2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題03圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（含定值、最值、范圍問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：三角形面積（定值問題） 3題型二：四邊形面積（定值問題） 6題型三：三角形面積（最值，范圍問題） 8題型四：四邊形面積（最值，范圍問題） 11三、專項(xiàng)訓(xùn)練 13一、必備秘籍1、弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問題直線方程：3、焦點(diǎn)三角形的面積直線過焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).5、范圍問題首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式變式：作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.二、典型題型題型一：三角形面積（定值問題）1．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為A，，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4．過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)）．

(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過橢圓的上頂點(diǎn)A，求的面積．2．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．求的面積.3．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求的值；(2)求的面積．4．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知雙曲線C：的上、下焦點(diǎn)分別為、，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且滿足，求的面積．5．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.6．（23-24高二下·安徽六安·期末）過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，若，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.題型二：四邊形面積（定值問題）1．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)，，若，則四邊形的面積為（

）A．6 B． C． D．42．（23-24高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）、是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，、是左、右焦點(diǎn)．若，則四邊形的面積是（

）A． B．3 C．4 D．63．（2024·湖北武漢·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，若和的面積分別為8和4，則的面積為（

）A．32 B．16 C． D．84．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知拋物線：，：的焦點(diǎn)分別為，，一條平行于x軸的直線與，分別交于點(diǎn)A，B，若，則四邊形的面積為.5．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率之積為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線交的軌跡于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若恰為軌跡上一點(diǎn)，求四邊形的面積.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)已知為橢圓上三個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形為矩形，求四邊形的面積.7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知離心率為的雙曲線經(jīng)過點(diǎn).(1)求的方程；(2)如圖，點(diǎn)為雙曲線上的任意一點(diǎn)，為原點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于、兩點(diǎn)，求證：平行四邊形的面積為定值.題型三：三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知A，B是橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記AM的斜率為，BN的斜率為，且．(1)求證：直線l過定點(diǎn)；(2)記的面積為，的面積為，求的最大值．2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值；(3)過的左焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.3．（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）雙曲線：，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過作、分別垂直于兩條漸近線，垂足為、，設(shè)，，(1)求證：(2)若雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4，虛軸長(zhǎng)為2，過分別作、平行于漸近線且與漸近線交于、兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，求的范圍．4．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為e，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若雙曲線E的離心率，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M點(diǎn)，求的面積的取值范圍.5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．6．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過F與垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點(diǎn).(1)若，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(2)證明：直線過定點(diǎn)；(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值.題型四：四邊形面積（最值，范圍問題）1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知雙曲線，過該曲線上的點(diǎn)作不平行于坐標(biāo)軸的直線交雙曲線的右支于另一點(diǎn)，作直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)A，B（A在第一象限）,其漸近線方程為，且，(1)求雙曲線方程．(2)證明：直線過定點(diǎn).(3)當(dāng)?shù)男甭蕿樨?fù)數(shù)時(shí)，求四邊形的面積的取值范圍．2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)．求四邊形的面積的最小值．3．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).(1)求雙曲線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過且斜率非負(fù)的直線與的左?右支分別交于.過做垂直于軸交于（當(dāng)位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為與重合）.為圓上任意一點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.4．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．5．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是拋物線E：上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，PA，PB與拋物線E分別交于C，D兩點(diǎn)，C，D恰好為PA，PB的中點(diǎn)．設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N．(1)證明：軸；(2)若點(diǎn)P為半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABDC面積的最大值．三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．10 B．12 C．14 D．162．（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知是左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的平行線交直線于點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，右支上一點(diǎn)滿足，直線平分，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足分別為.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C．10 D．4．（2024·江西宜春·一模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的內(nèi)心分別為，則與面積之和的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)作C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，且Q為C上一動(dòng)點(diǎn)，若的最小值為5，則△PAB的面積為（

