【中心極限定理及其應(yīng)用探究（論文）4700字】

中心極限定理及其應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u22882第一章緒論 223888第二章關(guān)于獨(dú)立分布的中心極限定理的討論 2120502．1中心極限定理的提出 3188312．2獨(dú)立同分布情形的兩個(gè)定理 35072．3獨(dú)立不同分布情形的兩個(gè)定理 523421第三章中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用 10141683．1食堂管理問題 10226733．2盈利問題 13196453．3抽樣檢驗(yàn)問題 14179513．4供應(yīng)問題 1532759第四章結(jié)論與展望 1610600參考文獻(xiàn) 17摘要本文通過概率論中中心極限定理的研究，把獨(dú)立同分布和不同分布這兩種情形進(jìn)行對(duì)比描述，得到了平均結(jié)果的穩(wěn)定性是隨機(jī)現(xiàn)象的根本性質(zhì)．文章從中心極限定理的提出、內(nèi)容以及證明過程等，得到正態(tài)分布也可以表示獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布．同時(shí)我們?cè)谟懻撝行臉O限定理的內(nèi)容時(shí)必須要從兩種情形進(jìn)行描述，即獨(dú)立同分布和不同分布．最后通過各種各樣的例題，展現(xiàn)出中心極限定理生活中的應(yīng)用，進(jìn)一步證實(shí)了該定理在各個(gè)方面的重要價(jià)值，也貫徹了知識(shí)與生活相結(jié)合的思想．關(guān)鍵詞弱收斂；獨(dú)立隨機(jī)變量；中心極限定理第一章緒論1．1引言概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為理學(xué)的基本課程，在科學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、管理中有方方面面的應(yīng)用．大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中兩個(gè)極為重要的定理，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面也有廣泛應(yīng)用，其中大數(shù)定律是一種隨機(jī)收斂的相關(guān)理論，而中心極限定理則為一種分布收斂的概率論研究理論，本文重點(diǎn)著眼于對(duì)后一種理論進(jìn)行研究．人們時(shí)常發(fā)現(xiàn)，生活中各種各樣的事常常受不確定因素干擾，亦稱為隨機(jī)因素?cái)_動(dòng)，微小因素聚集起來(lái)整體服從正態(tài)分布的規(guī)律，以上為中心極限定理的證明結(jié)論。中心極限定理最早是在重伯努利實(shí)驗(yàn)中，在后來(lái)又得到了很快的發(fā)展．但后來(lái)的發(fā)展得益于P．萊維系統(tǒng)地建立起的特征函數(shù)理論．隨著社會(huì)的進(jìn)步，人們對(duì)科學(xué)的探索乃至對(duì)世界的探索越來(lái)越深入，極限定理的應(yīng)用以及極限定理研究所形成的方法在發(fā)揮很大作用的同時(shí)，自身也得到了完善與發(fā)展．中心極限定理的首次應(yīng)用是解決某一單一事件出現(xiàn)頻次的服從概率分布是否為正態(tài)分布［］1．2研究目標(biāo)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的快速發(fā)展，推動(dòng)了人民對(duì)科學(xué)研究更為深入的探索，而與之而來(lái)問題也會(huì)不斷產(chǎn)生．同樣，極限理論的問題也在產(chǎn)生．尤其是如今進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，大數(shù)據(jù)作為一種技術(shù)性革命，其中統(tǒng)計(jì)分析和概率計(jì)算與計(jì)算機(jī)相結(jié)合起來(lái)也得到了更廣泛的應(yīng)用．所以，中心極限定理的研究也變得十分的有意義．科學(xué)知識(shí)的研究再深入也是要與生活實(shí)際相結(jié)合的，所以在學(xué)習(xí)的過程中，我們必須學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決生活問題．