高考導(dǎo)數(shù)解答題專(zhuān)練一（恒成立問(wèn)題）

高考導(dǎo)數(shù)解答題專(zhuān)練一(恒成立問(wèn)題)

在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(需要熟記)：

⑴曲線(xiàn)在工=/處的切線(xiàn)的斜率等于八與)，切線(xiàn)方程為y=r(x0)(x-^0)+/(x0)

(2)若可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x=xo處取得極值，則(*°)=0。反之，不成立。

(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),不等式:(x)>0(<0)的解集決定函數(shù)f(x)的遞增(減)區(qū)間。

(4)函數(shù)/(x)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：Vxe/r(x)N0(40)恒成立

(5)函數(shù)/*)在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于f(x)在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程f'(x)=0在區(qū)間

I上有實(shí)根且為非二重根。(若/'(X)為二次函數(shù)且I=R,則有A>0)。

(6)/*)在區(qū)間I上無(wú)極值等價(jià)于/a)在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到/'")20或((幻00在I

上恒成立

⑺若匿/。)>0恒成立，則<(%)min>0；若Vxe［,/*)<0恒成立，則/(初皿<0

(8)若三/€］,使得f*0)>0,貝Uf(X)max>0；若三%￡/,使得f(%)<0,貝

(9)

⑼設(shè)f(X)與g(X)的定義域的交集為D若DX￡D/(X)>g(x)恒成立則有［f(x)_g(x)L>0

(10)若對(duì)XX%￡/］、X2GI2,f(X］)>g(X2)恒成立，則/(x)min>g(X)max?

若對(duì)V%w/］，3X2el2,使得/(3)>以工2)，則/(x)min>g(X)min-

若對(duì)V%￡/］，3X2el2,使得/(%)<且(々)，則/(幻max<g(%)max?

(11)已知f(x)在區(qū)間L上的值域?yàn)锳,,g(x)在區(qū)間八上值域?yàn)锽,

若對(duì)V芭w4，三々￡八，使得/(為)=g*2)成立，則AqB。

(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程/'(%)=0有兩個(gè)不等實(shí)根與、%,且極大值大于0,極小值

小于0.

(13)證題中常用的不等式：

①冗一1(%>0)②ln(x+DSx(x>-l)③e'Nl+x

1.已知函數(shù)/0)=-/+ar-3,g(x)=xlnx,aeR.

(1)當(dāng)x>0時(shí)，2g(x)>f(x),求〃的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)工>0時(shí)，^(x)>---.

ee

解：(1)當(dāng)>>0時(shí)，2g(x)../(x),即2xlnx..-x2+ar-3，即用2"版+"+3_21nx+x+—>

xx

?/i(x)=2lnx+x+-(x>o)i貝IJ/(X)=2+I—M=1￡1^Z12,

XXX~X

.,.當(dāng)xe(O,l)時(shí)，h\x)<0,力(x)在(0,1)單調(diào)遞減，當(dāng)xw(L+<x>)時(shí),hr(x)>0,力(x)在

(1收)單調(diào)遞增，

hMmin=h⑴=4，則4,4.

實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(-8,4］；

(2)證明：*/g(x)=xlnx,

g'(x)=\+lnx,

易知函數(shù)g(x)在(0-)上單調(diào)遞減，在(L*o)上單調(diào)遞增，

ee

.?.當(dāng)%>o時(shí)'g(x%=g(3=—L

ee

令*(%)=5-2,貝

ee/

易知以外在(0,1)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

e

又兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>—

ee

2.已知函數(shù)/(x)=M+cosx-l(其中工.0),八幻為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)求函數(shù)/“)在”=0處的切線(xiàn)方程；

(2)若不等式f(x)2ax恒成立，求a的取值范圍.

解：(1)/Xx)=(x+l)ev-sinx,貝1］尸(0)=1,

又/(0)=0，

函數(shù)f(x)在x=0處的切線(xiàn)方程為y=x;

x

(2)h(x)=xe+cosx-\-axf貝!j〃(x)=(x+l)e*-sinx-a,

〃"(x)=(x+2)ex-cosx>0(x.0),

.?./?”)在［0,”)上單增，

①當(dāng)a,,1時(shí)，〃(幻隔一々0,

??/(x)為增函數(shù)，則為(刈.次0)=0恒成立,符合題意；

②當(dāng)時(shí)，由hf(x)在［0,+00)上單增，且/Z(0)=l-a<0,

H(lnd)=alna+a-sin(lna)-a=alna-s\n(bia)>Ina-sin(/〃a)>0,

故存在唯一x0G(0,+<?),使得"(％)=(),則當(dāng)xe(0,/)時(shí)，h'(x)<0,〃*)單減，

〃(x)v〃(0)=0，此時(shí)與心)..O矛盾,不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(F,1］.

