高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及答案（共11單元）05定積分及其應(yīng)用

第五章定積分及其應(yīng)用答案

習(xí)題5-1

1.求世和心.

axJaxJa

解根據(jù)不定積分的性質(zhì)得出：

根據(jù)定積分的定義可知，定積分是一個(gè)確定的常數(shù)，所以

可〃9二0

axJa

2.利用定積分表示圖5-12中的陰影部分的面積

解根據(jù)定積分的幾何意義得

a)(-x)dx-￡(-x)dx

b)1+￡x3dx

c)-fInxdx+fInxdx

J%Jl

3.利用定積分的幾何意義計(jì)算下列定積分的值

(1)xdx；(2)￡(x+l)lr；

(3)\l\-x2dx；(4)j^sin

~2

解(1)如圖1所示，根據(jù)定積分的幾何意義得

(2)如圖2所示，根據(jù)定積分的幾何意義得

[：*+3=a+；)x2=4

(3)如圖3所示，根據(jù)定枳分的幾何意義得

/y]\-x2dx=~~~=g萬(wàn)

(4)如圖4所示，根據(jù)定積分的幾何意義得

￡

/彳sinxdx=-A|+4=0

4.設(shè)物體以速度□(1)=2產(chǎn)+3](單位：加/s)作直線運(yùn)動(dòng)，試用定積分表示該物體從靜

止開(kāi)始經(jīng)過(guò)時(shí)間T以后所走過(guò)的路程s.

解根據(jù)定積分的定義可得s=[(2t2+3t)dt

5.已知=我=1.7,(g(x>〃=2,,且(工人=1.5求下列各值:

⑴「人人；⑵。(匯出；⑶f[3/(x)-2g(x)塊.

解根據(jù)定積分的性質(zhì)可知：

(1)￡f(x}dx=￡f(x)dx+f{x}dx

代入數(shù)據(jù)1=￡7(0氏+1.7,可得￡7(工加二一0.7

(2)￡g(x}dx=￡4-jjg(x)dx

代入數(shù)據(jù)2=￡g(xRt+1.5,可得];g(x*x=0.5

(3)￡[3/(x)-2^(x)]<i￥=3￡f(x)dx-2^g(x)公=3x(-0.7)-2x0.5=-3.1

習(xí)題5-2

f.r7T

1.求函數(shù)y=，sinrdr當(dāng)x=0及x=彳時(shí)的導(dǎo)數(shù).

解因?yàn)閥'=—PsinZeZr=sinx

dx）。

幾%=sh嚀考

所以y'Lw=sin0=0,

2.計(jì)算下列各導(dǎo)數(shù)

(1)吁(2)鄉(xiāng)小』

小)。辦"J"J

dfCOSX-

(3)—COS乃廣大

解按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)思路來(lái)解決.

(1)—['y]\-^-t2dt=—(f71+rt/r)—(令〃=/)

dx^duJ。dx

=J1+/x2x

=2x71+x4

(2)

Vi+W

3x’2x

(1rcosx

(3)cos"力=COS(7FCOS2x)(cosx)z-cos(^sin2x)(sinx)’

公Jsinx

=一sinxcos(7icos2x)-cosxcos(^-sin2x)

3.計(jì)算下列定積分

(1)P(3x2-x+V)dx\

(3)￡y[x(\-\-4x)dx；

/、fO3x4+3x2+1,1,

(7)；-------dx；(8)----dx\

Lx2+1J-eT1+X

乃

(9)『|cosx|tZx；(10)Ftan29d0；

Jo

[x+lX<1

(11)其中f(x)h

2

[2X>1

(12)j^|l-j^dx.

解(1)￡(3x2-x+\)dx=(x3-^x2+x)

2

2

21

(2)

8

9

922271

(3)jVx(l+4x)dx=￡(>/x+x)dx=(—x+—x)

443246

廣$公:5/言』($=x

(5)—arctan-=--

tzao3a

a

11/、.x71

(6)(—)=arcsin—

06

4

3x+3x—)dx=「(3x2+―)dx

(7)x2+l+

x+1JTx+1

(x3+arctan戈)[：=1+-^

1iO

(8)----dx=d(x+1)=(ln|l+^|)|

1+XJ1+X-e-l

J~|COSA|^=j^cosxd^-

(9)cosxdx+[[cosxdx

=sin4

/?A/

(10)tan261/^=(see20-\)d0=(tan0-0^=l~^

x

ff^=k+1)△+J:5法=gV+J+U8

(11)

063

2

(12)j^|l-x|4Zr=￡(l-x)dr+^2(x-1)tZr=(x--x2)

。個(gè)7)=1

1

4.在應(yīng)用牛頓―萊布尼茨公式計(jì)算定積分「cosKdr時(shí)，可否用sinx+2或sinx+3

作為cosx的原函數(shù)”(x)使用呢？為什么？

解可以.根據(jù)牛頓一萊布尼茨公式，找到8sx的一個(gè)原函數(shù)即可，而sinx+2和

sinx+3均為cosx的原函數(shù)，所以均可使用，計(jì)算的結(jié)果相同.

