第一章 全等三角形（3類壓軸題專練）

第一章全等三角形（壓軸題專練）一．倍長(zhǎng)中線壓軸1．【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過(guò)組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；【問(wèn)題解決】請(qǐng)利用上述方法（倍長(zhǎng)中線）解決下列三個(gè)問(wèn)題如圖，已知，，，為的中點(diǎn)．（2）如圖1，若，，共線，求證：平分；（3）如圖2，若，，不共線，求證：；（4）如圖3，若點(diǎn)在上，記銳角，且，則的度數(shù)是___________（用含的代數(shù)式表示）．2．如圖，在中，為邊上的中線．

(1)按要求作圖：延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．3．（1）方法呈現(xiàn)：如圖1，在中，若，，D為邊的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．

解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，再連接，可證，從而把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_（直接寫出范圍即可）．這種解決問(wèn)題的方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．（2）知識(shí)運(yùn)用：如圖2，在中，D為的中點(diǎn)，，，且線段的長(zhǎng)度為整數(shù)．求的長(zhǎng)度．二、全等性質(zhì)與判定的綜合證明4．如圖，中，，、是邊的中線，有；垂足為點(diǎn)E交于點(diǎn)D．且平分交于N．交于H．連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④；錯(cuò)誤的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．3 D．45．（1）已知等腰和，連接，若直線交于點(diǎn)O，則__________；（2）如圖所示，，連接和，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)G，垂足為F，若，求的面積．

6．如圖，在與中，，，，，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④7．如圖，已知，，，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)在同一條直線上，下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B．C． D．8．如圖，交于M，交于D，交于N，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)三、動(dòng)點(diǎn)全等三角形問(wèn)題9．現(xiàn)有一塊如圖所示的綠草地，經(jīng)測(cè)量，，，，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，小狗汪汪從點(diǎn)B出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)C跑，同時(shí)小狗妞妞從點(diǎn)C出發(fā)沿向點(diǎn)D跑．要使與全等，則妞妞的運(yùn)動(dòng)速度為（）A． B． C．或 D．無(wú)法確定10．如圖，已知中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P在線段上以的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)后，與是否全等？說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，與全等？求出此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出：①經(jīng)過(guò)多少秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇？②點(diǎn)P與點(diǎn)Q第2023次相遇在哪條邊上？11．如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的高，、相交于點(diǎn)，，且．

(1)線段的長(zhǎng)度等于___________．(2)求證：．(3)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)且．是否存在值，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)求出符合條件的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如圖，中，，，．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以每秒1和3的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作于E、作于F，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，以P、E、C為頂點(diǎn)的三角形和以Q、F、C為頂點(diǎn)的三角形全等．

第一章全等三角形（壓軸題專練）答案全解全析一．倍長(zhǎng)中線壓軸1．【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過(guò)組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；【問(wèn)題解決】請(qǐng)利用上述方法（倍長(zhǎng)中線）解決下列三個(gè)問(wèn)題如圖，已知，，，為的中點(diǎn)．

（2）如圖1，若，，共線，求證：平分；（3）如圖2，若，，不共線，求證：；（4）如圖3，若點(diǎn)在上，記銳角，且，則的度數(shù)是___________（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析；（4）【解析】（1）為邊上的中線，，在和中

，，，，即，，，，故答案為：（2）如下圖，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)

，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），，，為的中點(diǎn)，，，，又，，即，在和中，（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），即平分（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接、、

由（1）同理易知，，，，且，，，，，，，，（4）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（3）可得，，，，

，，和互余，，，，，，又，，故答案為：2．如圖，在中，為邊上的中線．

(1)按要求作圖：延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．【答案】6．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)【解析】（1）解：如圖所示，

（2）證明：如圖，

∵為邊上的中線，∴，在和中，，∴．（3）證明：如圖，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．3．（1）方法呈現(xiàn)：如圖1，在中，若，，D為邊的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．

解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，再連接，可證，從而把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_（直接寫出范圍即可）．這種解決問(wèn)題的方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．（2）知識(shí)運(yùn)用：如圖2，在中，D為的中點(diǎn)，，，且線段的長(zhǎng)度為整數(shù)．求的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由題意，，∴，∴，∴，即：，∴．故答案為：．（2）如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接．