3.已知函數(shù)/(xx/-。/心.

(I)當(dāng)々=2時(shí)，試判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(II)當(dāng)a>0時(shí)，若對(duì)任意的4€(L+OO),/*)>/一夕+〃恒成立，求”的取值

e

范圍.

解：(I)a=2時(shí)，f(x)=x2-2bvc?/(x)的定義域是(0,yo),

f(x)=2x--=2('+l)d,

XX

令ra)>o,解得：%>i,令r*)<o,解得：o<x<i,

故f(x)在(0,1)遞減,在。,+00)遞增;

(II)/(x)>x2-ex+a恒成立,即ex>a(\+Inx),

,/x€(->+oo)，/.l+//tr>0,

e

故當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)任意XG(L+<?),a<--——恒成立，

e\+bvc

令g(x)=；，則

\+lnxx(l+Inxy

^h(x)=x+xlnx-\f貝lj〃(x)=2+/nr,

,/xe(->4-oo),:.2+lnx>0函數(shù)〃(X)在d，+oo)上單調(diào)遞增，

ee

顯然力(1)=0,故當(dāng)［vx<l時(shí)，g，(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，grM>0,

e

故函數(shù)g(x)在(L1)遞減，在(I,+oo)遞增，

e

故g(x)..g(1)=ef故0va<e,故〃的取值范圍是(0,e).

4.已知函數(shù)f(x)=2ej-3+l)x,XG［0,+oo).

(1)若4=0,證明：f(x)>2+x+x2；

(2)若f(x)N2jx2+(a+l)x+1,求a的取值范圍.

解：(1)證明：若a=0,則f(x)=le1-x,即證2e,-x..2+x+%2,只需證/..l+x+'d,

2

^g(x)=eT-l-x--x2,x.O,則g，(x)=e*-l-x,g"(x)=eT,

顯然g"(x)..O在［0，+QO)上恒成立,

.卬。)在［0,4-o)上單增，

?..g'a)..g'(o)=o,

.?.g(x)在［0,+00)上單增，

??.g(x)..g(0)=0，

/.ex?即得證；

2

(2)令被x)=2e"“-(々+l)x_2G+(a+l)x+1,

依題意，對(duì)任意xe［0,+<?),雙幻..0恒成立，則以0)=""-2..0,解得％0,

又「x2+(a+l)x+l..O在,+oo)上恒成立，x=0顯然成立,

..-(4+1),,1+■!"在xw(0,+co)上恒成立，即-3+1)”2,解得

X

故-3釉0;

下面證明：當(dāng)-琛山0時(shí)，以。.0在xw[0,+00)上恒成立，

令=加…-(a+1)4-2M+3+1)口+1,ae[-3,0],

貝lj=-2ex-a-x-,“，

，x~+(a+l)x+1

vx.O,:.f(a)<0,

t(a)在[-3，0]上單減，則t{a}../(O)=2ex-x-2>]x2+x+\,

由(1)知，\.l+x+-x2

e2f

故2ex-x-2\/x2+x+1?(1+x+；f)-x-2\/x2+x+1=(Jx2+x+1-I)20,當(dāng)且僅當(dāng)

x=0時(shí)，取等號(hào)，

故奴x)..O在xe[O,+oo)上恒成立，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3,0].

5.已知函數(shù)f(幻=ex-axlnx-\{aeR),g(x)=xex-x2.

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求證：/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

(II)當(dāng)X之1時(shí)，f(X)4g(X),求a的取值范圍.

解：(I)證明：當(dāng)々=1時(shí)，f(x)=e*-aWar-l,xe(0,+oo)?

則/(%)=6，一加:一1,又/(%)=小」在(0,+oo)上單調(diào)遞增,且廣(3=2<0,且

x2

r(1)=<?-i>o,

.?.切ed，1),使得尸(%)=*一,=0,

2%

當(dāng)X€(O,X°)時(shí)，r‘(X)V。，當(dāng)+8)時(shí)，廣")>0，

.?.尸3在(0,題)上單調(diào)遞減，在(M，位)上單調(diào)遞增，

二./'(%)./(%)=*一/陣-1,

?/e1?--=0>

%

e"=—,bix0=-x^,

?%

/.f\x)=+—-1>0?