5.求極限

[cos/2Jr

(1)lim^--------(2)lim^-----

XTOxIX-\

解分析：這兩個(gè)極限均為“Q”型，可以采用洛必達(dá)法則，分子分母分別求導(dǎo)，再求極限。

0

fcosr2Jr

COST2

(1)lim^--------=lim

3°Xx->01

11mslj

IlX-lX-M1

習(xí)題5-3

1.計(jì)算下列定積分

?dx

(1)(2)x+-}dx；

-2ll+5x3

(3)Psin3xcosxz/r；(4)

Jo

[?6arctanx

(5)(6)

b1+x21/如

1sinx.

(7)(8)

1—；

X\l\+]nx1014-COSX

I,(10)

sx-\,

(11),--dx；(12)

3VT+7

V3dx

(13)(14)「x2yla2-x2dx；

x2yj\+x2Jo

底________________________________

3

(15)4(16)J^Vcosx-cos

-I

(1)f-，—=—!一J(ll+5x)=-ln|ll+5x|=-ln6

解

J-2ll+5x5J-2ll+5x51匚5

(3)

rV3arctanx,種,12

2-_n一

.....-ax=arctanAzzarctanx=—arctanx=

(5)Jol+%2Jo2018

=-ln(x2+2x+3)=-ln2

02o2

“11/------K

(7)f,dx=f/d(l+Inx)=2Vl+lnx=2

JlxVl+lnxJ,Vl+lnxh

(8)「一SmX—dx=-P-----Jcosx=-[arctan(cax)1^=—

Jol+cos2xJol+cos2x北2

(9)令我=/,則4=/,公=4/力，當(dāng)％=1時(shí)，r=l：x=16時(shí)，t=2.

代入原式得

f16dx「24/「2/3+88、」/2,8\」

----==---dt=4\(勸=4(r-2f+4)dt

2+Vx2+tI2+t2+t-----I------------2+t

、竺一321nd

=4(-r3-/2+4/-81n|2+z|

,33

(10)令x=J^sinf(-巳wd巴)，則dx=J^cosfdr,

22

當(dāng)x=0時(shí)，r=o；丁=后時(shí)，，=工.代入原式得

2

a_____元無(wú)

￡yl2-x2dx=戶2cos2tdt=J，(1+cos2t)dt

=(f+gsin2/)271

o=i

(11)令Jl+x=t,則x=/一],心:=2fdf,當(dāng)x=3時(shí)，Z=2；x=8時(shí)、t=3.

代入原式得

x-1r3f2一231?326

-^dx=\—x2tdt=2f\(0r-2)dt=2x(-t-2t)=—

f2r2

(12)令1+V^=f,則x=?—l)2,公=2(，-1)力，當(dāng)x=0時(shí)，/=1；x=4時(shí)，f=3.

代入原式得

|：⑵-4+[勸

=(產(chǎn)—4r+21nW)|：=21n3

(13)令x=tan/(一三v/〈工)，則J1+Y二sec/,d^=sec2/d/;當(dāng)x=l時(shí)，r=—：

224

x=JJ時(shí)，/=工.代入原式得

3

Fdx13=V2--y[3

J77T77J需"爵伉sin/三3

(14)令x=0sinf(—?jiǎng)ttZr=acosfdf;

22

當(dāng)X=0時(shí)，f=0;X=4時(shí)，.代入原式得

2

「x2yla2-x2dx=E/s桁2/cos2tdt=￡/(S^Z)2力=a￡l-cos4r^

_cr(tsin4fE_M

-T28-0―石

(15)々x=sinf(—工則公=cosf力；

22

I7T7T

當(dāng)x=-7=時(shí)，/=—；x=l時(shí)，f=—.代入原式得

V242

LtO=吃箸小色寨廣力=jj(csc2r-l)Jr=(-cotr-唬二1-(

KKK____

(16)[Jcosx-cos3xdx=^^/cosx(l-cos2x)dx=^Vcosx|sinA)dx

22

4

2VcosxsinAzZr=-2

Jo3

2.利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列積分

(1)「34nxM(2)后庫(kù)喧人

Jr4

⑶1:節(jié)等如⑷匕4cos4。曲.