本文從隨機(jī)序列研究這個(gè)角度，系統(tǒng)分析了中心極限定理，并例證其在生活中（主要是商業(yè)管理）的應(yīng)用，目的是把理論與實(shí)踐相結(jié)合，從而更好的幫助大家用隨機(jī)觀念和統(tǒng)計(jì)思想去對(duì)待和處理生活中的問題．第二章關(guān)于獨(dú)立分布的中心極限定理的討論2．1中心極限定理的提出誤差是人們?cè)谏钪须S處可遇到的一個(gè)量，通過研究表明，誤差的產(chǎn)生是由大量因素疊加而成．．這些因素是隨機(jī)的且相互獨(dú)立．每個(gè)因素都是人們無(wú)法控制，可以大也可以小，可以為正也可以為負(fù)．誤差用表示，指代的是隨機(jī)變量，該變量可視為眾多微小擾動(dòng)項(xiàng)的合計(jì)數(shù)，即．那當(dāng)時(shí)，的分布是什么？當(dāng)然，我們可以通過積卷公式去計(jì)算的分布，但當(dāng)我們將分布函數(shù)的過程寫出來(lái)后就會(huì)發(fā)現(xiàn)形式太復(fù)雜了，我們根本無(wú)法求出來(lái)，這也使我們不得不去找近似分布．因此，中心極限定理被提出．2．2獨(dú)立同分布情形的兩個(gè)定理（1）則稱服從中心極限定理，若對(duì)均滿足如下極限公式：（2）則表明系服從關(guān)于均勻的趨于的正態(tài)分布。2．2．1林德伯格—萊維中心極限定理記為隨機(jī)變量序列，變量同分布且相互獨(dú)立，則對(duì)?，有（3）證明設(shè)的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為又因?yàn)椋杂?，則系服從正態(tài)分布的相關(guān)特征函數(shù)，即可得證。2．2．2棣莫弗—拉普拉斯定理記重貝努里試驗(yàn)事件出現(xiàn)概率值為，為其出現(xiàn)次數(shù)，令對(duì)實(shí)數(shù)，例據(jù)一淘寶公司服裝店鋪統(tǒng)計(jì)顯示，今年所有的購(gòu)買人員中，因?yàn)榉b沒有達(dá)到預(yù)期效果而申請(qǐng)退貨的人占．在今年的消費(fèi)者中隨意抽取位，用表示認(rèn)為服裝沒有達(dá)到預(yù)期效果而退貨的人．(1)寫出的分布列．(2)位消費(fèi)者中，射服裝未達(dá)到效果退貨的人概率為，則為多少？解:(1)是服從的二項(xiàng)分布，即(2)由隸莫弗－拉普拉斯中心極限定理，有所以，．2．3獨(dú)立不同分布情形的兩個(gè)定理如誤差的產(chǎn)生是由大量隨機(jī)因素構(gòu)成，即，且該部分因素相互獨(dú)立，即獨(dú)立，并不要求同分布，故該情形下的極限分布亦需再行討論。2．3．1林德貝格中心極限定理若滿足林德貝格條件，且相關(guān)獨(dú)立，則對(duì)?，有，有(4)(5)(6)實(shí)際上，對(duì)上三式明顯．設(shè)，則；易得，他們對(duì)成立．證明林德貝各中心極限定理令（7）以、分別表的特征函數(shù)與分布函數(shù)，因而（8），（9）（10）由（6）故林德貝格條件可化為：，；（11）(2)式化為：對(duì)均勻的有（12）如果在條件（11）下，能夠證明的特征函數(shù)亦即（13）若（13）成立則問題得證證明（13）①先證可展開為（14）函數(shù)在任意有窮區(qū)間0由（9）中前一式（15）根據(jù)（5）．（16）其中，由（11），對(duì)一切充分大的有所以及任何有限區(qū)間中的，同時(shí)有因而對(duì)任意，均勻的有（17）當(dāng)時(shí)，對(duì)一切充分大的，下式成立：（18）因此，在中，（19）其中由（18）但由（16）中第一個(gè)不等式及（10）故由（17）可見當(dāng)時(shí)，關(guān)于任意區(qū)間中的均勻的有（20）②令由（15）得（21）若對(duì)?屬于，有．(22)將（21）表達(dá)式代入（14），結(jié)合①可證(13)證（22），由（10）對(duì)任意，由（4）（5）得由（10）可見：對(duì)，有（23）對(duì)任意，可選使又由（11），有為正整數(shù)，使及，有（24）則若，對(duì)一切，有2．3．2李雅普諾夫中心極限定理設(shè)為隨機(jī)序列且相互獨(dú)立的變量，如果有，使得（25）則對(duì)?，有．