X。

.?./a)在(0,+oo)上單調(diào)遞增;

(II)當(dāng)x..1時(shí)，f(x\,g(x),問(wèn)題等價(jià)于(x-1)ex-X2+ox加:+1..0(記為*)在口,+00)

上恒成立，

1

令g(x)=(x-1)，-x+axltix+1f

g'(x)=x(ex-2)+a(lnx+1),

:g(1)=0,.?.要使(*)式在內(nèi)［1,+8)上恒成立，則必須/(1)-e-2+a..O,

a..2-et

下面證明當(dāng)a.2-e時(shí)，g(x)..g(0)在xe［l,+QO)上恒成立.

,/X..1>;」nx+l>0,gr(x)..x(ex-2)+(2-e)(btx+l),

又加x+L,x,

/.gf(x))&(el-2)+(2-e)x=x(ex-x)0,

.■.當(dāng)a.2-e時(shí)，g(x)在［1,十a(chǎn))上單調(diào)遞增，

g(x)..g(1)=0,即(*)式在xe［l,18)上恒成立，

故a的取值范圍為［2-e,+oo).

6.已知函數(shù)f(x)=，z+ar+a3wK).

(1)討論了⑺的單調(diào)性；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，f(x-l)+ln(x+l)21,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

解：(1))???/(x)=〃+ar+a的定義域是R,

r(x)=ex“+a,

當(dāng)a..O時(shí)，r(x)>0在R上恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞增；...2分

當(dāng)av0時(shí)，令/⑶=0,得x=砥-a)-1,在(-oo,ln(-d)-1)上有f(x)<0,在(ln(-a)-1,

+oo)上有八力>0,

.?./(?在(-oo,加(-Q)-1)上是減函數(shù),在(加(-a)-l,+oo)上是增函數(shù)….…4分

(2)當(dāng)尤.0時(shí)，/(X-1)+/M(X4-1).,1,EPeA+av+//?(x+l)-1..0(*)

令g(x)=e*+a￥+/〃(x+l)-l(x..0j，則g,(x)=ex+a+—^—(x..O)>

x+1

若a..-2,由(1)知，當(dāng)a=-l時(shí),fa)=4-x-l在(T+8)上是增函數(shù),

故有/(。4(一1)=/八+1-1=1，即f(x)=F"-x-L.l,得d+L.X+1+1,

故有elx+1.(由(1)可判斷…，此不等式為常見(jiàn)不等式，熟記更利于解題)

g，(x)=ex+—+a砥x+1)+——+a2(x+1)-——+a=2+??0(當(dāng)且僅當(dāng)x+1=—!—,

x+\x+lVx+1x+\

即x=0,且a=-2時(shí)取等號(hào)).

???函數(shù)g(x)在［0,+O0)單調(diào)遞增，「.g(幻..g(0)=0,/.(*)式成立...9分

②若av-2,令以幻="+—!—+a(x..O).

x+\

則“(x)=F一_二=(x+l?-l0,當(dāng)且僅當(dāng)x=o時(shí)等號(hào)成立.

(x+l)-(X+1)2

/.(p(x)=ex+—!—+a在區(qū)間［0,+<?)上單調(diào)遞增，

x+1

,/d。)=2+av0,*(-。)=c~aH——\-a.A—a—!—\-a=\-\——-->0,

1-ai-a1-a

€(0,-a),使得<。=0,則當(dāng)Ovxv不時(shí)，/(%)〈尹(%))=0,即g<x)vO,

???函數(shù)g。)在區(qū)間(0%)上單調(diào)遞減，

??.g(%)<g(O)=O，即，(*)式不恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的范圍是［2,+O0)….….12分

7.已知函數(shù)/(x)=G_7T+x,g(x)=sinx+cosx?