解（1）被積函數(shù)fsinx為奇函數(shù)，積分區(qū)間［-肛乃］關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以

fx6sinxtZr=O

J-1

（2）被積函數(shù)包泮立為偶函數(shù)，積分區(qū)間|"-!二］關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以

7^7L22」

公=2.（amsinx）2da「csinx=2（aRsinx）.=H

-2yl\—x20->Jl-x203o324

（3）被積函數(shù)'1為奇函數(shù),積分區(qū)間［-4,4］關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以

x+5

產(chǎn)x5cos2x.八

-；----ax=0

L4X2+5

（4）被積函數(shù)4cod。為偶函數(shù)，積分區(qū)間一關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以

22

4cos4Odd=2p4cos4Odd=2p（l+cos2（9）2d0=2尸（1+2cos2（9+cos226）dO

行—分號(hào)~―+喑修

3.證明：fsinnxdx=2psinMxdx

2r

證明vsin"xtZr=jsinxtZv+jsin”xdx

2

令x=7i-t,則Qr=—力;當(dāng)x=￥■時(shí)，t=—；x=乃時(shí)，r=0.

22

T0—

代入積分J；sin"xdx=一jsin"（乃一，）力=尸5山"tdt=尸sin"xdx

22

[sin/,xtZr=2psinMxdx得證.

習(xí)題5-4

1.計(jì)算下列定積分

ororoioror

rsoopr^J=xpx\s\sxiJ-|ruiszr=ruis^^xJ=xpxsoozxJ(9)

/、Z°f

(l-d丁欠。"JK始

xpxsoox3\-\-^=xpxso2x3[-0卜iqs/+i-

oror

apxuisrsoo^=aprso。=rp,soo.^(S)

』+LM=W呷，』+：|vv應(yīng)JxQ

,70

COfZ/20for

xu^yoiep^x—J-rui?jDJB產(chǎn)工二(/ppTumonj=JT7XUPJOJUXj(V)

"P型上匕上_=空空牙+匕心

?「I，2”「rXSOOy21%

-f-fx_uis[

空X]O%4-[rjoor-=(X)O3-)/7X￡|=^px.osor￡|=印-J-￡|(E)

1=￡|ruis=^xsoozj+￡|rsoox-=(xsoo-)pxZJ=^pxuisr^|(3)

MX乂MM

y-I=jJ_，=MNJ+°|JY_=(J_)/J=xp_axJ(T)

x拂

or

.部riqj(8):*"iqs。1外(￡)

T

oror

():邛”?SO。2

A7?xsoo'_rxJ9(S)

Of噂XW4S--

WKinnaiuT](fr)(￡)

5ATzruisr^f(Z)

(T)

i?2

x12JE

(7)|^arcsinAzZr=xarcsinx|2-J^---=公=二+1=J(l-x2)

X2

o=H-

(8)JInX6/r=xln-J\dx=e-j^=1

2.計(jì)算下列定積分

^^2.

(1)cos(lnx)dx：(2)j^4y/xsmy/xdx.

解(1)方法一：令lnx=f,則x=e'，當(dāng)x=l時(shí)，f=0；x=e時(shí)，z=l.

￡cos(lnx)dx=￡costde1=e'cos/1；+卜sin/力=ecos1-1+fsintde1

=ecosl-1+dsinf|；一［：-cosf力=ecosl-l+esinl-￡cosfc/e,

所以￡cos(lnx)dv=^x(ecosl+^sinl-l)

方法二:Jcos(lnx)dx=xcos(Inx)1+(sin(inx)dx

=ecosl-l+xsin(lnx)|；-jcos(lnx)dLv

所以Jcos(lnx)d^=-^x(^cosl4-esin1-1)

(2)令4=f,則4=",公=2以。當(dāng)x=0時(shí)，r=0：x=L時(shí)，t71

45

代入原式得

f^VxsinVx^/x=f22r2sin/i/r=-p2rdcost=-2rcosrl2+f24tcostdt

JoJoJoIoJo

￡￡f-￡

=4psin/=4zsin/|J-4j2sinrJr=2^+4cosr|J=2乃一4

3.用遞推公式計(jì)算下列定積分：

⑴￡(1-X2)2JX(2)￡(l-x2)2dx

解分析：這兩個(gè)題均利用例5得到的遞推公式來(lái)求解.