）A．75 B． C． D．6．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過動(dòng)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．187．（23-24高三下·山西大同·階段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓分別與軸相切于點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．8．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知橢圓，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)，若該兩條直線的斜率分別為、，且，則的面積為．9．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）過橢圓C：（）上的動(dòng)點(diǎn)P向圓O：引兩條切線．設(shè)切點(diǎn)分別是A，B，若直線與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，則面積的最小值是.10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0，若，則的面積為．14．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.15．（2024·陜西西安·二模）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且虛軸長(zhǎng)為2．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值．16．（23-24高二下·甘肅天水·開學(xué)考試）已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線交雙曲線同一支于兩點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，求面積的取值范圍．17．（23-24高二下·廣東·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上．(1)求拋物線的方程；(2)求面積的取值范圍．18．（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）拋物線的準(zhǔn)線方程為，拋物線上的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為直角頂點(diǎn)的直角三角形．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)坐標(biāo)為，證明：直線過定點(diǎn)；(3)若，求面積的最小值．專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（含定值、最值、范圍問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：三角形面積（定值問題） 3題型二：四邊形面積（定值問題） 11題型三：三角形面積（最值，范圍問題） 19題型四：四邊形面積（最值，范圍問題） 29三、專項(xiàng)訓(xùn)練 37一、必備秘籍1、弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問題直線方程：3、焦點(diǎn)三角形的面積直線過焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).5、范圍問題首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式變式：作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.二、典型題型題型一：三角形面積（定值問題）1．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為A，，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4．過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)）．

(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過橢圓的上頂點(diǎn)A，求的面積．【答案】(1)(2)．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求出，，，即可得出方程.（2）將直線方程求出來，直線曲線聯(lián)立求出，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式求出到直線l的距離，即可求出面積【詳解】（1）因?yàn)?，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，所以，，，所以橢圓的方程為．（2）因?yàn)椋?，若直線l過橢圓的上頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn).所以l：，則點(diǎn)到直線l的距離為，由得，所以，，則，所以．2．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．求的面積.【答案】【分析】聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達(dá)定理得，，由即可求出面積.【詳解】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程，消去得．由，且，可得，則，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)?，解得或（舍去），則，可得，由橢圓方程可知：，由直線與軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則，即，所以的面積為.3．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求的值；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)（1）中韋達(dá)定理可得，且直線與軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，進(jìn)而可求面積.【詳解】（1）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程，消去得．由，且，可得，則，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)?，解得或（舍去），所以的值?（2）由（1）可知：，則，可得，由橢圓方程可知：，由直線與軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則，所以的面積為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)、面積問題的求解方法（1）涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．（2）面積問題常采用底高，其中底往往是弦長(zhǎng)，而高用點(diǎn)到直線距離求解即可，選擇底很重要，選擇容易坐標(biāo)化的弦長(zhǎng)為底．有時(shí)根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達(dá)形式，若求多邊形的面積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解．（3）在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．4．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知雙曲線C：的上、下焦點(diǎn)分別為、，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且滿足，求的面積．【答案】【分析】記，，，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理可得，再利用三角形面積公式可推得，即可求得結(jié)論．【詳解】解：記，，，．∵，∴．在中，由余弦定理得，配方得：，即，∴，由三角形的面積公式得，∴，而，，∴，故答案為：．5．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式及實(shí)軸與虛軸定義計(jì)算即可得；（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.【詳解】（1）設(shè)雙曲線焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，所以該焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又雙曲線實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2，故，即，故雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則直線經(jīng)過雙曲線的頂點(diǎn)，不妨設(shè)，又漸近線方程為，將代入，得，將代入，得，則，；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線，且，聯(lián)立，消去并整理得，因?yàn)閯?dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，所以，得，設(shè)動(dòng)直線與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，聯(lián)立，得，同理得，則，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，所以，又因?yàn)?，所以，即，故的面積為定值，且定值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而求出面積是解題關(guān)鍵.6．（23-24高二下·安徽六安·期末）過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，若，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可列方程求得參數(shù)，進(jìn)而得解；（2）由題意設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、數(shù)量積的坐標(biāo)公式列方程即可求得參數(shù)，進(jìn)一步即可求解的面積.【詳解】（1）拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡(jiǎn)并整理得，，顯然，設(shè)，則，則，解得，所以拋物線的方程為；（2）設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡(jiǎn)并整理得，顯然，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，設(shè)的面積為，則，所以的面積為.題型二：四邊形面積（定值問題）1．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)，，若，則四邊形的面積為（