(I)當(dāng)XN-：時(shí)，求證：f(x)>g(x)；

(II)若不等式f(x)+g(x)<ax+2在［0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

(I)證明：4,h(x)=/(x)-g(x)=\/x2+\+x-sinx-cosx,x..--,

4

(1)當(dāng)一巳”時(shí)，hf(x)=——+1-cosx+sinx,

44V7TT

因?yàn)椤ā?x)=——!—r+V2sin(x+-)>0,

［?r4

(x/x2+l)2

所以“⑶在［_冬,馬上單調(diào)遞增，且廳(o)=o,

44

當(dāng)-工,,4<0時(shí)，〃&)<0,當(dāng)0cxe至?xí)r，〃(%)>0,

44

所以〃(用在［-工，0)上單調(diào)遞減，在(0二)上單調(diào)遞增，

44

所以h(x)../i(0)=0,所以f(x)..g(x);

(2)當(dāng)工二時(shí)，則

4

h(x)=J%:+1+x—\/2sin(x+4-1+x—\/2^(—)2+1+——\/2>0,以f(x)..g(x)?

綜上所述，當(dāng)其..-2時(shí)，f(x)..g(x).

4

(II)解：^/(x)=f(x)+g(x)-ax-2=\Jx2+1+x+sinx+cosx-ar-2,x.O,

則f(x)=—+1+cosx-sinx-a,

Vx2+1

由題意得心),,0在［0，+oo)上恒成立，因?yàn)?(0)=0,

所以《0)=2-④0,所以a.2,

下證當(dāng)a.2時(shí)，心),,0在［0,+<?)上恒成立，

因?yàn)?(%)=Jx?+i+x+sinx+cosx-at-2,,\Jx2+1+x+sinx+cosx-2x-2,

令e(x)=G"7T-x+sinx+cosx-2,只需證明奴x)”0在［0,+ooj上恒成立，

(1)當(dāng)啖*巳時(shí)，(p\x)=-.———-1+cosx-sinx，

4Vr+1

(p'\x)=---------->/2sin(x+—)>因?yàn)椋?x)在［0,勺上單調(diào)遞減，所以

(在前44

“⑸，吠'(0)=0,

所以(p\x)在［0,芻上單調(diào)遞減,所以(p'(x',。'(0)=0，

4

所以奴工)在［0,馬上單調(diào)遞減，所以出戲,以0)=0;

4

(2)當(dāng)x>-時(shí)，

4

2

虱x)=+1-X+0sin*+1)—2及+1_X+&-2^)+1-￡+72-2<0.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［2,+00).

8.已知函數(shù)/(x)=/nr.

(1)討論函數(shù)g(x)=/(x)-奴(aeR)的單調(diào)性;

(2)證明：/*)<e”2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))恒成立.

解：(1)g(x)的定義域?yàn)?0,x),g3,-a=匕絲，(%>o)…1分

xx

當(dāng)4,0時(shí)，g<x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；...2分

當(dāng)a>0時(shí)，令g&)=0,得到

所以，當(dāng)xe(0一)時(shí)，g'(x)>。，則g(x)在(0」)上單調(diào)遞增；

aa

當(dāng)+co)時(shí)，gf(x)<0,則g(x)在(L+oo)上單調(diào)遞減，

aa

綜上所述，當(dāng)“,0時(shí)，g(x)在(0,位)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在(0」)上單調(diào)遞增，在(L+O0)上單調(diào)遞減...3分

aa

(2)證明：記函數(shù)以］)=d-2_/皿=4_底，則”(為=黑寸」=『2/，4分

ee~xx

易知(p\x)在(0,+<o)上單調(diào)遞增，

又由“(1)<0,“(2)>0知,“(X)在(0,+8)上有唯一的實(shí)數(shù)根%,...6分

且lv/v2,貝IJd(x°)=*C—_L=o,

七

即*-=」_(*),$分

%

當(dāng)X￡(O,Xo)時(shí)，<0,則0(%)在(O,xo)上單調(diào)遞減,

當(dāng)X€(%0，+00)時(shí)，>0?則以X)在(%,+8)上單調(diào)遞增，

所以8(x)..0(%)=一*

結(jié)合e"，=—(*),知風(fēng)一2=—/心口，…10分

天

所以(p(x)..耿仆)=—+x0-2=，°-2)+1_("T)>o,]]分

玉>玉)玉)

則以X)=j2_/心>0,即>加，所以f(x)<收為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))恒成立...12

分

9.已知函數(shù)/(x)="-4,^(x)=//LV-x-l,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，asR.

(1)若對(duì)任意的.qw(O,1],總存在％w(0,1],使得f(X])Zg(X2),求〃的取

值范圍；

(2)若函數(shù))，=/(#的圖象始終在函數(shù)、，=幽-2的圖象上方，求a的取值范圍.