(1)令x=sin,(--WOdx-costdt,當(dāng)x=0時(shí)，，=0；x=1時(shí)，t=—

222

代入原式得

2258.8

j^(l-x)dr=j^costdt=—x—costdt=噌=——

——15sin1015

(2)令x=sin/(-巳VZK')，則公=cos/dl,當(dāng)x=O時(shí)，/=O；x=l時(shí)，”工

222

代入原式得

￡(12氤=￡JLS冗5萬(wàn)

cos6tdt=-x—x—戶1力=2

642Io16I。32

習(xí)題5-5

計(jì)算下列廣義積分:

Ioe~Xdx;

((2)

x

(3)(4)Jxedx；

**>i

(5)dx

L0°x2+2x4-2

b

f+oo1”?b11

解⑴I六螞(—=lim(——x3)=lim(--

IX453&->+?33

e~xdx=lim[e~xdx=lim(一\h=lim(l-e~b)=i

I。bfwoJo22I110

x1

(3)dx=limlim=lim(ijh-4)=+<o

6->-wo

所以廣義積分『白伙發(fā)散.

yjx

xexdx=lim廣

(4)xdes-limxexexdx

(-ooJo

lO

lim(-aea-e\)=lim(ea-1)=-1

4<X>

(5)--------dx+-------dx

匚ohL^X2+2X+2JOX2+2X+2

?o1、b1

=limd(x+l)+limt/(x+l)

QTfJa(x+l)2+l/>—?+ooJO(X4-1)2+1

limarctan(x+l)|0+limarctan(x+l)P=TT

—'a〃一>+?IC

習(xí)題5_6

1.求由下列曲線圍成的圖形的面積：

(1)y=—=x和x=2；

x

(2)y=和x=l；

(3)y=lnx,x=O,y=ln〃,與y=lnZ?(b>a>0)；

(4)y==c與x=0；

(5)y=2x-^y=3-x2；

(6)y=/與>=2x+3；

(7)y=x3,x=ORy=-l.

解(1)y=1,y=x和x=2

x

如圖5所示，選取x為積分變量，所求面積位于02］之間，在［1,2］上任取一個(gè)小區(qū)

間上x(chóng)+公］,則相應(yīng)于此小區(qū)間的窄條面積可用高為工-工，寬為公的小矩形面積近似代

x

替，從而得面積微元

dA=(x--)dx

x

根據(jù)微元法得

,21

A=\(x——)dx

Jix

=(ix2-ln|x|)=|-ln2

(2)y==0-'和x=l

如圖6所示，選取x為積分變量，所求面積位于［0,1］之間，在［0,1］上任取一個(gè)小區(qū)

間k了+。耳，則相應(yīng)于此小區(qū)間的窄條面積可用高為寬為公的小矩形面積近似

代替，從而得面積微元

dA=(ex-e~x'\dx

根據(jù)微元法得

A=［\ex-e'x)dx

Jo

圖6

=(e")卜e+；-2

(3)y=Inx,x=0,y=In與y=]nb[b>a>6)