）A．6 B． C． D．4【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線圖像對(duì)稱性，可得軸，根據(jù)圓的性質(zhì)和雙曲線，，的關(guān)系可計(jì)算出，，，的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出四邊形的面積.【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性可知軸，，，又因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所在的漸近線方程為，點(diǎn)到漸近線距離為，所以，所以，，則，所以，故選：B2．（23-24高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）、是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，、是左、右焦點(diǎn)．若，則四邊形的面積是（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】判斷四邊形為矩形，設(shè)，，可得，結(jié)合雙曲線定義可得，化簡(jiǎn)得，即可求得四邊形的面積．【詳解】解：由可知，，所以，因?yàn)?，是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形的面積．故選：D．3．（2024·湖北武漢·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，若和的面積分別為8和4，則的面積為（

）A．32 B．16 C． D．8【答案】C【分析】設(shè)直線代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算，相乘化簡(jiǎn)可得，由三角形面積公式可得.【詳解】設(shè)直線，

代入拋物線方程，消元可得，設(shè)，則，，，，于是，即，.故選：C.4．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知拋物線：，：的焦點(diǎn)分別為，，一條平行于x軸的直線與，分別交于點(diǎn)A，B，若，則四邊形的面積為.【答案】【分析】根據(jù)，結(jié)合焦半徑公式，求得，進(jìn)而求得，再結(jié)合平行四邊形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，根據(jù)題意可知，故，即，

又由拋物線的定義可知，，當(dāng)時(shí)，，故，，，所以，四邊形是平行四邊形，故四邊形的面積為.故答案為：.5．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率之積為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線交的軌跡于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若恰為軌跡上一點(diǎn)，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得，化簡(jiǎn)可得軌跡方程．（2）先設(shè)直線再聯(lián)立直線與軌跡方程，得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理及點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算面積即可.【詳解】（1）設(shè),則,化簡(jiǎn)可得（2）以為鄰邊作平行四邊形,則直線與x軸不重合,設(shè)直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，聯(lián)立，消去x得，所以，則.求得O到直線的距離，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分所以所以在橢圓上，可得所以平行四邊形面積所以四邊形面積是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用平行四邊形對(duì)角線互相平分，對(duì)角線共中點(diǎn)求參進(jìn)而求出面積.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)已知為橢圓上三個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形為矩形，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓離心率和橢圓上的點(diǎn)，列方程組求出，可得橢圓的方程；（2）由四邊形為矩形，設(shè)出直線方程為，直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求出，得兩點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)據(jù)，可求四邊形的面積.【詳解】（1）由題知解得所以橢圓的方程為.（2）由橢圓的圖形可知，當(dāng)直線的斜率為0或不存在時(shí)，矩形不存在，不符合題意.設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.由橢圓的對(duì)稱性，只需考慮的情況.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)在第四象限.由消去整理得，解得，所以.由消去整理得，解得，所以.因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即.又，所以.將的值代入，得，即，整理得，解得，又，所以，此時(shí)，，，，，所以四邊形的面積.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，解出方程或借助根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．要強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知離心率為的雙曲線經(jīng)過點(diǎn).(1)求的方程；(2)如圖，點(diǎn)為雙曲線上的任意一點(diǎn)，為原點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于、兩點(diǎn)，求證：平行四邊形的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出的值，結(jié)合雙曲線的離心率可求得的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，則，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用平行四邊形的面積公式可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，則，則，所以，，故雙曲線的方程為.（2）證明：設(shè)點(diǎn)，則，由圖可知，直線的方程為，直線的方程為，因?yàn)?，則直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，平行四邊形的面積為為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．題型三：三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知A，B是橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記AM的斜率為，BN的斜率為，且．(1)求證：直線l過定點(diǎn)；(2)記的面積為，的面積為，求的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）求出直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出交點(diǎn)的極線，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可得證.（2）設(shè)出直線的方程，現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立，求出的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出最大值.【詳解】（1）設(shè)AM與BN交于點(diǎn)P，AB與MN交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G對(duì)應(yīng)的極線過點(diǎn)P，由題意知直線AM的方程為，直線BN的方程為．由，解得，點(diǎn)G對(duì)應(yīng)的極線為．設(shè)，則對(duì)應(yīng)的極線方程為，即，所以，直線l過定點(diǎn)．（2）設(shè)直線l：，代入橢圓C：，得，即，設(shè)，則．令，則，故時(shí)，取得最大值為．2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值；(3)過的左焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)；(2)；(3)3.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由橢圓的定義可求出的最大值，從而可得周長(zhǎng)最大值.（3）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助根與系數(shù)的關(guān)系列出三角形面積的關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求出最大值．【詳解】（1）依題意，，且，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，，而，則，周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為.（3）設(shè)直線的方程為，，由消去得：，顯然，，，因此面積，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值3.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過定點(diǎn)的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積；過定點(diǎn)直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積.3．（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）雙曲線：，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過作、分別垂直于兩條漸近線，垂足為、，設(shè)，，(1)求證：(2)若雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4，虛軸長(zhǎng)為2，過分別作、平行于漸近線且與漸近線交于、兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，求的范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出，由此可求并完成證明；（2）設(shè)，在直角三角形中利用角度關(guān)系表示出，然后根據(jù)表示出，結(jié)合（1）的結(jié)論和基本不等式求解出取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，漸近線方程為，且，則，∴．（2）由題意可知，雙曲線方程為，設(shè)，則，∴，由題可知：，，∴，，∴，由（1）知，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上所述，．4．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為e，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若雙曲線E的離心率，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A的直線與雙曲線的左支交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M點(diǎn)，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由離心率公式得出，進(jìn)而解得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）先得出雙曲線E的方程，再聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得出，再由的范圍得出的取值范圍.【詳解】（1），，，解得（2）由（1）可知，，雙曲線E的方程為設(shè)，過點(diǎn)A的直線方程為由可得，由，解得故5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由點(diǎn)在拋物線上，得，聯(lián)立直線與拋物線方程得，再通過計(jì)算即可；（2）先求弦長(zhǎng)，再求到直線的距離，可表示出，再結(jié)合基本不等式可求面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為；