X

解：(1)對(duì)任意的ww(0，1]，總存在xe(0,1],使得/'(與)嫡(~)=g(x)2，

xs(0,1J.

^(x)=lnx-x-\,xe(0,1].

g，(x)=1-l=±±.O,.,.1?(%)在xw(0,1]上單調(diào)遞增，

XX

???g(x)2=g(1)=-2.

f(x)=aex-4,xe(0,1].

fM=ae\

①a>0時(shí)，[(x)>0,函數(shù)/(x)在x€(0,1]上單調(diào)遞增，???/(x)…=/(l)=四-4...-2,

解得a>2.

e

②a=0時(shí)，f(x)=T>-2,不成立，舍去.

③"0時(shí)，f(x)<0,函數(shù)/(x)在xe(0,1]上單調(diào)遞減，.?./(x)gV/(0)=-4,而

-4<-2,舍去.

綜上可得：a的取值范圍是(2,+33).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象始終在函數(shù)尸邈-2的圖象上方。/(x)>邈-2,即

x2

x

ae-4>――----2,xe(O,4<o),也即-Ev-x+l>0,XG(0,+OO).

x

x

令h(x)=axe-lnx-x+\,xe(0,+QO).

h'(x)=a(x+l)ex---1=(x4-1)(。-ex--),

xx

qvO時(shí)，h\x)<0,函數(shù)/?(%)在xe(0,+oo)上單調(diào)遞減，h(1)=aev0,不滿(mǎn)足題

意，舍去.

a.O時(shí)，函數(shù)”(x)=ae，」在X￡(0,+oo)上單調(diào)遞增，存在唯一與>。使得〃(%)=。,

x

Bpae^'=—,Ina+/=-lnx0?

%

/.h{x}min=/:(x0)=ax^一I?%一%+1=1+Ina+與一幣+1=2+Ina>0>解得a:>二.

e~

的取值范圍是(；，*o).

e~

10.已知函數(shù)/(x)=/〃(x+l)-h-l,x>0.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)+^>0對(duì)任意x>0恒成立，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=/〃(x+l)-米-1,x.O,

所以八幻=」--k,

x+\

當(dāng)4..1時(shí)，0,/(x)在［0,18)上單調(diào)遞減，

當(dāng)晨0時(shí)，r(x)>0,/(%)在［D,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0v左v1時(shí)，令f\x)=0,解得x=--\?

k

當(dāng)Qxv1-1時(shí),f(x)>0,故f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，/V)<0,故/(幻單

kk

調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)A..1時(shí)，f(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞減；當(dāng)鼠0時(shí)，f(x)在［0,+QO)上

單調(diào)遞增；

當(dāng)OvAv2-1時(shí)，/(x)在上單調(diào)遞增，在d-l,+oo)上單調(diào)遞減；

kkk

(2)不等式/(%)+——..0對(duì)任意x.O恒成立，即/〃(x+1)-"-1+'一..0對(duì)任意x.O

X+lX+1

恒成立,

令尸(x)=/〃(x+l)-&-1+j,又尸(0)=0,

x+\

故不等式等價(jià)于尸(x)..尸(0)對(duì)任意x..O恒成立,

F(x)=—--k+不，所以F(0)..0,即解得鼠1,

x+\(x+1)

當(dāng)k,,1,尸(x)..(x+1)-x—1+----=(p(，x),

x+\

(p\x)=---].0恒成立,

X+\(4+1)2(X+1)2

故破冷..以0)=0,

故當(dāng)人,1時(shí)，/(x)+—..0對(duì)任意X..0恒成立,

X+1

所以女的取值范圍為(-8,1].

11.已知函數(shù)八幻二也.

X

(1)若直線(xiàn).v=Ax-l是曲線(xiàn))=/(x)的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)上的值;

(2)若對(duì)任意xe(0,y)，不等式f(x)<ax-l-則成立，求實(shí)數(shù)〃的取值集合.

解：(1)v/(x)=—(x>0),

X

1,

—■x-Inxi.

