最小值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用余弦定理即可求得答案；若選②，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡，求得答案；若選③，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式化簡，求得答案；（2）根據(jù)可得，利用余弦定理得到，在三角形中，由余弦定理求得，即可求得答案.【詳解】（1）選擇條件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得,因?yàn)?，所以；選擇條件②：由及正弦定理，得：，即.即.在中，，所以，即，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋?；選擇條件③：由及正弦定理，得：，因?yàn)?，所以.在中，，則，故.因?yàn)?，所以，則，故；（2）因?yàn)?，所以，整理得，在三角形中，由余弦定理?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，所以，即，即長度的最小值為.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高一下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，在中，已知，，AB，BC邊上的中線CE，AF交于點(diǎn)D，則【答案】【分析】由題意知，以和作為基底來表示和，即為和的夾角，再結(jié)合平面向量數(shù)量積運(yùn)算及向量的夾角的求法求解即可.【詳解】因?yàn)?、邊上的兩條中線CE，AF交于點(diǎn)D，所以，，又，，，則，，，則，.故答案為：.2．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，若為邊上的中線，且，則的面積等于．【答案】/【分析】將條件式，利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理求得，以為鄰邊做平行四邊形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，設(shè)，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.【詳解】由，得，，注意，得，得，記，由，知，如圖，以為鄰邊做平行四邊形，在中：，即，得，所以，故答案為：．法（2）：設(shè)，在中：①因?yàn)?，則，由余弦定理可得，得②聯(lián)立①②知：，即，解得，后面同上．故答案為：3．（22-23高一下·河北·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為.【答案】【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.【詳解】如圖，由余弦定理得，，又，兩式相加得，即，化簡得，所以.

故答案為：4．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且滿足，，則；的中線的最大值為.【答案】/【分析】空1：根據(jù)題意結(jié)合正、余弦定理運(yùn)算求解；空2：根據(jù)基本不等式可得，結(jié)合向量的運(yùn)算求解.【詳解】空1：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，由余弦定理可得，且，所以；?：因?yàn)?，可得，由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，又因?yàn)闉榈闹芯€，則，可得，所以，即中線的最大值為.故答案為：；.5．（22-23高一下·山東淄博·期中）已知在中，AD為BC邊上的中線，且，，則的最小值為．【答案】/0.6【分析】在和中，分別用余弦定理建立關(guān)系，并求得，再在中利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解作答.【詳解】依題意，，，如圖，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，而，即，兩式相加得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，在中，，所以的最小值為.故答案為：6．（22-23高一下·河南焦作·期中）已知在中，為邊上的中線，且=4，則的取值范圍為.【答案】【分析】分別在和中，利用余弦定理得到，，根據(jù)，兩式相加得到，然后利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，兩式相加得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)?，所以，故答案為?．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝2，，則BC邊上的中線AD長度的最大值為．【答案】【分析】利用正弦定理將條件進(jìn)行變形，結(jié)合三角形內(nèi)角之和為π，可求得cosA，設(shè)AD＝x，由cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范圍，從而求得x的取值范圍．【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可知：，又因?yàn)锳+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB，則2cosAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，所以cosA，因?yàn)锳∈(0,π)，所以，設(shè)AD＝x，又DB＝DC＝1，在△ADB，△ADC中分別有：cos∠ADB，cos∠ADC，又由于cos∠ADB+cos∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，在△ABC中，，即，因?yàn)閎2+c2≥2bc，所以，從而b2+c2≤8，所以2x2+2≤8，解之得，（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立），所以BC邊上的中線AD長度的最大值為，故答案為：．8．（22-23高一下·遼寧大連·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出結(jié)果；（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關(guān)結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量的線性表示出，最后利用求模公式即可求邊上的中線的長.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以；?）由，所以，由（1），所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為.所以，由題意得，解得，則，所以，所以，所以，所以中線CD長的取值范圍為．10．（22-23高一下·湖南長沙·期中）在