如圖：設(shè)，將直線的方程代入，得，

所以，

因?yàn)橹本€與傾斜角互補(bǔ)，所以，

即，所以，即，所以.（2）由（1）可知，所以，則，

因?yàn)?，所以，即?/p>

又點(diǎn)到直線的距離為，

所以，

因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積最大值為．6．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過F與垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點(diǎn).(1)若，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(2)證明：直線過定點(diǎn)；(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】(1)2(2)證明見解析(3)8【分析】（1）由拋物線焦半徑公式可得；（2）思路一設(shè)出兩直線、方程，直曲聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示坐標(biāo)，點(diǎn)斜式寫出直線方程，再由兩直線垂直得到，找到定點(diǎn)；思路二設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，直曲聯(lián)立，用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)，再得到直線方程，找到定點(diǎn)；（3）法一表示出，用基本不等式得到，用直線過定點(diǎn)得到，最后得到面積的最小值；法二由圖形的幾何關(guān)系得到，再由（2）中的法2可得，最后由基本不等式得到面積的最小值.【詳解】（1）由題意知（2）思路一：由：，故，由直線與直線垂直，故兩只直線斜率都存在且不為0，設(shè)直線、分別為，，有，、、、，聯(lián)立：與直線，即有，消去x可得，，故、，則，故，，即，同理可得，當(dāng)時(shí)，則：，即，由，即，故時(shí)，有，此時(shí)過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，即時(shí)，有：，亦過定點(diǎn)，故直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為；思路二：設(shè)，，不妨設(shè).設(shè)：，則.由，得，故，，，.所以.同理可得.若，則直線：，過點(diǎn).若，則直線：，過點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).（3）思路一：由、、、，則：，由、，故，同理可得：，聯(lián)立兩直線，即，有，即，有，由，同理，故，故，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則，由、，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，下證；由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有，則點(diǎn)G在x軸上方，點(diǎn)Q亦在x軸上方，有，由直線過定點(diǎn)，此時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，有點(diǎn)G在x軸下方，點(diǎn)Q亦在x軸下方，有，故此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故恒成立，且時(shí)，等號(hào)成立，故.思路二：設(shè)為的中點(diǎn)，為直線與的交點(diǎn).由，分別為，的中點(diǎn)知，所以，故.設(shè)為直線與的交點(diǎn)，同理可得.所以.由（2）中的法2可得，同理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因此的面積的最小值為8.題型四：四邊形面積（最值，范圍問題）1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知雙曲線，過該曲線上的點(diǎn)作不平行于坐標(biāo)軸的直線交雙曲線的右支于另一點(diǎn)，作直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)A，B（A在第一象限）,其漸近線方程為，且，(1)求雙曲線方程．(2)證明：直線過定點(diǎn).(3)當(dāng)?shù)男甭蕿樨?fù)數(shù)時(shí)，求四邊形的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可得，結(jié)合雙曲線所過的點(diǎn)可求，故可得雙曲線方程.（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，結(jié)合判別式可得的斜率的范圍，再由漸近線方程可得的坐標(biāo)，由平行四邊形可求出的方程，故可得定點(diǎn).（3）利用（2）的結(jié)果結(jié)合弦長(zhǎng)公式可用的斜率表示面積，結(jié)合斜率的范圍可求面積的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闈u近線，則，代入點(diǎn)可得，故，即雙曲線方程為：．（2）設(shè)，由可得，故且，故或且，又，故，由解得，則，同理可得，故，而，可得，故，故，故，，設(shè)直線的斜率為，則，直線的方程為，即，所以過定點(diǎn)．（3）由（2）可得直線與的距離為，故，由題意可得四邊形是平行四邊形，而，故四邊形的面積為，，結(jié)合（2）中的取值范圍可得．故，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要聯(lián)立不同類型的方程，用合適的變量變式目標(biāo)函數(shù)，而后者的最值往往可以通過函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來處理.2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)．求四邊形的面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)易得，結(jié)合橢圓定義及兩點(diǎn)距離公式求得，進(jìn)而可得橢圓方程；（2）討論直線斜率，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓求相交弦長(zhǎng)，進(jìn)而得到四邊形的面積關(guān)于直線斜率的表達(dá)式，即可得求最小值.【詳解】（1）由題意，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，即，所以，即，，所以橢圓的方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，，，，分別為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以．②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，，，，聯(lián)立，解得，即，所以，同理，所以．令，則，，所以，，當(dāng)時(shí)，又，所以四邊形的面積的最小值為．3．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).(1)求雙曲線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過且斜率非負(fù)的直線與的左?右支分別交于.過做垂直于軸交于（當(dāng)位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為與重合）.為圓上任意一點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求雙曲線方程，利用導(dǎo)數(shù)法來求切線方程即可得A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先設(shè)直線的方程，再利用三點(diǎn)共線，可求出直線過定點(diǎn)，從而把面積問題轉(zhuǎn)化到兩定點(diǎn)上去研究，最后發(fā)現(xiàn)為實(shí)軸兩頂點(diǎn)時(shí)取到最小值，再去研究另一個(gè)圓上動(dòng)點(diǎn)的最小值.【詳解】（1）由題意可知，，即，故的方程為：.因?yàn)樵诘谝幌笙?，不妨設(shè)，則可變形為，則，代入得：，所以切線方程為，令得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）

