3.1 勾股定理 同步練習(xí)

第3章勾股定理3.1勾股定理基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1勾股定理1.(2023江蘇蘇州姑蘇期中)勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載.如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個(gè)正方形按如圖2所示的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出() 圖1 圖2A.直角三角形的面積 B.最大正方形的面積C.較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積 D.最大正方形與直角三角形的面積和2.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=24，AB=25，則△ABC的面積為.

3.如圖，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10.點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng).知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的驗(yàn)證4.(2023江蘇蘇州月考)如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點(diǎn)E，且△ABE≌△BCD.求證：AB2=BE2+AE2.能力提升全練5.(2022山東濟(jì)寧中考)如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3.沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是()A.136 B.56 C.766.(2021廣西貴港中考)如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=12，D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，E為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，CE，當(dāng)∠ABD=∠BCE時(shí)，線段AE的長(zhǎng)的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.67.(2022四川內(nèi)江中考)勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”.圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的.記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面積分別為S1、S2、S3.若正方形EFGH的邊長(zhǎng)為4，則S1+S2+S3=. 圖① 圖②8.(2023江蘇南京秦淮月考)如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5則b的面積為.

9.(2023江蘇泰州姜堰月考)如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為8，寬為4的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合.(1)求證：AE=AF；(2)求AE的長(zhǎng).10.(2021江蘇連云港期末)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展.現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的“弦圖”.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，AB=c，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說明a2+b2=c2.素養(yǎng)探究全練11.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值.

第3章勾股定理3.1勾股定理答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，較長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為b，較短直角邊的長(zhǎng)為a，由勾股定理得c2=a2+b2，陰影部分的面積=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，較小兩個(gè)正方形重疊部分的寬=a-(c-b)，長(zhǎng)=a，則較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積=a(a+b-c)，∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積.故選C.2.答案84解析在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=24，∴BC2=AB2-AC2=252-242=49，∴BC=7，∴△ABC的面積為12AC·BC=13.解析如圖，延長(zhǎng)AE交BC于F.∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE.在△AED與△FEC中，∠D=∠C,∴△AED≌△FEC(AAS)，∴AE=FE，AD=FC.∵AD=5，BC=10，∴BF=5.在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2=122+52=169，∴AF=13，∴AE=124.證明如圖，連接AC.∵AE⊥BD，CD⊥BD，∴AE∥CD.∵△ABE≌△BCD，∴AB=BC，AE=BD，BE=CD，∠BAE=∠CBD.∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠ABC=90°，∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC=12BD·AE+1=12AE·AE+12BD·BE=又∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AB·BC+1=12AB·AB+12BE·DE=1∴12AE2+∴AB2=AE2+BD·BE-BE·DE，∴AB2=AE2+(BD-DE)·BE，即AB2=BE2+AE2.能力提升全練5.A∵沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB.∵折疊紙片，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE.∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2.設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2=x2.解得x=136∴AE=1366.B如圖，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，ET.∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°.∵∠ABD=∠BCE，∴∠CBD+∠BCE=90°，∴∠CEB=90°.∵CT=TB=6，∴ET=12BC=6，AT2=AB2+BT2=82+62=100∴AT=10.∵AE≥AT-ET，∴AE≥4，∴AE的長(zhǎng)的最小值為4.故選B.7.答案48解析設(shè)八個(gè)全等的直角三角形較長(zhǎng)的直角邊的長(zhǎng)為a，較短的直角邊的長(zhǎng)為b，則S1=(a+b)2，S3=(a-b)2，a2+b2=EF2=16，∵S2=42=16，∴S1+S2+S3=(a+b)2+16+(a-b)2=2(a2+b2)+16=2×16+16=48.8.答案16解析如圖，∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC.在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DEC,∠ABC=∠CDE,∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴BC=DE.∵AB2+BC2=AB2+DE2=AC2，∴b的面積=a的面積+c的面積=5+11=16.9.解析(1)證明：由折疊可知，AE=CE，∠AEF=∠CEF.又∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF.(2)由折疊可知，AE=CE，∴BE=BC-CE=BC-AE=8-AE，∵∠B=90°，∴AB2+BE2=AE2，即42+(8-AE)2=AE2，∴AE=5.10.解析∵大正方形的面積為c2，一個(gè)直角三角形的面積為12ab，小正方形的面積為(b-a)2∴c2=4×12ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2即a2+b2=c2.素養(yǎng)探究全練11.解析在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，∵AB=10cm，AC=6cm，∴BC2=102-62=64，∴BC=8cm.(1)①當(dāng)∠APB=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴t=8÷1=8.②當(dāng)∠BAP=90°時(shí)，∵BP=tcm，∴CP=(t-8)cm，在Rt△ACP中，AP2=AC2+PC2=62+(t-8)2，在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，∴102+[62+(t-8)2]=t2，解得t=252綜上所述，t的值為8或252(2)當(dāng)AB=A