如圖7所示，選取y為積分變量，所求面積位于［in之間，在［inojn/?］上任

取一個(gè)小區(qū)間［y,y+dy］,則相應(yīng)于此小區(qū)間的窄條面積可用長(zhǎng)為"-0,寬為dy的小矩

形面積近似代替，從而得面積微元

dA=eydy

根據(jù)微元法得

flnb

y

A=\Jin<7edy

nb

=e-y\f=b,-a

IIna圖7

(4)丁=",y=6與工=0

如圖8所示，選取工為積分變量，所求面積位于［0,1］之間，在［0』上任取一個(gè)小

區(qū)間卜,彳+郵，則相應(yīng)于此小區(qū)間的窄條面積可用高為寬為公的小矩形面積近似

代替，從而得面積微元

dA=(e-ex)dx

根據(jù)微元法得

A=f(e-ex)dx

Jo

=(ex-ex)[=l

(5)y=2x^y=3-x2

y—2%

如圖9所示，解方程組產(chǎn);小得兩條直線的交點(diǎn)為(-3,-6)和(⑵,

選取x為積分變量，則所求面積位于［-3,1］之間，在［-3,1］上任取一個(gè)小區(qū)間［x,x+田

則相應(yīng)于此小區(qū)間的窄條面積可用高為3-/一2工，寬為公的小矩形面積近似代替，從而

得面積微元

dA=(3-x2-2x)dx

根據(jù)微元法得

A=f§(3-/一2x)dx

=(3X--^X3-X2)32

-3=T

(6)y=x2^y=2x+3

如圖10所示，解方程組>得兩條直線的交點(diǎn)為(-1,1)和(3,9),

v=2x+3

選取X為積分變量，則所求面積位于［-1,3］之間，在［-1,3］上任取一個(gè)小區(qū)間上X+M，

則相應(yīng)于此小區(qū)間的窄條面積可用高為2尤+3-/,寬為公的小矩形面積近似代替，從而

得面積微元

dA=(2x+3-x2)dx

根據(jù)微無(wú)法得

A=J[(2x+3-x2)dx

3

=(爐+3]」馬.二必

3_13

(7)y=/,元=0及y=-1

如圖11所示，選取x為積分變量，所求面積位于［-1,0］之間，在上任取一個(gè)

小區(qū)間卜x+公］，則相應(yīng)于此小區(qū)間的窄條面積可用高為/+1,寬為辦的小矩形面積近

似代替，從而得面積微元

dA=(x3+\)dx

根據(jù)微元法得

4-14

2.求下列曲線所圍成的圖形繞指定軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積:

(1)y=Vx,x=l,x=4,y=0,繞x軸；

(2)y=sinx,x=O,x=;r,y=0,繞x軸；

(3)y2=X,=y,繞y軸；

式

(4)y=sinx,y=COSR,X釉上的線段0,萬(wàn)，繞x軸；

(5)y=W-4,y=0,繞不軸.

解(1)y=Vx,x=l,x=4,y=0,繞x軸

如圖12所示，繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，積分區(qū)間為[1,4],曲邊梯形的曲邊是)，二?,代入

（2）y=$山%,欠=0,冗=跖丫=0,繞入軸

如圖13所示，繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，積分區(qū)間為［0,乃］,曲邊梯形的曲邊是y=sinx,代

入體積公式得：

V=%(sinx)2dx

（3）y2=X,X2=），,繞y軸

如圖14所示，繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，積分區(qū)間為［0,1］,曲邊梯形的曲邊是x=和x=V,

所求體積為兩旋轉(zhuǎn)體體積之差，代入體積公式得：

V=（6）"）'一"［O'/辦'

(4)y=sinx,y=cosx,x軸上的線段0弓，繞x軸

如圖15所示，繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，積分區(qū)間為o,g,在o,f區(qū)間上曲邊梯形的曲邊

24

7171

是曠=$皿1，在區(qū)間上曲邊梯形的曲邊是y=cosx,代入體積公式得:

V=7F(sinx)2dx+^^(cosx)2dx

4

￡￡

1,sin2x、41sin2x.2乃27

=-^x---^―)+7萬(wàn)(工+^—)

22n22萬(wàn)~T~2

(5)y=/一4,y=0,繞X軸

如圖16所示，繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，積分區(qū)間為[-2,2],曲邊梯形的曲邊是丁二/一4,

代入體積公式得：

丫=乃『2(/_4)2公

(x4-8x2+16)iix

J583yJ512

53_215

圖16

3.求曲線y=Incosx在0WxV工一段的弧長(zhǎng).

4

sinx

解由于y'=-2—，代入弧長(zhǎng)公式得:

COSX

S=(4Ji+(一dx=￡4secxdx

無(wú)

=ln|secx+tanA||^=ln(V2+l)

4.壓縮彈簧所用的力與彈簧的長(zhǎng)度成正比，一個(gè)彈簧原長(zhǎng)為30。垢壓縮0.01陽(yáng)時(shí)需用

力2N，求把彈簧從0.25加壓縮到0.2m時(shí)所作的功.

解設(shè)彈簧壓縮上加時(shí)，外力為了(X),設(shè)/(X)=%M(改為常數(shù))，由題意知，當(dāng)x=0.01

時(shí)，/(x)=2,于是

2=0.0炊

解得％=200,所以f(x)=200x,取x為積分變量，積分區(qū)間為［0.05,0.1］,在［0.05,0.1］

上任取小區(qū)間卜/+公］,得功微元為

dW=200xdx

所以外力作功為

W=\2003=100?=0.75J

JO0510.05

5.一物體按規(guī)律X=/在某種媒質(zhì)中作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)

算物體由X=0移動(dòng)到X=〃時(shí)，克服媒質(zhì)阻力所作的功.