顯然直線的斜率存在且不為，設(shè)，則，聯(lián)立方程，整理得：，，由三點(diǎn)共線得：，即，整理得：，所以，整理得，滿足，所以直線過定點(diǎn)，則且線段垂直于x軸，令分別表示到的距離，結(jié)合圖，顯然，僅當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)兩式中等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)思想來研究某點(diǎn)處的切線方程；對(duì)于面積問題，本題是要轉(zhuǎn)移到一邊已知，從而把面積問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到這邊距離的最小值問題.4．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)雙曲線，依題意可得，解得即可；（2）設(shè)直線，，求得，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式，求得，，得到，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線，，其中，雙曲線的漸近線為，因?yàn)椋c的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故四邊形面積的最小值為．【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.5．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是拋物線E：上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，PA，PB與拋物線E分別交于C，D兩點(diǎn)，C，D恰好為PA，PB的中點(diǎn)．設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N．(1)證明：軸；(2)若點(diǎn)P為半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABDC面積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合斜率分析可得，即可得軸；（2）根據(jù)題意利用韋達(dá)定理求長(zhǎng)度，可得面積，結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算即可.【詳解】（1）由C，D分別為PA，PB的中點(diǎn)，則，所以直線AB和直線CD的斜率相等，即，設(shè)，，，，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，由，得，因式分解得，約分得，所以，即，所以軸．（2）設(shè)，則，且，由，，所以，整理得，同理得，所以，是方程的兩個(gè)根，，得，，有，得軸，又，所以，因?yàn)?，所以，，，?dāng)時(shí)，取得最大值，所以四邊形ABDC面積的最大值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中范圍最值問題的方法：一般題目中沒有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】A【分析】根據(jù)題意確定，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式和面積公式，最后求最值.【詳解】由題意知與雙曲線的漸近線平行，故，設(shè)，，將代入，得，故，，，所以，點(diǎn)O到l的距離,所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)（滿足）時(shí)等號(hào)成立．故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.2．（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知是左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的平行線交直線于點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，由幾何關(guān)系易判斷，求出，進(jìn)而得解.【詳解】如圖，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以為中位線，，又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，，由幾何關(guān)系易得，設(shè)，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，右支上一點(diǎn)滿足，直線平分，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足分別為.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C．10 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出，結(jié)合幾何圖形及雙曲線定義可得的面積得解.，【詳解】由雙曲線的離心率為，得，解得，令直線交的延長(zhǎng)線交于，直線交于，則，由平分，且，得，則，，顯然分別為線段的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，于是，，即，，所以的面積.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求出面積的關(guān)鍵是作出點(diǎn)，借助幾何圖形的特征，結(jié)合雙曲線定義求得.4．（2024·江西宜春·一模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的內(nèi)心分別為，則與面積之和的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的切線長(zhǎng)相等的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線定義可求得兩內(nèi)切圓與軸均相切于點(diǎn)，由∽可求得，結(jié)合雙曲線漸近線斜率可確定直線傾斜角的范圍，結(jié)合可求得的范圍；由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可確定所求面積之和的取值范圍.【詳解】由雙曲線方程得：，，則，設(shè)內(nèi)切圓與三邊相切于點(diǎn)，，，，，又，，，設(shè)，則，解得：，即；同理可知：內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)；分別為的角平分線，，又，∽，則，設(shè)內(nèi)切圓半徑分別為，，，即，，雙曲線的漸近線斜率，直線的傾斜角，，則，，解得：，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線中三角形面積相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用相似三角形的知識(shí)求得兩內(nèi)切圓半徑之間滿足的等量關(guān)系，從而將所求面積之和轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)單調(diào)性求得結(jié)果.5．（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)作C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，且Q為C上一動(dòng)點(diǎn)，若的最小值為5，則△PAB的面積為（