證僅需證明其符合林德貝格條件，由（25）中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用如今經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展，很多公司在推行商品項(xiàng)目之前都會(huì)做樣本采集、市場(chǎng)調(diào)查、產(chǎn)品試銷、客戶滿意度調(diào)查等工作，在這些工作背后無(wú)不運(yùn)用了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，同時(shí)中心極限定理如也經(jīng)被應(yīng)用到各行各業(yè)中，有較為重要的意義．很多已經(jīng)應(yīng)用到的領(lǐng)域和目前未涉及的領(lǐng)域都還待我們?nèi)ダ^續(xù)探索．文章僅舉了食堂管理問題、盈利問題、抽樣檢驗(yàn)問題、供應(yīng)問題幾個(gè)例子，但還有很多很多，如保險(xiǎn)索賠問題，如公共場(chǎng)所設(shè)置座位問題，產(chǎn)品銷售問題等．文中就不一一列舉了．3．1食堂管理問題某學(xué)校食堂窗口有限，每天吃飯都會(huì)出現(xiàn)很多同學(xué)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，為學(xué)校準(zhǔn)備新加若干學(xué)生打飯的窗口，經(jīng)后勤處深入仔細(xì)考察，研究發(fā)現(xiàn)平均一個(gè)學(xué)生在窗口打飯需耗費(fèi)時(shí)間。目前窗口僅有個(gè)并共有在校生，并總結(jié)需確定問題如下：

（1）增設(shè)窗口前的擁堵概率值？（2）保證以上概率不擁堵應(yīng)怎設(shè)窗口數(shù)？解：（1）設(shè)在某一具體的時(shí)點(diǎn)，名學(xué)生中有名占用窗口，則有擁堵概率值可表示如下：借助隸莫佛-拉普拉斯定理解答如下：上式可確定值有，，則故．擁堵概率值高達(dá)．（2）欲求，使得根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布主要指標(biāo)經(jīng)查詢分布表，得即故至少需增設(shè)窗口個(gè)。問題的變形：要保證以上的概率不擁擠，需至少新增多少個(gè)窗口?解：欲求，使得即即查表得即故至少需增設(shè)窗口個(gè)。（4）若將現(xiàn)有條件僅修改為個(gè)已有窗口，則具體計(jì)算結(jié)果如下所示：答：（1）．（2）同上．（5）若僅將現(xiàn)有條件中學(xué)生占用窗口耗費(fèi)時(shí)間提至，其余的條件不變，則具體計(jì)算結(jié)果如下所示：答：(1)設(shè)某一具體時(shí)點(diǎn)，個(gè)學(xué)生中排隊(duì)打飯的人數(shù)為，則，，，擁擠的概率是擁擠的概率竟達(dá)到．(2)欲求，使得即查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得即故需新增個(gè)窗口．3．2盈利問題假設(shè)某彩票公司即將推行搖數(shù)字中大獎(jiǎng)游戲，共有個(gè)人參加游戲，參加刮獎(jiǎng)活動(dòng)每人交付元，每人中獎(jiǎng)概率為，一旦中獎(jiǎng)，彩票公司向該參與者發(fā)放元作為獎(jiǎng)金，問（1）上述設(shè)計(jì)引發(fā)公司虧本的概率值？（2）相關(guān)活動(dòng)使得利潤(rùn)值不低于元，元，元的概率值？解：設(shè)為刮中獎(jiǎng)的人數(shù)，則，即，根據(jù)德莫佛－拉普拉斯中心極限定理得：（2）設(shè)分別表示不低于、、元的活動(dòng)利潤(rùn)值，該公司利潤(rùn)不少于元的概率為，不少于元的概率為，不少于元的概率為．3．3抽樣檢驗(yàn)問題經(jīng)過某項(xiàng)臨床測(cè)驗(yàn)得出，某藥品對(duì)慢性的血管堵塞治愈率為．測(cè)驗(yàn)員任抽查名服藥病人樣本，若有個(gè)以上得到治愈，則認(rèn)為臨床測(cè)試通過，反之則不通過。若該藥實(shí)際治愈率分別為、，則測(cè)試通過率分別計(jì)算如下：解：設(shè)

指樣本中治愈人數(shù)，則

實(shí)際治愈率為時(shí)，通過這項(xiàng)測(cè)驗(yàn)的概率約為．

實(shí)際治愈率為時(shí)，通過這項(xiàng)測(cè)驗(yàn)的概率約為3．4供應(yīng)問題假設(shè)某工廠有臺(tái)機(jī)器獨(dú)立工作著，工作時(shí)各耗電個(gè)單位的電力，且開工率為，為了完成任務(wù)，要的概率保證這個(gè)工廠電力是足夠的的，問供電所至少要給該工廠多少電力?解:

設(shè)每工作著的機(jī)器數(shù)為，服從二項(xiàng)分布，．機(jī)器工作時(shí)耗電量為千瓦，該工廠的供電量為．查表得解之得即要完成任務(wù)要給該工廠個(gè)單位的的電力．結(jié)論與展望在這篇文章中，首先提出何謂極限定理，并就此在獨(dú)立同分布下較為詳盡地證明了極限定理，同時(shí)對(duì)獨(dú)立不同分布下的情形加以證明，把抽象的例子盡量簡(jiǎn)單化，最后，舉例更詳細(xì)地說明中心極限定理在各個(gè)方面的應(yīng)用．其實(shí)我們的生活中，很多現(xiàn)象都受到不確定因素干擾，亦稱為隨機(jī)因素?cái)_動(dòng)，微小因素聚集起來(lái)整體服從正態(tài)分布的規(guī)律，中心極限定理對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行了完美論證，這在解決實(shí)際問題中有著廣泛而重要的作用．正態(tài)分布在概率分布中十分重要，中心極限定理在概率論中也有著同樣重要的地位．回顧課本，我們?cè)趯W(xué)習(xí)概率論的過程中，先學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量序列的兩種收斂性，隨后又學(xué)習(xí)了復(fù)隨機(jī)變量，從而引出特征函數(shù)，這使得我們學(xué)習(xí)大數(shù)定律和中心極限定理的時(shí)候更為輕松．課本后的習(xí)題也貼近人們的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生活和生產(chǎn)管理，更具有時(shí)代氣息，這也使我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)能更好的聯(lián)系到實(shí)際．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科是教我們有效地收集分析數(shù)據(jù)，再通過建立模型等方式從數(shù)據(jù)中心提取有用信息以進(jìn)行推測(cè)、預(yù)算或?qū)で笠?guī)律、為作決策提供依據(jù)等．同時(shí)這門學(xué)科在一定程度上也屬于交叉學(xué)科，所以它需要與其他學(xué)科相結(jié)合起來(lái)才能更好地發(fā)揮作用．比如概率統(tǒng)計(jì)與醫(yī)學(xué)相結(jié)合，對(duì)臨床診斷、藥物研究、化驗(yàn)檢測(cè)等提供了極大的幫助；概率統(tǒng)計(jì)與經(jīng)濟(jì)相結(jié)合，利于人們更好地預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)前景．尤其在大數(shù)據(jù)時(shí)代，當(dāng)我們?cè)谑褂秒娮赢a(chǎn)品，在使用各種智能工具，在瀏覽大數(shù)據(jù)推送的商品、新聞、廣告等方方面面的信息的時(shí)候，其技術(shù)背后無(wú)不滲透了這門學(xué)科的知識(shí)，其重要性可想而知．生活很有無(wú)數(shù)多種可能性，有時(shí)候感覺自己穩(wěn)操勝算了但還是會(huì)失敗，但是有時(shí)候覺得不可能發(fā)生的事也許真的發(fā)生了．這是因?yàn)楦怕蕿?的事件也未必是必然事件，概率為0的事件未必是不可能事件．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展方向正伴隨著人類認(rèn)識(shí)世界的需要．人類從最開始對(duì)計(jì)數(shù)的需要，發(fā)展到需要測(cè)量，需要分析很小的變化，需要認(rèn)識(shí)不同的形狀和結(jié)構(gòu)，這些需求刺激了數(shù)論、幾何、分析、代數(shù)等學(xué)科的發(fā)展．現(xiàn)在人類需要認(rèn)識(shí)更加微觀的世界，以及微觀世界和宏觀世界的聯(lián)系和統(tǒng)一，所以概率論這門學(xué)科的發(fā)展也會(huì)越來(lái)越好．也希望概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門學(xué)科能隨著時(shí)代的發(fā)展不斷進(jìn)步，與各行業(yè)充分的結(jié)合起來(lái)更好的造福人類．參考文獻(xiàn)[1]卯詩(shī)松．程依明．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M]．北京:高等教育出版社，2004．[2]盛驟．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題全解指南[M]．第四版．浙江：浙江大學(xué)，1990．[3]盛驟，謝式千，潘承毅．