224

解因?yàn)椋?產(chǎn)，所以速度》=犬=3產(chǎn)=3(/)2=3一,則阻力f(》)=%/=9依￡

取1為積分變量，積分區(qū)間為［0,〃］，在［0同上任取小區(qū)間區(qū)x+閡，得功微元為

4

dW=9k^dx

所以外力作功為

1-27-a27-

W=f9kx3dx=—kx3=—ka3

Jo77

o

6.有一個(gè)圓錐貯水池，深15加，口徑206，里面盛滿了水，問(wèn)把池中的水全部抽到池

外，需作多少功？

2

解位于貯水池底面上方工機(jī)，厚度為dr的一層水的體積為dV=萬(wàn)x(］X＞必:，這層

,2,

水所受的重力為R^gxlOSx加弓工)2山:，由于公很小，所以這層水大約抽(15-此機(jī)就

被抽出貯水池，因此功微元為

4,,

dF=—x\03g^x2(［5-x)dx

又因?yàn)樗畬游挥趨^(qū)間［0,15］上，所以抽盡水所作的功為

卬=1-X1o3(15-x)dx=1875^(V)

7.一物體以速度u=3r+2t(m/s)作直線運(yùn)動(dòng)，求它在f=0到，=3秒一段時(shí)間內(nèi)的平

均速度.

解物體的速度u=3?+2f,根據(jù)定積分的物理意義及平均值公式得:

v=1￡(3t12+2t)dt=\2(m/s)

8.求函數(shù)y=2xe-x在［0,2］上的平均值.

解根據(jù)定積分的平均值公式得：

v=-f22xe~xdx=1-W

21。/

9.求交流電U=U0|sin在一個(gè)周期內(nèi)電壓U的平均值.

解交流電U="Jsin函它的周期為根據(jù)定積分的平均值公式得:

乳

—1r-....s一/cosm、。2

U=-。4sincotdt=—U(-------)=-Uo

Jo7tQCDQ7i

CO

復(fù)習(xí)題五

1.填空題

(1)—rsinrdt=_________；(2)—[\mrdt=_________；

dx^dx」。

(3)已知Z〉0,且((2工72%=0,則A=.

(4)jx4sin3xdx=；

⑸￡7(加+,/(加=---------

解(1)0；(定積分為一個(gè)數(shù)值，再求導(dǎo)為0)

(2)sinx2；(積分上限函數(shù)求導(dǎo))

(3)k=3；(￡(2x-x2Xr=(x2-^3)=公-g/=0n1=3)

(4)0；(被積函數(shù)/sii?%為奇函數(shù)，且積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，積分結(jié)果為0)

（5）o；（'/（九/二

2.計(jì)算下列定枳分

(1)f2cos3xsin2xdx\(2)口X-物;

Jo

2

(5)(6)Jxlnxdx；

r1+Inx,

(7)(8)farctan>[xdx；

Jo

12f2six2—1,

(9)(io)J---3―dx.

X

解(1)「cos3xsin2xdx=2|2cos4xsinxdx=-2口cos4xdcosx

JoJoJo

2

5

(2)￡|x-2|t￡v=￡(2-xX^+￡(^_2Xr=(2x-—x2)+(—x2-2x)=—

2

oo2Q22

(3)￡(l-sin3x)/x=￡sinx(l-cos2=j(1-cos2xWcosx

(1/4

=%lQcosxcosX)=乃

33

(4)令工=$8,(04/<工)，則-1=tant,dx=secflantdt;

2

當(dāng)％=1時(shí)，/=0；x=2時(shí)，，=工.代入原式得

3

12y/x2-Idx

=^seertantdt=「(sec21-l)dt=(tani-0|J=V3

IXJoseer103

/-----5—tt

(5)令j5-4x=/,則1=----,dx=——力;當(dāng)x=-l時(shí)，t=3；x=l時(shí)，t=\.

42

代入原式得

3j_

「借7小一1（5-尸）力=北（5T2）力［⑸千）=

i6

(一

(6)[L9=11n2wL2)=L2]n2Y11x2d(\n2x)

?i22ii2

12rli,12f4i」/l2、

=—exlnAWC=—lnAa(—x~)

=—--x2lnA+\e—xdx=—(e2

22IJi2