）A．75 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線定義得到，再利用導(dǎo)數(shù)得到切點(diǎn)弦所在直線方程，再求出直線的長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離，最后利用三角形面積公式即可.【詳解】當(dāng)F，Q，P三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且，所以，解得，所以．由，得．設(shè)，，則曲線在處的切線方程為，即．因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以．同理可得，所以直線AB的方程為，即．聯(lián)立方程組得，，則．因?yàn)橹本€AB過焦點(diǎn)F，所以，點(diǎn)P到直線的距離，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵之一是利用拋物線定義和三點(diǎn)共線得到，再然后是利用導(dǎo)數(shù)得到切點(diǎn)弦所在直線方程，最后再求出和點(diǎn)到直線的距離.6．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過動(dòng)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，，同理可得，，有，設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式計(jì)算可得，而在直線,上，建立等式計(jì)算可得，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，所以直線,斜率均存在，故設(shè)直線，則，所以，因?yàn)?，代入化?jiǎn)得，得，所以直線，整理得，設(shè)直線，同理可得，所以，即，設(shè)直線，，所以，，得，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以設(shè)直線恒過拋物線焦點(diǎn)，而在直線,上，所以，即是方程是方程的兩實(shí)數(shù)根，所以，解得，即所以，設(shè)到直線的距離為，則，所以，當(dāng)時(shí)，面積的最小為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵根據(jù)切線方程與拋物線建立等式計(jì)算可得，直線與拋物線建立等式可得直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)；在直線,上，得是方程方程的兩相異實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式求得，最后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算可得.7．（23-24高三下·山西大同·階段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓分別與軸相切于點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，直線：，聯(lián)立方程得到，計(jì)算，得到答案.【詳解】如圖所示：，連接，，過點(diǎn)作于，直線：，故，故，.故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中的面積問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.8．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知橢圓，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)，若該兩條直線的斜率分別為、，且，則的面積為．【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將△的面積用坐標(biāo)表示，再利用已知條件及點(diǎn)在橢圓上進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋缘男甭蚀嬖谇也粸?，即，直線方程：，即，所以點(diǎn)到的距離為，因此△的面積為，而點(diǎn)在橢圓上，且所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交，一般先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)并進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是利用已知條件將所求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，本題中主要利用點(diǎn)在橢圓上滿足橢圓的方程以及斜率之積這兩個(gè)條件進(jìn)行化簡(jiǎn).9．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）過橢圓C：（）上的動(dòng)點(diǎn)P向圓O：引兩條切線．設(shè)切點(diǎn)分別是A，B，若直線與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，則面積的最小值是.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，首先求出直線方程，然后求得坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式得，由點(diǎn)到直線距離公式表示出原點(diǎn)到直線（即直線的距離），從而表示出面積，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，即它的坐標(biāo)滿足條件等式，進(jìn)一步結(jié)合基本不等式求得即可得解.【詳解】

