1821矩形的性質(zhì)與判定(精講)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)（原卷版）

矩形的性質(zhì)與判定矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.注意：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.矩形的性質(zhì)1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對(duì)角線(xiàn)相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸.注意：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.過(guò)中心的任意直線(xiàn)可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸（分別通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線(xiàn)）.對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)（即對(duì)稱(chēng)中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線(xiàn)看，矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等.題型1：理解矩形的性質(zhì)1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．兩組對(duì)邊分別相等B．對(duì)角線(xiàn)相等C．兩組對(duì)邊分別平行D．對(duì)角線(xiàn)互相平分【變式11】矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），則點(diǎn)D坐標(biāo)為．【變式12】∠A和∠C是矩形ABCD的一組對(duì)角，則：①∠A與∠C相等；②∠A與∠C互補(bǔ)；③∠A是直角；④∠C是直角，以上結(jié)論中，正確的有．題型2：利用矩形的性質(zhì)判定三角形全等2.如圖，在矩形ABCD中，連接對(duì)角線(xiàn)AC、BD，將△ABC沿BC方向平移，使點(diǎn)B移到點(diǎn)C，得到△DCE．求證：△ACD≌△EDC．【變式21】已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F，DE＝2，矩形的周長(zhǎng)為16，且CE＝EF．求AE的長(zhǎng)．【變式22】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)．求證：AE＝BE．題型3：矩形的性質(zhì)與求角度3.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，則∠DGF等于（）A．70° B．60° C．80° D．45°【變式31】用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺按如圖方式擺放，一把直尺壓住射線(xiàn)OB交射線(xiàn)OA于點(diǎn)M，另一把直尺壓住射線(xiàn)OA交第一把直尺于點(diǎn)P，作射線(xiàn)OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（）A．46° B．52° C．56° D．62°【變式32】如圖，矩形ABCD中，連接AC，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使BE＝AC，連接DE．若∠E＝70°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．50° D．60°題型4：矩形的性質(zhì)與求線(xiàn)段4.如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，若∠AOB＝60°，BD＝8，則DC長(zhǎng)為（）A．4 B．4 C．3 D．5【變式41】如圖，矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，M，N分別為BC，OC的中點(diǎn)，若MN＝3，則BD＝．【變式42】如圖，P是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)．若AB＝6，AD＝8，則四邊形ABPE的周長(zhǎng)是．題型5：矩形性質(zhì)綜合5.如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F(xiàn)，連接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，則圖中陰影部分的面積為（）A．3 B．6 C．9 D．12【變式51】如圖，在矩形ABCD中，O為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)分別與矩形的邊AD，BC交于M，N兩點(diǎn)，連接CM，AN．（1）求證：四邊形ANCM為平行四邊形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，則DM的長(zhǎng)為．【變式52】如圖，已知矩形ABCD，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使得BE＝BC，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)F，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形AEBD是平行四邊形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的長(zhǎng)．直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對(duì)一般三角形不可使用.（2）學(xué)過(guò)的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.（3）性質(zhì)可以用來(lái)解決有關(guān)線(xiàn)段倍分的問(wèn)題.題型6：直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半6.直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，那么這個(gè)三角形的斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為（）A．6 B．6.5 C．10 D．13【變式61】如圖，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC、BD的中點(diǎn)．求證：四邊形ABCD是矩形．【變式62】如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度數(shù)．【變式63】如圖，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E在邊AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的長(zhǎng)；（2）求證：AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形（對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等）.3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.注意：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線(xiàn)相等”都能判定平行四邊形是矩形.題型7：矩形的判定（三直角）7.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中線(xiàn)，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線(xiàn)，CE∥AD，交AN于點(diǎn)E．求證：四邊形ADCE是矩形．【變式71】如圖，平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，求證：四邊形EFGH是矩形．【變式72】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，BF，CN，DM分別是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)O，K，H，G，求證：四邊形HGOK是矩形．題型8：矩形的判定（平行四邊形+一個(gè)直角）8.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB，AC的中點(diǎn)，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，想一想，四邊形AEDF是什么特殊的四邊形？證明你的結(jié)論．【變式81】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB交AE于點(diǎn)E．試說(shuō)明四邊形ADCE是矩形．【變式82】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求證：四邊形EFGH是矩形．題型9：矩形的判定（平行四邊形+對(duì)角線(xiàn)相等）9.如圖，在?ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，試判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式91】如圖，已知?ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，連接AE，CF．（1）求證：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求證：四邊形AECF是矩形．【變式92】如圖，已知平行四邊形ABCD，若M，N是BD上兩點(diǎn)，且BM＝DN，AC＝2MO．求證：四邊形AMCN是矩形．【變式93】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O．（1）若DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，求證：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求證：四邊形ABCD為矩形．題型10：矩形的判定綜合10.如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的長(zhǎng)度．【變式101】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O．過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線(xiàn)，兩直線(xiàn)相交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周長(zhǎng)是4，求菱形ABCD的面積．【變式102】如圖，在平行四邊形ABCD中，P是AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），CP＝CD，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