???r。)=~~~；—=——,

x~x~

設(shè)切點(diǎn)為(小,她)，則2=/&)=上單

代入直線(xiàn)丁=h-1得：她=匕牛毛—1,

七飛

艮|Jlnx0=1-/幾”一/，/.2lnx0+天-1=0,

令〃(x)=2/nr+x-l,有〃(1)=0,

2

.?."*)=-+1>0,h(x)在(0,+功單調(diào)遞增,

x

???方程2玩c+%-l=0有唯一解4=1,

.1—lnx1—ln\i

:柒=—7^a=—3—=1；

?V1-

/八live,Ina

(2)—，，ax-1--------,x>0,

XX

/.cue-x-lnx-癡..0恒成立,

設(shè)F(x)=ax2-x-lnx-lna,貝lj尸'(")=如二七i

X

^G(x)=2ax2-x-l,v?>0,△=l+8?>0,

??.G(x)=O有2個(gè)不相等實(shí)根玉，勺

則3=.五＜0,不妨設(shè)入＜。＜巧,

當(dāng)上€(0,工2)，G(x)<0,當(dāng)xe(占，+00),G(x)>0,

.?.尸(x)在(0,々)單調(diào)遞減，在(4，y)單調(diào)遞增,

「?尸(X)，”加=產(chǎn)(X2)=~X2~歷(依2),

由G(w)=孫2一%一]=0得至,

2A2

匚/\X,+1.X,+11-x,.1+x_

/.F(A\)=-.........x,-In———=---------In------20?

2

22^22X2

令H[x}=~~~----+ln2x-ln(x+1),

22x2

(x-1)(X4-2)

則H\x)=_1+_2___1

22xx+12Mx+1)

??.當(dāng)xe(0』)時(shí)，〃(x)>0,當(dāng)xe(L”)時(shí)，H,(x)<0.

則”(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在。,抬)單調(diào)遞減,

H(x\,H(1)=0,

F(XZ)=H(X2)..O,.?.7(電)=0,則占=1,故々=1,

實(shí)數(shù)。的取值集合是{1}.

12.設(shè)函數(shù)/(x)=2Har-2加(06R).

(I)當(dāng)。=g時(shí)，求函數(shù)/⑶的單調(diào)區(qū)間；

(II)若f(x)〈孳一lnx-1(f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù))在(Lx)上恒成立，求實(shí)

數(shù)〃的取值范圍.

解：(I)當(dāng)。=(時(shí)，f(x)=2xlnx-x2,x>0,

所以『@)=2伍r-2x+2,

令g(x)=fM=2/nr-2x+2(x>0),所以gf(x)=--2,

x

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，gr(x)>0,故g(x)為增函數(shù)；

當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，g'(X)<0,故g(R)為減函數(shù),

所以g(x),,g(1)=27/11-2x1+2=0,即r(x),,0,

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,內(nèi))，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.

(II)因?yàn)?(x)=2x加;-20r2,所以r(x)2仇r-4at+2且%>0,

所以/(x),,-lnx-\在(l,+oo)上恒成立^>2(xlnx-ax2\,lnx-2ax+\-lnx-\在

(1,4<0)上恒成立0//a_以+“,0在(1,+00)上恒成立，

h(x)=lux-ax+a,xe(l,-Ko),貝lj"(x)=」一a且力(1)=/〃l-a+a=0,

x

當(dāng)時(shí)0時(shí),”(勸》0恒成立,故〃(x)在(1,+oo)上為增函數(shù)，所以。功>人(1)=0,

即4,0時(shí)不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由"(x)=0,得x=L

若”(0,1),貝?/W(l,80),故做X)在(L+8)上為減函數(shù)，在。,3上為增函數(shù)，

aaa

所以存在不€(1」)，使得g0)>力(1)=0,即ae(o,l)時(shí)不滿(mǎn)足題意；

a

若aw[l,+oo),WJ-€(O,1),故依)在(l,+oo)上為減函數(shù),

a

所以〃⑶〈人(1)=0,所以網(wǎng)x),,0恒成立，故符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是[1,+00).

13.已知。為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)八x)=e'+必(1+1).

(1)設(shè)匯=1是/a)的極值點(diǎn)，求。的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xw[0,1時(shí),f(x)Nsinx-ex+2恒成立,求〃的取值范圍.

解：(1)因?yàn)閞(x)=e'+V，

x+\

由r(1)=0,得a=2,

當(dāng)時(shí)，/(%)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xc(l,2)時(shí)，尸(外>0,/(幻單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/@)在上單調(diào)遞減，在。,內(nèi))上單調(diào)遞增.

(2)令g(x)=/(x)—sinx+e，-2=2。'+。加(x+1)—2-sinx,xe［0,乃］,

當(dāng)xw［0,幻時(shí)，/(D.si