設(shè)點(diǎn)，則以為直徑的圓的方程為，與圓O的方程相減得，即是過切點(diǎn)的直線方程，，令，得，所以，令，得，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C：（）上，所以，即，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是表示出面積，即，由此即可順利得解.10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0，若，則的面積為．【答案】【分析】設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意，即可求出與的關(guān)系，不妨設(shè)直線的傾斜角為，依題意可得，再由及二倍角公式求出，從而得到直線、的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，求出、坐標(biāo)，即可求出方程，再求出面積即可.【詳解】法一：因?yàn)橐字本€的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，由，可得且．所以，所以由可得，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，，?dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得（負(fù)值舍去），此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，解得（?fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，且直線，整理得：，所以點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．法二：設(shè)直線的傾斜角為，，，，由，則，解得（負(fù)值已舍去），由，即，得，即，聯(lián)立及得，，同理，，，故，，而，，由，即，解得（負(fù)值已舍去），故故答案為：11．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作漸近線的垂線，垂足為P，且，過雙曲線C上一點(diǎn)Q作兩漸近線的平行線分別交漸近線于M，N兩點(diǎn)，則四邊形OMQN的面積為.【答案】【分析】先求得雙曲線方程為，設(shè)到兩漸近線的距離之積，結(jié)合雙曲線的方程，求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】過作漸近線的垂線，垂足為，如圖所示，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，在直角在中，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以雙曲線方程為，因?yàn)椋?，設(shè)到兩漸近線的距離為，則，又因?yàn)椋?，所?故答案為：.

12．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求與的面積之比的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率列式求，即可得橢圓方程；（2）設(shè)線，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得，再根據(jù)面積關(guān)系運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知：，因?yàn)橹本€的斜率可以不存在，但不為0，且直線與橢圓必相交，

設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，整理可得，因?yàn)椋傻昧?，則，解得，即，由題意可知：，因?yàn)椋耘c的面積之比的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.13．（23-24高二下·湖南永州·階段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為.不過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.(1)證明：直線的斜率為定值；(2)求面積的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出橢圓方程，設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（2）由（1）得，根據(jù)求出的范圍，利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，列出面積的的表達(dá)式，進(jìn)而可得出答案.【詳解】（1）由題意，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，由得，，，解得，所以直線的斜率為定值；（2）由（1）得，與橢圓方程聯(lián)立得，則，，點(diǎn)到直線的距離，的面積，令，則，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，解得或，即在和上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以的面積得最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．14．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式及實(shí)軸與虛軸定義計(jì)算即可得；（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.【詳解】（1）設(shè)雙曲線焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，所以該焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又雙曲線實(shí)軸比虛軸長(zhǎng)2，故，即，故雙曲線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，若動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則直線經(jīng)過雙曲線的頂點(diǎn)，不妨設(shè)，又漸近線方程為，將代入，得，將代入，得