因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以．在和中，，所以，所以．因?yàn)椋?，，所以，所以．因?yàn)榫€段的長(zhǎng)度為整數(shù)，所以．全等性質(zhì)與判定的綜合證明4．如圖，中，，、是邊的中線，有；垂足為點(diǎn)E交于點(diǎn)D．且平分交于N．交于H．連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④；錯(cuò)誤的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．3 D．4【答案】A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于K，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明，得到，，，可判斷②③正確，然后利用同角的余角相等得到，進(jìn)而證明，得到，，然后證明，得到，，等量代換可得，，可判斷①④正確．如圖，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于K．，，平分，∴，，，，，，，（ASA），，，，故②③正確，，，，，（ASA），，，，，（SAS），，，，，故①④正確．故選：A．5．（1）已知等腰和，連接，若直線交于點(diǎn)O，則_；（2）如圖所示，，連接和，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)G，垂足為F，若，求的面積．

【答案】（1）或．（2）231【解析】解：如圖：∵，∴，∴，∴，∵，∴；

如圖：∵，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴；故答案為：或．

（2）作于M，于N，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，同理，，∴，∵，∴，，．

6．如圖，在與中，，，，，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】解：在和中，，，，，，故②正確，，故①正確，，，故③正確，若，則，，，顯然與題目條件不符故④錯(cuò)誤，故選：．7．如圖，已知，，，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)在同一條直線上，下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，無(wú)法判斷，故D錯(cuò)誤，故選：D．8．如圖，交于M，交于D，交于N，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】解：∵，，，∴，∴；，故②符合題意；∵，∴；故①符合題意；∵∴，，又∵∴，故③符合題意；∴，∴，∵，∴，∴，∴不能證明成立，故④不符合題意．故選：B．動(dòng)點(diǎn)全等三角形問(wèn)題9．現(xiàn)有一塊如圖所示的綠草地，經(jīng)測(cè)量，，，，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，小狗汪汪從點(diǎn)B出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)C跑，同時(shí)小狗妞妞從點(diǎn)C出發(fā)沿向點(diǎn)D跑．要使與全等，則妞妞的運(yùn)動(dòng)速度為（

）

A． B． C．或 D．無(wú)法確定【答案】C【解析】解：∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，妞妞的運(yùn)動(dòng)速度為，則，，，當(dāng)時(shí)，，，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，，，∴，解得：；綜上分析可知，妞妞的運(yùn)動(dòng)速度為或．故選：C．10．如圖，已知中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P在線段上以的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)后，與是否全等？說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，與全等？求出此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出：①經(jīng)過(guò)多少秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇？②點(diǎn)P與點(diǎn)Q第2023次相遇在哪條邊上？【答案】(1)①全等，見(jiàn)解析；②7.5厘米/秒(2)①秒；②點(diǎn)P與點(diǎn)Q第2023次在AC邊上相遇【解析】（1）①全等，因?yàn)椋?，所以（厘米），（厘米），為中點(diǎn)，（厘米），（厘米），，，在與中，，；②因?yàn)?，所以，因?yàn)?，要使與全等，只能，即，故，所以點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：（秒，此時(shí)（厘米秒）；（2）①因?yàn)?，只能是點(diǎn)追上點(diǎn)，即點(diǎn)比點(diǎn)多走的路程，設(shè)經(jīng)過(guò)秒后與第一次相遇，依題意得，解得（秒，此時(shí)運(yùn)動(dòng)了（厘米），又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為56厘米，，所以點(diǎn)、在邊上相遇，即經(jīng)過(guò)了秒，點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇；②設(shè)第一次相遇經(jīng)過(guò)秒之后，第2023次相遇，，解得：，，，，，點(diǎn)在邊上．11．如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的高，、相交于點(diǎn)，，且．

(1)線段的長(zhǎng)度等于___________．(2)求證：．(3)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)且．是否存在值，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)求出符合條件的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)3(2)見(jiàn)解析(3)或時(shí)，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等【解析】（1）解：，，，即，，故答案為：3；（2）證明：是邊上的高，是邊上的高，，，，在和中，，；（3）解：存在，如圖2，當(dāng)時(shí)，

是邊上的高，是邊上的高，，，，，，，在和中，，，，，；如圖3，當(dāng)時(shí)，

是邊上的高，是邊上的高，，，，，，，在和中，，，，，，綜上所述：或時(shí)，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等．12．如圖，中，，，．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以每秒1和3的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作于E、作于F，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，以P、E、C為頂點(diǎn)的三角形和以Q、F、C為頂點(diǎn)的三角形全等．【答案】1或或12【解析】解